四年級(jí)奧數(shù)-教師版-第六講幻方與數(shù)陣圖(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六講 幻方與數(shù)陣圖知識(shí)導(dǎo)航 三階幻方的性質(zhì)：1.中心位置上的數(shù)等于幻和除以3； 2.角上得數(shù)等于和它不相鄰的兩條邊上的數(shù)的平均數(shù)； 3.中心數(shù)兩頭的數(shù)等于中心數(shù)的2倍。例1：我們先來一起解決三道難度相差很大的題目，目的在于總結(jié)出三階幻方的若干重要性質(zhì)。第1題如下圖，將19填入3×3的方格表中，使得每行每列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？解析：首先，我們思考要填出一個(gè)三階幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個(gè)所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對(duì)角線三個(gè)數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣

2、）把幻方中的九個(gè)數(shù)加起來，那么它們的總和不就是3倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到9這九個(gè)數(shù)字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（請(qǐng)復(fù)習(xí)學(xué)過的等差數(shù)列知識(shí)）。于是最后，我們終于得到這個(gè)至關(guān)重要的“幻和”就是45÷3=15。接下來第二步，我們來關(guān)心一下中間一格應(yīng)該填哪個(gè)數(shù)字。同學(xué)們可能會(huì)說，中間一定填5，因?yàn)?到9的中間數(shù)字就是5，而幻方又是上下左右對(duì)稱的。沒錯(cuò)，同學(xué)們有這樣的數(shù)學(xué)直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴(yán)格地說明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個(gè)數(shù)字，所以就用了九個(gè)大寫字母來

3、表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E的四條直線：因?yàn)锳+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我們把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填數(shù)的總和嗎？不論填法如何，這個(gè)數(shù)是不變的，它就是45，于是那么我們就得到E=5了。解： 根據(jù)上面的分析，我們知道“幻和”=15，而E=5。 從而我們知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味著在所有經(jīng)過中心的直線上，兩端的數(shù)字奇偶性相同。然后我們可以通過枚舉的方法確定每個(gè)位置上數(shù)字的奇偶

4、性：（大家自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我們可以看到，如果4個(gè)角上的偶數(shù)被確定下來，那么其余4個(gè)奇數(shù)也就被確定了，所以我們可以只考慮這4個(gè)偶數(shù)的填法。利用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的乘法原理，大家就可以知道本題共有8種填法。具體填法如下：294 276834816753951159357618438672492492 438672618357951159753816276834294總結(jié)：這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：奇偶性分析并不是解決幻方題的典型方法，只在某些特殊的題目中會(huì)被用到。在上面這個(gè)解題過程中，我們用到了一點(diǎn)技巧，希望同學(xué)們加以領(lǐng)會(huì)。本題中，我們看到所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于中間這個(gè)E。那么我們來

5、問一個(gè)深入一點(diǎn)的問題：你認(rèn)為這是在這道題中才產(chǎn)生的特殊性質(zhì)，還是所有的三階幻方都應(yīng)該具有類似的性質(zhì)？ 還有，就是上面我們?cè)?jīng)得出的那個(gè)“幻和”的3倍就等于這九個(gè)數(shù)之和的這條性質(zhì)，它能不能推廣到所有的三階幻方？【鞏固】.請(qǐng)你將311這9個(gè)數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個(gè)數(shù)的和相等。解析：首先將這列數(shù)中的中間數(shù)放在中間的格子里 可知幻和是7×3=21；其次；將最小的數(shù)和最大的數(shù)分別放在這個(gè)數(shù)的橫向或豎向的兩邊；第三，中間數(shù)前面的第2和第4個(gè)數(shù)分別填在最大數(shù)的兩側(cè)，這時(shí)就可以輕松的確定剩下的幾個(gè)空了。89437111056437116 例2：下圖是一個(gè)三階幻方，請(qǐng)說明幻和等于3倍的

6、E 且D+F=2×E。DEF 第2題解析：有了第1題的基礎(chǔ)，大家應(yīng)該對(duì)本題感到不是那么陌生了，只要把第1題的一部分解題過程搬過來就行。這道題也是讓大家看一看如何把一個(gè)特殊的解題過程變成一條普遍的規(guī)律或性質(zhì)。解：首先把題目中的空白格子標(biāo)上不同的字母，以便表述。ABCDEFGHI首先，只考慮包含E的四條直線，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。然后，把這四個(gè)式子的左右兩邊分別相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”, 而另一方面，如果我們只考慮幻方的三行，則有A+B+C=D+E+F=G+

7、H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E?？偨Y(jié)：同樣的分析辦法，還可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(請(qǐng)大家自己說明)。本題回答了例1評(píng)議中提出的兩個(gè)問題，從而我們得到三階幻方的兩條重要性質(zhì)。性質(zhì)1：“幻和”的3倍等于這九個(gè)數(shù)之和；性質(zhì)2：所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于正中間的數(shù)字。BAC 第3題例3：上圖是一個(gè)三階幻方，請(qǐng)說明A+B=2×C。解析：這是一道難題，它之所以難，就在于條件太少，只有三階幻方的概念可以用。于是我們就想到

8、利用性質(zhì)1和2，看看能不能解決問題。當(dāng)然，只利用題目中的A、B、C三個(gè)位置上的數(shù)字是不可能做出來的，至少還要利用一個(gè)其它位置上的數(shù)字作為過渡，比如我們可以選擇左上角的數(shù)字，并用x來表示它：xBA*C下面我們要用到比較法，其實(shí)也就是性質(zhì)1。解：現(xiàn)在考慮*處的數(shù)字。如果我們只看上面第一行和右邊第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我們只看中間第二行和左上到右下的對(duì)角線，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。所以B+x-C=x+C-A，兩邊可以都去掉x，就得到A+B=2×C?？偨Y(jié)：這就是幻方的性質(zhì)3，也被形象的稱為“T”字型性質(zhì)。當(dāng)然，類似本題中這樣A+B=2

9、×C的性質(zhì)還有另外3種不同方向的表達(dá)形式，大家應(yīng)該自己可以總結(jié)出來。“T”字型性質(zhì)是非常重要，而且神奇的性質(zhì)，它神奇就神奇在三階幻方有無窮多個(gè)，看起來好像數(shù)字怎么填都可以。但是這條性質(zhì)卻告訴我們?cè)陔x得這么遠(yuǎn)的三個(gè)位置上的數(shù)字之間卻有著這樣簡(jiǎn)單的關(guān)系，三階幻方中的數(shù)字不是隨便怎么填都可以的，中間還潛藏著一些更深層次的特殊性質(zhì)。這正是數(shù)學(xué)的魅力所在。例4：那么究竟我們總結(jié)出來的3條性質(zhì)有什么用呢，請(qǐng)完成下面的三階幻方：172919第4題（2）1001995 第4題（1）解析：本題需要綜合利用上面的3條性質(zhì)以及比較法來解決，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出來了，一切就都沒問題了。但

10、是不同人的解題順序和利用性質(zhì)的方式可能很不一樣，所以下面我只是提供一種可行的解題順序和方法，大家應(yīng)該有自己的解題順序和方法。這類題是簡(jiǎn)單的。解：BA1001995（1）根據(jù)性質(zhì)2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。下面就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：24171105181100199529176（2）17A29C19B根據(jù)比較法，A=19+29-17=31；根據(jù)性質(zhì)3，B=(17+29)÷2=23；根據(jù)性質(zhì)2，C=(19+31) ÷2=25，“幻和”=25×3=75。下

11、面也就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：271731292521193323總結(jié)： 最后重申幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：I. 這些性質(zhì)只適用于三階幻方，對(duì)于四階和四階以上的幻方，有些性質(zhì)可能就不成立了，而有些需要修改，請(qǐng)同學(xué)們慎重，具體問題具體處理。II. 這幾條性質(zhì)適合于所有的三階幻方，并沒有局限性。2、四階幻方 4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫： 這個(gè)方陣的對(duì)角線，已經(jīng)用顏色標(biāo)出。將對(duì)角線上的數(shù)字，換成與它互補(bǔ)（同色）的數(shù)字。 這里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6換完后

12、就是一個(gè)四階幻方。（見右上圖）數(shù)陣圖知識(shí)導(dǎo)航數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，這一類問題要求數(shù)陣中填入了一些數(shù)以后，能保證數(shù)陣中特定關(guān)系線（或關(guān)系區(qū)域）上的數(shù)的和相等，解決這類問題可以按以下步驟解決問題：第一步：從整體考慮，將要求滿足相等的幾個(gè)數(shù)字和全部相加，一般為n×s的形式。第二步：從個(gè)體考慮，分別計(jì)算每一個(gè)位置數(shù)字相加的次數(shù)，將比較特殊的（多加或少加幾次）位置數(shù)字用未知數(shù)表示，全部相加，一般為題目所給全部數(shù)字和×一般位置數(shù)字相加次數(shù)±特殊位置數(shù)字和×多加或少加次數(shù)的形式。第三步：格局整體與個(gè)體的關(guān)系，列出等式即n×s=題目所給全部數(shù)字和×一般

13、位置數(shù)字相加次數(shù)±特殊位置數(shù)字和×多加或少加次數(shù)。第四步：根據(jù)數(shù)論植樹即整除性確定特殊位置數(shù)的取值即相對(duì)應(yīng)的S值。第四步：根據(jù)確定的特殊位置數(shù)字及S值進(jìn)行數(shù)字分組及嘗試。類型一：封閉類型的數(shù)陣圖例1：將16六個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11. 解析： 此圖是封閉33圖，因?yàn)槊織l邊上的和都為11，那么三條邊上的數(shù)字之和為11 ，而1+2+5+6=21.所以三角形的三個(gè)數(shù)之和等于33-21=12，在16中選3個(gè)和為12的數(shù)，且其中任意兩個(gè)的和不等于11，這樣的組合有：12=2+4+6=3+4+5,經(jīng)試驗(yàn)，填法如圖。例2：將16填入左下圖的六個(gè)中，是三

14、角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于，請(qǐng)指出的取值范圍。 解析：設(shè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和為，因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)屬于兩條邊公有，所以把三條邊的數(shù)字和加起來，等于將1至6加一遍，同時(shí)將三個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ = ，化簡(jiǎn)后為。由于是三個(gè)數(shù)之和，故最小為1+2+3=6，最大為4+5+6=15，由此求出9。和有四組取值： 通過實(shí)驗(yàn)，每組取值都相應(yīng)一種填數(shù)方法（見右上圖）。像例題中的數(shù)陣圖，它的各邊相互連接，形成封閉圖形，我們稱它們?yōu)椤胺忾]型數(shù)陣圖”天這樣的圖形，主要是頂點(diǎn)數(shù)字，抓住條件提供的關(guān)系方式，進(jìn)行分析，用試驗(yàn)的方法確定頂點(diǎn)數(shù)以及各邊上的數(shù)字之和，最后填出數(shù)陣圖。一般地，有

15、條邊，每條有個(gè)數(shù)的圖形稱為封閉型（或輻射型或復(fù)合型）圖，封閉型圖有個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對(duì)于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B一次，所以：已知各數(shù)之和+重疊之和=每邊各數(shù)之和邊數(shù) 類型二：輻射類型的數(shù)陣圖例1：將17這七個(gè)數(shù)字，分別填入圖中各個(gè)內(nèi)，使每條線段上的三個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等。 解析：設(shè)中心內(nèi)填，由于三條線上的數(shù)字和相加應(yīng)是3的倍數(shù)，其中一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2=28+2一定是3的倍數(shù)。而28，那么2的余數(shù)應(yīng)該是2，因此，4或7.（1） 當(dāng)28+2=30，30，10-1=9，除中心外，其它兩數(shù)的和應(yīng)是9，只要把2，3，4，5，6，7，六個(gè)數(shù)按“和”是9分成三組填入相應(yīng)的，內(nèi)

16、就可以了。填法如圖（1）（2） 當(dāng)時(shí)，28+8=36，36。填法如圖（2） 當(dāng)時(shí)，28+14=42，42。填法如圖（3） 課后練習(xí)561. 在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下圖.請(qǐng)你在其他方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個(gè)方向的三個(gè)數(shù)之和均為27. 解析：已知幻和是27，可知中間數(shù)是：27÷3=9, 根據(jù)：和-差=減數(shù)，分別將其他數(shù)求出。8145691213410 答案如下： 2、 在下圖的九個(gè)方格中,每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等，則 N= .解析：已知幻和，8+6+16=30，可求中間數(shù)是：30÷3=10；設(shè)一個(gè)角上的數(shù)

17、是，根據(jù)幻和的特點(diǎn)，可將其他的空格一次算出。答案如下右圖： 8N6161281846101416212 3、請(qǐng)你將513這9個(gè)數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個(gè)數(shù)的和相等。1011659131278解析：中間數(shù)是：9，幻和：27；可據(jù)此分別填出其他的空格，不做過多的解釋了。 4、編制一個(gè)三階幻方，使其幻和等于24.解析：根據(jù)幻和是24，可以求出中間數(shù)是：24÷3=8，再根據(jù)例題中的方法填其他的空格。9105481211675、用1至16這十六個(gè)數(shù)編制一個(gè)四階幻方。解析：可用“錯(cuò)位移動(dòng)法”來填。123456789101112131415161234 567891011121314

18、1516解：(1) 11514412679810115133216(2)正確結(jié)果【鞏固】用3至18這16個(gè)數(shù)排出一個(gè)4階幻方。3171661489111012137155218 解： 6、在下圖中填入不大于15且互不相等的8個(gè)數(shù)，使每行每斜行的三個(gè)數(shù)的和都等于30.解析：利用幻和，可以求出中間數(shù)，再利用“斜線填法”編制三階幻方。具體步驟是：第一,把最大的數(shù)填在除中間位置外任意行或列的格子中，第二，把第二大數(shù)填入任意一個(gè)角上的格子中，其余就根據(jù)幻和來填。解：中間數(shù)：30÷3=10，要填入的九個(gè)數(shù)：6,7,8,9,10，11,12,13,14.111276101413897、把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入下圖的一個(gè)中，使得圖中用箭頭連接起來的