2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步課時訓(xùn)練

1、第八章立體幾何初步第 1 課時 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、 填空題1.線段 AB 在平面a內(nèi)，則直線 AB 與平面a的位置關(guān)系是 _ .（用符號表示）答案：AB?a解析：由公理 1 可知 AB?a.2已知a n 3= l , m?a, n?3, mAn=P,則點 P 與直線 I 的位置關(guān)系用相應(yīng)的 符號表示為 .答案：P1解析：因為a n 3=I , m?a, n?3,mAn = P,所以 P m P n, Pa,P3,所以 P I.3.設(shè) a, b, c 是空間中的三條直線，下面給出四個命題：1若 aIIb, bIIc,貝Ua / c;2若 a 丄 b, b 丄 c,貝Ua/ c;

2、3若 a 與 b 相交，b 與 c 相交，則 a 與 c 相交；4若 aIb, b 丄 c,貝Ua 丄 c.上述命題中正確的是 _ .（填序號）答案：解析：由公理 4 知正確；當(dāng) a 丄 b, b 丄 c 時，a 與 c 可以相交、平行或異面，故錯 誤；當(dāng) a與 b 相交，b 與 c 相交時，a 與 c 可以相交、平行或異面，故錯誤；根據(jù)異面直 線所成角的定義知正確.4.若直線 Ii和 I2是異面直線，Ii在平面a內(nèi)，丨2在平面3內(nèi)，I 是平面a與平面3的交線，則下列命題正確的是 _ .（填序號）1I 與丨1,丨2都不相交；I 與 11, 12都相交；I 至多與 I1, I2中的一條相交；I

3、至少與丨1,丨2中的一條相交.答案：解析：若 I 與 I1, I2都不相交，則 I/I1, IIII2,所以 I1/ I2，這與 I1和 I2是異面直線 相矛盾，所以 I 至少與丨1,丨2中的一條相交.故正確.5.如圖，在長方體 ABCD/BGD 中，點 E, F 分別為 B0 和 GO 的中點，長方體的各棱中，與 EF 平行的有_ 條.答案：4解析： EF 是厶 OBC 的中位線， EF / BQ. / BQ/ BC/ AD/ AD,.與 EF 平行的 棱共有 4 條.6.如圖為正方體表面的一種展開圖， 則圖中的四條線段AB, CD EF, GH 在原正方體中互為異面的有_ 對.1ZJti答

4、案：3解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則 AB, CD EF 和 GH 在原正方體中，顯然 AB 與 CD EF 與 GH AB 與 GH 都是異面直線，而 AB 與 EF 相交，CD 與 GH 相交, CD2與 EF 平行.故互為異面的直線有且只有 3 對.37._ 已知 ABCDAiCiD 是正方體，點 0 是 BiD 的中點，直線 AC 交平面 ABD于點 M 則下 列結(jié)論中錯誤的是 （填序號）1A , M, C 三點共線；2M, O, Ai, A 四點共面；3A , 0, C, M 四點共面；4B , Bi, 0, M 四點共面.答案：解析：作出圖形，可知正確.8._

5、 如圖，在正三棱柱 ABCABC 中，點 D 是 AC 的中點，AA: AB=、/2 :1 ,則異面直線 AB 與 BD 所成的角為 .60如圖，取AQ 的中點E,連結(jié) BiEED, AE,在Rt ABE中，/ ABE即為所求,設(shè) AB= 1 ,9.如圖，點 G, N, M H 分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線是異面直線的圖形有 _ .（填序號）答案：解析：圖中，直線 GH/ MN 圖中，G H, N 三點共面，但 M?平面 GHN 因此直線 GH 與 MN異面；圖中，連結(jié) MG GM/ HN 因此 GH 與 MN 共面；圖中， G M N 共面，但 H?平面 GMN 因此 GH

6、 與 MN 異面.所以圖中 GH 與 MN 異面.10.如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi 中，點 M, N 分別是 BG, CD 的中點，則下列判斷正確的是_ .（填序號）1MN 與 CG 垂直；MN 與 AC 垂直；答案:解析:GH MN貝 UAA =體 AB4MN 與 BD 平行； MN 與 A Bi平行.答案：解析：連結(jié) BC, BD,貝UMN 是BiCD 的中位線， MN/ BiDi. / CCi丄 BiD, AC 丄 BiDi, BD/ BiDi,AMN 丄 CC, MNL AC, MN/ BD,故5正確./ AiBi與 BD 相交， MN 與 AiBi不平行，因此錯誤.二

7、、解答題11.如圖，在正方體 ABCDAiGD 中，點 E, F 分別為 DC, BiC 的中點，ACABA P, ACnEF=Q.(1)求證：D, B, E, F 四點共面；(2)作出直線 AiC 與平面 BDEF 的交點 R 的位置.證明：由于 CC 和 BF 在同一個平面內(nèi)且不平行，故必相交.設(shè)交點為0,則 0C=CC.同理直線 DE 與 CC 也相交，設(shè)交點為O，貝yOCi= CiC,故 0與 0 重合.由此可證 得 DEH BF= 0,故 D, B, F, E 四點共面(設(shè)為a).(2)解：由于 AA/ CG,所以 Ai, A, C, C 四點共面(設(shè)為3) . P BD 而 BD?

8、a,故 P a.又 P AC 而 AC?3,所以 P3,所以 pa n 3，同理可證得 Qa n 3，所以有a n 3= PQ.因為 AiC?3,所以 AiC 與平面a的交點就是 AiC 與 PQ 的交點，連結(jié) AiC,貝yAiC 與 PQ 的交點 R 就是 所求的交點.i2.如圖，在正方體 ABCD AiBiCiD 中，點 E, F 分別為AA, CC 的中點，求證：四邊形 EBFD 是菱形.證明：如圖，取 BB 的中點 G,/ GB/ CF,且 GB= GF,四邊形 CiFBG 是平行四邊形, FB / CG,且 FB= CiG./ DQ/ EG 且 DC = EG四邊形 DCiGE 為平

9、行四邊形， GCi/ DE,且 GC= DE, FB / DE,且 FB= DE,四邊形 EBFD 為平行四邊形.6 FB = FD,.四邊形 EBFD 是菱形.7mn? m n 不共面；n/3其中假命題的個數(shù)是_.答案：4 解析：中 m 與 n 可能平行，也可能異面；相交；中不知道a與3的位置，無法判斷?miln.中可能n?3:中可能 m/n或 m 與 nm 與 n 的位置關(guān)系.故四個命題都不正確.（填序號）a內(nèi)不存在與 I 平行的直線；a內(nèi)的直線3.若直線 I 與平面a不平行，則下列結(jié)論正確的是a內(nèi)的所有直線都與直線 I 異面；與 I 都相交；直線 I 與平面a有公共點.答案：解析：直線

10、I 與平面a不平行，則直線 I 與平面a有如下關(guān)系：I?a或 IQ a= A,13.已知空間四面體 ABCD 點 E, F 分別是 AB, AD 的中點，G, H 分別是 BC, CD 上的點,11且 CG= 3BC CH= -DC.求證：33（2）易知 FH 與直線 AC 不平行，但共面，設(shè) FHQ AC= M, M 平面 EFHG M 平面 ABC./平面 EFHQ平面 ABC= EG M EG, 直線 FH, EQ AC 共點.第 2 課時 直線與平面的位置關(guān)系（1） 一、 填空題1._直線 a , b 為異面直線，關(guān)于過直線 a 且與直線 b 平行的平面的情況，下列說法正 確的是_ .

11、（填序號）1有且只有一個； 有無數(shù)多個； 至多一個； 不存在. 答案：解析：在直線 a 上任選一點 A,過點 A 作 b/ b,貝 U b是唯一的，又 aQ b= A,所 以 a 與 b確定一平面并且只有一個平面，故正確.對于不同直線 m, n和不同平面a,3,給出下列命題：n /m?2.m/nmil3? n/ 3 ；?miln;AC 共點.E , F, G, H 四點共面；（2）三條直線 FH, EG8故均不正確，正確.4._ 下列命題正確的是.（填序號）1若 a, b 是兩條直線，且 a/ b,那么 a 平行于經(jīng)過 b 的任何平面;2若直線 a 和平面a滿足 a/a，那么 a 與a內(nèi)的任何

12、直線平行；3若直線 a, b 和平面a滿足 a/a, b /a,那么 a / b;4若直線 a, b 和平面a滿足 a/ b, a/a, b?a,則 b/a. 答案：解析：根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，正確.5.已知三條直線 a, b, c 和平面3，則下列推論正確的是1若 a/ b, b?3,貝Ua/3；2若 a /3, b/ 3，貝Ua / b；3若 a?3, b/3, a, b 共面，則 a / b;4若 a 丄 c, b 丄 c,貝Ua / b.答案：解析：對于，可能有 a?3，故錯；對于，a 與 b 可能平行、相交或異面，故6.如圖，在正方體 ABCD 為 CD 中，AB= 2，點

13、 E 為 AD 的中點，點 F 在 CD 上.平面 ABC,則線段 EF 的長度為 _ .答案：. 2解析：因為 EF/平面 ABC, EF?平面 ABCD 平面 ABCQ平面 ABCD= AC,所以 EF/ AC.1又點 E 是 AD 的中點，所以點 F 是 DC 的中點.所以 EF= ?AC=2.7.過三棱柱 ABCABC 的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABBA 平行的直線共有_條.答案：6解析：四條棱 AC BC, AiC, BCi的中點中任意兩點連線均與平面ABBA 平行，所以共有 6 條直線符合題意.8.如圖，在下列四個正方體中，A, B 為正方體的兩個頂點， M, N, Q

14、為所在棱的中點，（填序號）錯; 對于，a 與 b 可能平行、相交或異面，故錯；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知,D F C正確.若 EF/9則在這四個正方體中，直線 AB 與平面 MNQF 行的是_.（填序號）1 答案：解析：因為點 M N, Q 分別為對應(yīng)棱的中點，所以在中AB 與平面 MN（相交，在中均有 AB/ MQ 在中，有 AB/ NQ 所以在中均有 AB 與平面 MNQF 行.9.如圖，正四棱柱ABCDAB1C1D 中，點 E, F, G, H 分別是棱 GC, OD, DD, DC 的中 點，點 N 是 BC 的中點，點 M 在四邊形 EFGH 及其內(nèi)部運動，則點M 只需滿足條件_時，就

15、有 MIN/平面 BiBDD.（填上正確的一個條件即可， 不必考慮全部的可 能情況）10答案：點 M 與點 H 重合（或點 M 在線段 FH 上）解析：當(dāng)點 M 在線段 FH 上時，MN/平面 BiBDD.二、解答題10.如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，點 E, F 分別是棱 PC 和 PD的中點.求證：EF/平面 PAB.所以 EF/ CD.證明：如圖，連結(jié) AC 交 AQ 于點 0,連結(jié) 0E OF.因為點 E 為 BB 的中點，所以 BE/ CCi且 BE=扌 CG.所以 BE/ OF 且 BE= OF,所以四邊形 BEOF 是平行四邊形，所以 BF/ OE

16、.又 BF?平面 AiEC, OE?平面 AiEC,所以 BF/平面 A EC.證明：因為點E, F 分別是棱 PC 和 PD 的中點,在三棱柱 ABCABQ 中,四邊形0A=0C.因為點 F 為 AC 的中點,又在平行四邊形 ABCD 中, AB/ CD 所以 EF/ AB 又 AB?平面 PAB EF?平面 PAB 所以 EF/平面 PAB.11.如圖，在三棱柱求證：BF/平面 AEC.所以ACCA1為平行四邊形，所以21112.如圖，已知 A, B , C, D 四點不共面，且 AB/a, CD/a, ASa= E , ADA a= F , BDA a=H, BCA a= G.求證：四邊

17、形 EFHG 是平行四邊形.12證明：TAB/a同理 FH/ AB EG / FH. 又 CD/a，平面 GIH/ CD.同理EF/ICD GH/ EF.四邊形 EFHG 是平行四邊形.13.如圖，在斜三棱柱 ABCA3Q 中，點 D, D 分別為 AC, A1C1上的中點.求證:ADi/平面 BDC;(2) BD /平面 ABD.甘證明：(1)因為點 D, D 分別為 AQ 與 AC 的中點，四邊形 ACCA1為平行四邊形，所以CD/ DA OD= DA所以四邊形 ADCD 為平行四邊形， 所以 AD / CD.又 AD?平面 BDC, CD?平面 BDC, 所以 AD /平面 BDC.(2

18、)如圖，連結(jié) DD,因為 BB /平面 ACCA, BB?平面 BBDD,平面 ACCA1Q平面 BBDiD= DD, 所以 BB / DD.又 D, D 分別為 AC 與 AC 的中點，所以 BB = DD,故四邊形 BDDB 為平行四邊形，所以 BD/BiD.又 BD?平面 ABD , BD?平面 ABD ,所以 BD/平面 ABDi.第 3 課時直線與平面的位置關(guān)系(2)一、填空題1._ 設(shè) I , m, n 均為直線，其中 m, n 在平面a內(nèi)，則I 丄a”是“ I 丄 m 且 I 丄 n”的條件.答案：充分不必要解析：I 丄a? I 丄 m I 丄 n.反之，因為 m, n 不一定相

19、交，故 I 丄m且 I 丄n不一定推出I 丄a.BCDa= GH.，平面ABC甘132. 下列條件中，能判定直線I 丄平面a的是_.（填序號）1I 與平面a內(nèi)的兩條直線垂直；2I 與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；3I 與平面a內(nèi)的某一條直線垂直；4I 與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直.答案：解析：由線面垂直的定義及判定定理可知正確.3. 下列說法正確的是 _.（填序號）1若平面外一條直線上有兩點到平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面；2若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必垂直于這條直線；3若一條直線平行于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面. 答案：解析：當(dāng)這兩點在

20、平面兩側(cè)時，直線與平面相交，錯誤；正確；中垂直于這條直 線的另一條直線可能平行于這個平面或相交但不垂直于這個平面，錯誤.4. 已知平面a,3和直線 m 給出條件：m/ a；m 丄a:m?a；a/B.當(dāng)滿足條件 _ 時，有 0 丄3.（填序號）答案：解析：若mL a,a/3，則mL 3故填.5. 已知 m n 是兩條不同的直線，a是一個平面，有下列四個命題：1若a,n/a,貝Un;2若ml a,n 丄a,貝Un;3若a, n 丄a,貝U mln;4若ml a ,mLn,貝Un/a.其中真命題是 _ .（填序號）答案：6. 如圖，在直三棱柱 ABCABQ 中，側(cè)棱長為 2, AC= BC= 1,

21、/ ACB= 90,點 D 是 AiB的中點，F(xiàn) 是 BB 上的動點，AB, DF 交于點 E.要使 AB 丄平面 CiDF,則線段 BF=_.答案：1解析：設(shè) BiF= x，因為 AB 丄平面 CDF, DF?平面 CDF,所以 AB 丄 DF. 1由已知，得 AiB = /2.設(shè) Rt AAB 斜邊 AB 上的高為 h,貝UDE=尹.又 2X 2= h _22+（ .2）2,所以 h=竽，DE=f.33在 Rt DBE 中, BE=由面積相等，得予X2+22 2= 22x，解得 x = 2.即線段 B1F 的長為 1.7._ 如圖，PA!平面 ABC 在厶 ABC 中 BCL AC 則圖中

22、直角三角形的個數(shù)為 _14答案：4 PAC ABC PBC.8.在正方體 ABCDIBiCiD 中，ACi與平面 ABCD 所成角的正弦值為答案：2解析：如圖，在平面 ADDA 中作 A EAD 于點 E,連結(jié) C E,因為正方體 ABCDAQD 中,AB 丄平面 ADDAi，所以 AiE AB.因為 ADnAB= A, AD, AB?平面 ABCD，貝UAiE 丄平面 ABCD,所以/AiC E 就是 AiC 與平面 ABCD 所成的角，在 Rt AAD 中，AA = AiD, AiE 丄 AD,所以點AEiE 為 AD 的中點，且 AiE= 2AD = 2A C,所以 sin /AiCE=

23、 AC =9設(shè)a,B是空間中兩個不同的平面，m n 是平面a及B外的兩條不同的直線.從m 丄 n；a LB:門丄B;m 丄a”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論， 寫出你認(rèn)為正確的一個命題： _.(填序號)答案：？或？解析：因為當(dāng) nLB, ml a時，平面a及B所成的二面角與直線 m n 所成的角相等 或互補(bǔ)，所以若mLn,則a丄B，從而由？正確；同理？也正確.i 0.如圖，在直三棱柱 ABC AiBiC 中，底面是以/ ABC 為直角的等腰直角三角形，AC=2a , BB = 3a, D 是 AC 的中點，點 F 在線段 AAi上，當(dāng) AF=_時，CF 丄平面 B DF.答案：a 或 2

24、a解析： 由題意可得 BiD 丄平面 A ACC, . CF 丄 BD, 為了使 CF 丄平面 BiDF,只要使 CF 丄 DF(或PALBPA 丄平面 ABCPA 丄BC解析：十 K? BC 丄 平 面PAC? BC 丄BC?平面 ABCACL BCBC 丄平面 PAC? BC 丄 PC 直角三角形有PAB,15CFLBiF).設(shè) AF= x,貝 U cD= DF2+ FC2, x2- 3ax + 2a2= 0,. x = a 或 x= 2a.解答題i i .如圖，在四棱錐 PABCD 中, 底面 ABCC 為菱形，且 PAL 底面 ABCD PA= AC,點 E 是 PA 的中點，點 F

25、是 PC 的中點，求證：(i ) PC /平面 BDE(2) AF 丄平面 BDE.i0證明：連結(jié) 0E因為點 0 為菱形 ABCD 寸角線的交點，所以點 0 為 AC 的中點. 因為點 E 為 PA 的中點，所以 OE/PC.因為 OR 平面 BDE PC?平面 BDE 所以 PC/平面 BDE.因為 PA= AC PAC 是等腰三角形， 又點 F 是 PC 的中點，所以 AF 丄 PC.又 OE/ PC 所以 AF 丄 OE.因為 PAL 底面 ABCD BD ?平面 ABCD 所以 PA 丄 BD.因為 AC BD 是菱形 ABCD 勺對角線，所以 ACLBD.又 PAH AC= A,

26、AC?平面 PAC PA?平面 PAC所以 BDL平面 PAC.又 AF?平面 PAC所以 AFLBD .又 OQ BD= O, OE?平面 BDE BD?平面 BDE所以 AF 丄平面 BDE.12.如圖，在正三棱柱 ABCABiG 中，點 D 在邊 BC 上 , ADLCiD.求證：ADL 平面 BCCB;(2)如果點 E 是 BC 的中點，求證： AiE/平面 ADC凡_c.證明：(1)因為 ABCABiCi是正三棱柱，所以 CC 丄平面 ABC.又 AD?平面 ABC 所以 CC 丄 AD.又因為 ADLCiD, CC，CD?平面 BCCBi，CCHCD= Ci， 所以 ADL 平面

27、BCCBi.(2)因為在正三棱柱 ABCABC 中，AiB = AC，點 E 是 BG 的中點，所以 AiE 丄 BC.因為 CC 丄平面 AiBQ，且 AiE?平面 ABiCi，所以 CC 丄 AiE.又因為 BiC，CC?平面 BCCBi，BiCHCG= C，所以 AiE 丄平面 BCCB .由(i )知 ADL 平面 BCCB，所以 AiE/ AD.又 AiE?平面 ADC，AD?平面 ADC,所以 AiE/平面 ADC.13.在直三棱柱 ABC AiBiC 中，CA= CB AA = AB, D 是 AB 的中點.若點 1BB 上，且 BP-BB.求證：AP 丄平面 ACD.4n fy

28、lkMTP 在線段fiii證明： CA= CB D 是 AB 的中點， CD 丄 AB./ 在直三棱柱 ABCABG 中，底面 ABCL 側(cè)面 A AiBB,交線為 AB,又 CD?平面 ABC CD 丄平面 AABiB./ AP?平面 AiBiBA： CD 丄 AP./ BBi2BA, BB = AA , BP= 4BB,BP 2 ADBA= T = AA，Rt ABP Rt A AD, / AAD=/BAP/AAD+/AiAP=/BAPZAiAP=90,APIAiD./ CDAAiD= D, CD?平面 ACD AiD?平面 AiCDAPI平面 AiCD.第 4 課時 平面與平面的位置關(guān)系

29、一、填空題a,B為互不重合的平面，m n 是互不重合的直線，給出下列四個命題：m/ n , n?a,貝V m/ a;m?a ,n?a , m/B ,n,貝U a / B; a/3 ,m?a ,n?B ,貝U m/n; a丄B , aA B=m n?a ,n 丄 m,貝Un 丄B.其中正確的命題是 _ .（填序號）答案：解析：中沒有強(qiáng)調(diào) m 在平面a夕卜；中沒有強(qiáng)調(diào) m, n 相交；中 m 與 n 有可能異面; 正確.2. 已知正方體 ABCD ABiGD ,下列結(jié)論中正確的是 _.（填序號）1ADi/ BC;2平面 ABD /平面 BDC;3ADi/ DC;4ADi/平面 BDC.答案：解析：

30、由四邊形 ABCD 是平行四邊形可知 AD/ BG ,故正確；根據(jù)線面平行與面面平 行的判定定理可知，正確；AD 與 DC 是異面直線，故錯誤.3. 已知a,B是兩個不同的平面，m, n 是兩條不重合的直線, 則下列說法中正確的序P.曰號是_ .1若 m/a , aAB =n,貝Um/ n;2若ml a, n 丄 m,貝Un /a;3若ml a ,n 丄B, a丄B,貝U mln；4若a丄B, a A B =n, mln,貝U ml B.答案：解析：對于，如圖，m/a,a A B= n ,此時 m, n 異面，故錯誤；設(shè)若若若若118對于，若a L 3,a A 3= n, mLn,則 m 也可

31、能與3相交、平行或在3內(nèi)，故錯誤.4._已知a和3是兩個不重合的平面.在下列條件中，可判定a/3的是_（填序號）1a內(nèi)有無數(shù)條直線平行于3；2a內(nèi)不共線的三點到3的距離相等；3I , m 是平面a內(nèi)的直線，且 I /3, m/3；4I , m 是異面直線且 I /a, m/a, I /3, m/3 答案：解析：由面面平行的判定定理可以推出.5. 設(shè)m, n 是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，下列命題中正確的是.（填序號） 若 ma ,n 丄3 ,mL n,貝 Ua丄3 ； 若 ma ,n 丄3 ,m/ n,貝 Ua丄3 ； 若 ma ,n 丄3 ,mL n,貝 Ua/3 ； 若 ma

32、,n 丄3 ,m/ n,貝 Ua/3.答案：解析：選項，由條件 nL 3, m/ n 推出 mL 3,又m/ a，易知a L 3.6.設(shè)a,3是兩個不同的平面，a, b 是兩條不同的直線，給出四個論斷：a A 3=b :a ?3；a / b;a /a.以其中三個論斷為條件，余下一個論斷為結(jié)論，寫出 你認(rèn)為正確的命題：_.答案：？或？解析：若aA 3=b,a?3 ,a/b,貝Ua/a，即？；若aA3=b,a?3 ,a/ a,則 a/b,即？.7.a,3為兩個不同的平面，mn 為兩條不同的直線，下列命題中正確的序號是1若a/3, m?a,貝Um/3；2若 m/a, n?a,則 m/ n;3若a L

33、 3 , a A 3 =n,mLn,貝UmL 3 ；4若 nLa,n 丄3 ,mL a ,貝UmL 3.答案：解析：由a,3為兩個不同的平面，m, n 為兩條不同的直線，知：在中，若a/3, m?a,則由面面平行的性質(zhì)定理得m/3，故正確；在中，若m/ a, n?a,貝Um/n或 m 與 n 異面，故錯誤；在中，若a L 3,a A 3= n, mLn,貝Um 與3相交、平行或 m?3，故錯誤; 在中，若 nLa,mL a,貝Umiln,又由 n 丄3得 mL 3,故正確.8.如圖，已知 PAL矩形 ABCD 所在的平面，圖中互相垂直的平面有答案：5解析： 由PAL平面ABCD知， 平面PAD

34、L平面ABCD平面FAB丄平面ABCD又 ADLPA 且 ADLAB對于，若對于，若m 丄 n,故正確;_對.n 丄B, a 3，貝Un Ila或 n?a,又mL a ,fD19PAAAB= A,. DAL平面 PAB /平面 DPAL 平面 PAB.又 BC/ AD 二 BCL平面PAB 平面PBCL平面 PAB 同理 DC1平面 PDA /平面 PDCL平面 PDA.9.已知a,3是兩個不同的平面，I , m 是兩條不同的直線,I 丄a, m?3,給出下列 命題： a/ 3? I 丄 m a丄3? I/mm/a? I 丄3;I 丄3?m/a.其中正確的命題是 _ .(填序號)答案：解析：是

35、面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，正確；a丄3, I 丄a, I , m 可平行，可相交， 可異面，命題錯誤；m/ a, I 丄a? I 丄 m? I 與3可平行，I 可在3內(nèi)，I 可與3相 交，命題錯誤；I 丄3,I丄a?3 /a?m/a，命題正確.10. 在棱長均相等的正四棱錐 PABCD 中 O 為底面正方形的中心， M, N 分別為側(cè)棱 PA PB 的中點，有下列結(jié)論： PC/平面 OMN平面 OMH平面 PAB OM! PA;平面 PCD/平面 OMN.其中正確結(jié)論的序號是_.答案：解析：如圖所示，其中 E, F 分別為 AD, BC 的中點，連結(jié) OE OF, G 為 OE 的中點，連 結(jié) E

36、M MGAC, BD 平面 OMN!卩平面 MNOE.因為 M 為 PA 的中點，O 為 AC 的中點，所以 PC/ OM 所以 PC/平面 OMN 同理 PD/平 面 OMN所以平面 PCD/平面 OMN 故正確.由于四棱錐的棱長均相等，所以PA2+ PC1 1=AB2+ BC= AC ,所以 PC!PA.又 PC/ OM 所以 OMLPA 故正確.因為 OM= qPO2 卩 ME 所以 MGLOE 又 MIN/ OE 所以 GML MN 假設(shè)平面 OMIN 平面 PAB 貝 U GML 平面 PAB 貝 U MGLPA 設(shè)四棱錐的棱長為 4 ,則 MA= 2 , AG= 5 , MG= -

37、3 ,三邊長度不滿足勾股定理， 所以 MG 不垂直 PA 與假設(shè)矛盾，故不正確.二、解答題11.如圖，在直三棱柱 ABCA3Q 中，BCL AC, D, E 分別是 AB, AC 的中點.求證:B1C /平面 ADE;平面 ADE 丄平面 ACCA1.證明：(1)因為 D, E 分別是 AB, AC 的中點，所以 DE/ BC. 又因為在三棱柱 ABCAB1C1中，BG /BC,所以 BQ / DE.又 BQ?平面 ADE, DE?平面 ADE 所以 BG/平面 ADE.(2)在直三棱柱 ABCAB1C1中，CC 丄底面 ABC又 DE?底面 ABC 所以 CC 丄 DE.又 BCL AQ D

38、E/ BC,所以 DEL AC.又 CC , AC?平面 ACCA ,且 CCQAC= C,所以 DEL 平面 ACg 又 DE?平面 ADE,所以平面 ADE!平面 ACCA.20fi12.如圖，在三棱錐 ABCD 中, AB 丄 AD, BC 丄 BD,平面 ABDL 平面 BCD,點 E, F(E 與A,D 不重合)分別在棱 AD BD 上，且 EF AD.求證：(1) EF(2)AD證明：/平面 ABC丄 AC.(1) 在平面 ABD 內(nèi)，因為 ABLAD EFLAD,所以 EF/ AB.又因為 EF?平面 ABC AB?平面 ABC 所以 EF/平面 ABC.(2) 因為平面 ABD

39、L 平面 BCD 平面 ABDT平面 BCD= BD,BC?平面 BCD BC 丄 BD,所以 BCL平面 ABD.因為 AD?平面 ABD所以 BCLAD.又 AB 丄 AD BCH AB= B , AB?平面 ABC BC?平面 ABC 所以 ADL 平面 ABC.又因為 AC?平面 ABC所以 ADLAC.13.如圖，在四面體ABCD 中 ,平面 ABCL平面 ACD E ,F , G 分別為 AB,AD, AC 的中點，AC= BC / ACD= 90求證：AB 丄平面 EDC若 P 為 FG 上任一點，求證:證明：(1)因為平面 ABCL 平面 平面ABC 門平面 ACD= AC C

40、D?所以 CDL 平面 ABC.又 AB?平面 ABC 所以 CDLAB.因為 AC= BC, E 為 AB 的中點, 所以 CEL AB.又 CEH CD= C, CD?平面 EDC CE?平面 EDC 所以 AB 丄平面 EDC.(2)連結(jié) EF , EG 因為 E, F 分別為 AB, AD 的中點，所以 EF/ BD.又 BD?平面 BCD EF?平面 BCD 所以 EF/平面 BCD.同理可證 EG/平面 BCD 且 EFAEG= E , EF?平面 BCD EG?平面 BCD所以平面 EFG/平面 BCD. 又 P 為 FG 上任一點，所以EP平面 EFG所以 EP/平面 BCD第

41、5課時 空間幾何體的表面積和體積一、 填空題1.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個圓心角為120,且面積為 3n的扇形，則該圓錐的體積為_ .答案：乙尹12解析：設(shè)圓錐的母線為I，底面半徑為 r，因為 3n= 3nl，所以 I = 3,由 2nr =I)ACD / ACD= 90,即 CDLAC 平面 ACD21120X n XI、亠、122 2n180 ，得 r = 1，所以圓錐的咼是 2*2，所以圓錐的體積是-X n X1 X2 2= 32.如圖，在正四棱柱 ABCD/BQ1D 中，AB= 3 cm , AA= 1 cm，則三棱錐 DABD 的體積為_cm3.Ati答案：3解析：三棱錐 DABD

42、的體積等于三棱錐 BADD 的體積，因為三棱錐 BADD 的高等于 AB,1 ADD 的面積為矩形 AA1DD 的面積的，所以三棱錐 BADD 的體積是正四棱柱 ABCDA1C1D113的體積的二，所以三棱錐 DABD 的體積為-X32X1=-.6623.若正四棱錐的底面邊長為 2 cm,側(cè)面積為 8 cm，則它的體積為 _ cm3.答案：守1解析：因為正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面積為 8,所以底面周長 c = 8, qch = 8,所以斜高 h = 2,所以正四棱錐的高 h = 3,所以正四棱錐的體積為X22X3=334.底面邊長為 2，側(cè)棱長為的正四棱錐的體積為 _ .4答案：44解析：底

43、面邊長為 2,側(cè)棱長為 3 的正四棱錐的高為 1，底面積為 4，則體積為 3.5.設(shè) M N 分別為三棱錐 P ABC 的棱 AB, PC 的中點，三棱錐 P ABC 的體積記為W,V2三棱錐 P AMN 的體積記為 V2,則 V=_.答案：141 1解析：設(shè)AAMN 的面積為 S,點 P 到平面 AMN 的距離為 h,貝 U V2= ?Sh，而 V = 2X3X2S小 V21Xh 則=一，則 Vi46.如圖，在正三棱柱 ABCABQ 中，已知 AB= AA= 3,點 P 在棱 CC 上，則三棱錐 PABA的體積為_ .822答案：攀419SAABA= 2X3X3 = 2，點 P 到底面 AB

44、A 的距離 ABC 的高: -3，故三棱錐的體積 V= Sh= I 衛(wèi).*347._已知正方體 ABCD ABCD 的棱長為 1，點 E 是棱 BiB 的中點，則三棱錐 BADE 的體 積為_ .答案：12iii i解析：三棱錐 BADE 的體積=三棱錐 DBAE 的體積=3X1XqX1X空=乜.8.若一個正方體與底面邊長為2 3，側(cè)棱長為.10 的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為_.答案：2解析：底面邊長為 2 寸 3，側(cè)棱長為 10 的正四棱錐的體積為 8，則該正方體的棱長為 2.9.已知正四棱錐 OABC 啲體積為 苓2,底面邊長為 3，則以 O 為球心，OA 為半徑的球的表面積為

45、_.答案：24n解析：設(shè)正四棱錐的高為h,則1X(3)2h=3-2，解得高 h=32.則底面正方形的對10.將矩形 ABCD 繞邊 AB 旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，AB= 3, BC= 2,圓柱上底面圓心為 O, EFG 為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形，則三棱錐OEFG 體積的最大值是_ .答案：4解析：因為將矩形 ABCD 繞邊 AB 旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱， AB= 3, BC= 2，圓柱上底面圓 心為O, EFG 為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形， 所以三棱錐 OEFG 勺高為圓柱的高，即高 為 AB,所以當(dāng)三棱錐 OEFG 體積取最大值時， EFG 的面積最大，1當(dāng) EF 為直徑，且點 G 在

46、 EF 的垂直平分線上時，(SEFt)max= ?X4X2 = 4,二、解答題11.如圖，在三棱錐 DABC 中，已知 BCD 是正三角形， AB 丄平面 BCD AB= BC= a, E 為BC 的中點，F(xiàn) 在棱 AC 上，且 AF= 3FC.(1)求三棱錐 DABC 勺體積；解析：三棱錐的底4n( 6)2所以三棱錐 OEFG 體積的最大值Vmax=3X(SEFG)1maxXAB= 3X4X3=4.6,所以球的表面積為233(2)若 M 為 DB 中點，N 在棱 AC 上，且 CN=-CA 求證：MN/平面 DEF.24(1)解：因 BCD 是正三角形，且 AB= BC= a,所以SxBCD

47、= al4因為 AB 丄平面 BCD 所以VDAB=VABCD=1X &BCDXAB=XJa2xa=)a3.33412(2)證明：連結(jié) CM 設(shè) CMHDE= 0,連結(jié) OF.2貝 U 0BCD 的重心,C0=TCM.332因為 CN CA AF= 3FC,所以 CF=-CN,所以 MIN/ OF.因為 OF?平面 DEF MN?平面 DEF,83DEF.在三棱錐 PABC 中 , PALAB, PALBC, AB 丄 BC, PA= AB= BC= 2,點 D 為線段 E 為線段 PC 上一點.PALBD證明：因為 PAL AB 因為 BD?平面 ABC 所以 (2)證明：因為 AB

48、= BC, 所以BDLAC.由(1)知，PALBD, PAH AC= A , PA AC?平面 PAC 所以 BDL平面 PAC 又 BD?平面 BDE 所以平面 BDEL 平面 PAC.解：因為 PA/平面 BDE 所以PA/ DE.DE=2PA=1 , BD= DC=2.由(1)知，PAL平面 ABC 所以 DEL 平面 ABC 1 1所以三棱錐 E BCD 的體積 V=;:BD- DC- DE=-.6313.如圖,在菱形 ABCD 中,AB= 2,ZABO 60 BD 折起得到四面體 EBCD 使 EC= 2.求證：EOLCD.所以 MN/平面12.如圖，AC 的中點，點求證：求證：平面

49、BDEL平面 PAC當(dāng) PA/平面 BDE 時,PA 丄 BC,所以 PAL 平面 ABC.PAL BD.點 D 為 AC 的中點，平面 PA6 平面 BDE= DE因為點 D 為 AC 的中點，所以BDAAC= 0,現(xiàn)將其沿菱形對角線求三棱錐 EBCD 的體積.25/ BDnAC= 0,.EO 丄 BD./ 在菱形 ABCD 中, AB= 2，/ ABC= 60,. AD= CD= BC= 2, AO= OC= 1./ EC=2, CO= EO= 1, EO2+OC=EC, EO 丄 OC 又 BDnOG= O, EO 丄平面 BCD - EO 丄 CD.解：設(shè)點 O 到平面 ECD 的距離

50、為 h，由(1)知 EOL 平面 OCD. 1 1V三棱錐 OCD= V三棱錐 EOCD艮卩& OCDEO= SECD h.2答案：2 或在 Rt OCD 中, OC= 1, OD= 3,ZDOC= 90,1SAOCD=OD=_2.在厶 CDE 中,26ED=DC=2,EC=. 2S CD= A2X22222= , h=SOS2ECDEO=弓，即點 O 到平面 EDC 的距離為亠 721第 6 課時 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、填空題1.已知空間四邊形 OABC 點 M N 分別為 OA BC 的中點，且 OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示MN,則MN=_. 1答案：2(

51、b+ca)解析：IW= 6N- 6M=2(b+c)2a=2(b+ca).2.若直線 I 丄a,且 I 的方向向量為(m, 2 , 4),平面a的法向量為 , 1 , 2 ,貝卩 m為_.答案：11入， 、2解析：T(m , 2 , 4)=入 3,1,2, - m= 1.72=入，4 = 2 入，83.若向量a= (1，入，2),b= (2 , 1,2),且a與b的夾角的余弦值為-,則入=_.4.已知點 P 是平行四邊形 ABCD 所在平面外一點.若 AB= (2 , 1, 4) ,AD= (4 , 2 ,0) ,AF= ( 1, 2, 1),則給出下列結(jié)論： APIABAPIAD；環(huán)是平面 A

52、BCD 的一個法向量； 環(huán)/BD.其中正確的是 _ .(填序號)答案：解析：AB-AP= 2X( 1) + ( 1)X2+ ( 4)X( 1) = 2 2 + 4 = 0，則AB AP,即 APIABAP-AD= ( 1)X4+ 2X2+ 0 = 0，則AP1AD,即 APIAD.又 ABA AD= A,. AP 丄平面 ABCD故 AP 是平面 ABCD 勺一個法向量.由于BD=ADAB= (2 , 3, 4) ,AP=( 1, 2, 1),解析：由 cosa,ba-b|a|b|8 29，解得入一2或 552721豐3 工土AP 與 BD 不平行.5.已知正四棱柱 ABCD - AiBCiD

53、i 中，AA= 2AB,貝 U CD 與平面 BDG 所成角的正弦值為2答案：3解析：以 D 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA= 2AB= 2,則 D(0, 0, 0),C(0, 1, 0) , B(1 , 1, 0) , G(0, 1 , 2)，則5C= (0, 1 , 0) ,DB=(1 , 1 , 0) , DC=(0 , 1 , 2).設(shè)平面 BDC 的法向量為n= (x , y, z)，貝 Un丄DBn丄 DC,所以有2,得平面 BDC 的一個法向量為n= (2 ,Tn DC2=|COS n, DO | = | | = 3.|n|DC|t6._如圖，在平行六面體 ABCD

54、iBiCD 中，AB= 4,AD= 3, AA= 5，/ BAD= 90,/ BAA=ZDAA = 60,則對角線 AG 的長度等于.答案：.85解析：AG = (AB+ AD+ AA) =AB+AD+AA + 2AB- AD 2AB AA+ 2AD- AA= 16+ 9 + 25+ 2X4X3Xcos 90 + 2X4X5Xcos 60 + 2X3X5Xcos 60 = 50 + 20 + 15= 85,即|AC1|=, 85.7._ 如圖， 在直三棱柱 ABG- ABC中， AB丄 AC, AB=AC= 2 , AA= 4,點 D 是 BC 的中點， 則異面直線 AB 與 CD 所成角的余

55、弦值為.x+y=0,人 _ 令 y=y + 2z= 0.2, 1).設(shè) CD 與平面 BDC 所成的角為0,則 sin0盡283 四答案：W解析：以 A 為坐標(biāo)原點，以 AB, ACAA所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角 坐標(biāo)系 A-xyz ,則 A(0, 0 , 0) , B(2 , 0 , 0) , C(0 , 2 , 0) , D(1 , 1 , 0) , A(0 , 0 , 4) , G(0 ,2 , 4),所以 AB= (2 , 0, 4), CD= (1 , 1, 4).因為C0S碓,% =朋=響,所以異面直線 AB 與 CD 所成角的余弦值為下 0 .8.已知 0

56、點為空間直角坐標(biāo)系的原點，向量 OA= （1 , 2 , 3） ,SB=（2 , 1 , 2） ,SP=（1 ,1 , 2）,且點 Q 在直線 OP 上運動.當(dāng)QA- QB 取得最小值時，0Q 的坐標(biāo)是_ .4 48 3，3，3答案:解析：點 Q 在直線 OP 上 , 設(shè)點 Q（入，入，2 入），則 QA= （1 入，2入，3 2入）,QB= （2 入，1 入，2 2 入），QA- QB= （1 入）（2 入）+ （2 入）（1 入）+ （3 2 入）（2 2=6 入2 16 入+ 10= 6 入一扌 |.當(dāng) 入 諾時，QA- SB 取得最小值一2,此時 &=83 .在正方體 ABCD

57、ABQD 中，點 E 為 BB 的中點，則平面 AED 與平面 ABCD 所成的銳二4 43 , 3 ,9.面角的余弦值為_.2答案：3解析：如圖，以 A 點為坐標(biāo)原點，AB, 角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為 1 ,AD AA 所在直線分別為 x, y, z 軸建立空間直則 A(0,0,1),E；1,0,1i,D(0,1,0),所以 AK(0, 1, 1),ATE=1, 0,-2.y z= 0 ,設(shè)平面 AED 的一個法向量為 m= （1 , y , z）,貝 U1所以I1一子=0,二；,所以2, 2).因為平面 ABCD 的一個法向量為n2= （0 , 0, 1），所以 cos 厲,n22 23x1=3

58、,29二、解答題10.如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD/BQD 中，點 P 為棱 GD 的中點，Q 為棱 BB 上的30因為AP= (1 , 2, 2) ,AQ= (2 , 0, 1),ITAP-AQ1x2+2x0+2X1!5所以 cosAP, AQ =.所以 AP 與 AQ 所成角的余弦|AP|AQ|出小15值為欝.15(2)由題意可知，AA= (0 , 0, 2) ,AQ= (2 , 0, 2 入).設(shè)平面 APQ 的一個法向量為n= (x , y, z),nAP=0,x+2y+2z=0,則即y，n AQ= 0,2x+1 2入z=0.令 z = 2,貝 U x= 2 入，y= 2 入

59、. 所以n= (2 入，2入，一 2).因為直線 AA 與平面 APQ 所成角為 45 ,11.如圖，在平行六面體 ABCD/BCD 中，AA 丄平面 ABCD 且 AB= AD= 2, AA = Q3, / BAD=120 .解:Axyz.點，且 BQ= BB(入工 0).1若入=，求 AP 與 AQ 所成角的余弦值;所以|cos_4_2 , (2 入)2+( 2-入)2+( 2)2一 化簡得5 入2 4 入=0.又入工 0,所以a31解：在平面 ABCD 內(nèi)，過點 A 作AELAD 交 BC 于點 E. 因為AA丄平面 ABCD 所以 AALAE, AALAD.如圖，以 A 點為原點，AE,AD,AA為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.因為 AB= A 2, AA=3，/ BAD= 120,所以 A(0, 0, 0) , B( 3, 1, 0) , D(0, 2, 0) , E( 3 , 0 , 0) , Ai(0 , 0 ,3) , C( 3 ,1 , .3) (1) A 芯(B , 1,羽)，(念,1 ,羽)，T TAB AC則 cos A1B, AG=T TIA1BIAC1|_ 羽+(-1)X1護(hù)_1,(.3)2+(1)2+(2x ( 3)