正余弦定理題型總結(jié)(全)

1、 平面向量題型歸納（全）題型一：共線定理應(yīng)用例一：平面向量共線的充要條件是（ ）A.方向相 同 B. 兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C.存在 D存在不全為零的實(shí)數(shù)變式一：對(duì)于非零向量，“”是“”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設(shè)是兩個(gè)非零向量（ ）A.若則 B. 若，則 C. 若，則存在實(shí)數(shù)，使得 D若存在實(shí)數(shù)，使得，則例二：設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線，（1）如果（2）如果求實(shí)數(shù)k的值。變式一：設(shè)兩個(gè)不共線向量，若三點(diǎn)A,B,D共線，求實(shí)數(shù)k的值。變式二：已知向量，且則一定共線的三點(diǎn)是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D

2、.A,C,D題型二：線段定比分點(diǎn)的向量形式在向量線性表示中的應(yīng)用例一：設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且,那么（ ）A. B. C. D. 變式二：在平行四邊形ABCD中，,M為BC的中點(diǎn)，則 ( 用表示)例二：在三角形ABC中，,若點(diǎn)D滿足,則( )A. B. C. D. 變式一：(高考題) 在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分角ACB,，,則( )A. B. C. D. 變式二：設(shè)D,E,F分別是三角形ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn)，且則與( )A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂

3、直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若,其則=變式四：在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，若則( )A. B. C. D. 題型三：三點(diǎn)共線定理及其應(yīng)用例一：點(diǎn)P在AB上，求證：且=1（）變式：在三角形ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M和N,若則m+n=例二：在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)H,設(shè)則A. B. C. D. 變式：在三角形ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AC上一點(diǎn)且AN=2NC,AM與BN相交

4、于點(diǎn)P,若求的值。題型四： 向量與三角形四心一、 內(nèi)心例一：O是ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 變式一：已知非零向量與滿足，且，則ABC為（ ）A. 等邊三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形變式二：P為ABC的內(nèi)心二、重心例一：O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，則為ABC的（ ）A.外心B.內(nèi)心C.重心 D.垂心 變式一：在ABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，證明：O為ABC的重心變式二：在ABC中，G為平面上任意一點(diǎn)，若O為ABC的重心三垂心：例一：求證：在ABC中， O為ABC的垂心變式一：O是平

5、面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 四外心例一：若O是ABC的外心，H是ABC的垂心，則變式一：已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且，則O，N，P依次是ABC的（ ）A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、內(nèi)心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 內(nèi)心題型五：向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且,試求點(diǎn)M,N和的坐標(biāo)。變式一：已知平面向量其中t和k 為不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)，（1）若，求此時(shí)k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)若，求此時(shí)k和

6、t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3個(gè)向量，回答下列問(wèn)題。（1）求；（2）求滿足的實(shí)數(shù)m,n;(3)若，求實(shí)數(shù)k；（4）設(shè)且，求。題型六：向量平行（共線）、垂直充要條件的坐標(biāo)表示例一：已知兩個(gè)向量,當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，向量與平行？變式一：設(shè)向量a,b滿足|a|=，b=（2,1），且a與b反向，則a坐標(biāo)為_(kāi)例二：已知向量且A,B,C三點(diǎn)共線，則k=（ ）A: B: C: D:變式一：已知且a/b，則銳角為_(kāi)變式二：ABC的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c 設(shè)向量若，則C的大小為（ ）A: B: C: D:題型七：平面向量的數(shù)量積例一：（1）在RtABC中，C=90

7、6;，AC=4，則（ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16（2）(高)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)；的最大值為_(kāi)（3）在ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=1，點(diǎn)P在AM上滿足，則等于（ ）A: B: C: D:變式一：(高) 如圖所示，平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3，則=_變式二：在ABC中，AB=1，BC=，AC=，若O為ABC的重心，則的值為_(kāi)例二：(高)在矩形ABCD中，AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若,則的值是 變式一：(高)在ABC中，,AC=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足,若,則=（ ）A: B: C: D:2 例三

8、：已知向量滿足則 變式一：在ABC中，若則 變式二：已知向量滿足則 變式三：已知向量滿足則 題型八：平面向量的夾角例一：已知向量則的夾角是例二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式一：已知向量滿足則的夾角是變式二：已知是非零向量且滿足則的夾角是變式三：若向量不共線，則的夾角是變式四：(高) 若向量滿足且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為.，則的夾角的取值范圍是例二：已知，的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：設(shè)兩個(gè)向量，滿足，的夾角為，若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍。變式二：已知均為單位向量，其夾角為，有下列4個(gè)命題：其中的真命題是（ ）A. B. C. D. 題型九：平面向

9、量的模長(zhǎng)例一：已知，向量的夾角為，求，。變式一：已知向量滿足，則= 變式二：已知向量滿足的夾角為，則= 變式三：在ABC中，已知求.例二：已知向量的夾角為，則= 變式一：(高) 已知向量的夾角為，且則= 變式二：設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，,=,則 變式三：已知向量，若則 例三：已知向量，滿足，且的取值范圍是 變式一：已知單位向量，且，的最大值為 變式二：(高)已知直角梯形ABCD中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P是腰DC上的 動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 題型十：平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用例一：在ABC中，A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c，已知向量，且滿足（1）求A的大小（2

10、）求的值變式一：已知變量，函數(shù)（1）求f(x)解析式（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間（3）如果ABC的三邊a,b,c滿足，且b邊所對(duì)的角為x，試求x的范圍和此時(shí)f(x)的值域變式二：已知向量（1）求證a·b及|a+b|（2）定義f(x)=a·b-2m|a+b|,若函數(shù)f(x)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值變式三：在三角形ABC中，已知（1） 求證 （2）若，求A的值21題型十一：平面向量在解析幾何中的應(yīng)用例題一：設(shè)曲線C 上任意一點(diǎn) 滿足向量且（1）求曲線的方程（2）過(guò)點(diǎn)N（0,2）作直線l與曲線C交與A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在直線l，使四邊形OAPB為矩形；若存在，

11、求出直線l的方程；反之，敘述理由。變式一：已知三點(diǎn)O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點(diǎn)M（x,y）滿足，求曲線方程。正余弦定理題型全歸納題型一：已知兩邊及一邊對(duì)角且角為銳角時(shí)需討論(1)a=4,b=5,A=(兩解);(2)a=5,b=4,A=(一解)方法匯總：方法一：大邊對(duì)大角；方法二：利用高h(yuǎn)=bsinA與a的討論方法三：利用余弦討論題型二：利用正弦定理解三角形例一：在ABC中，若B=,則C=變式一：在ABC中，若c=2,A=,a=,則B= 變式二：在ABC中，A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,a=,b=2,sinB+cosB=,則A的大小為 變式三：在ABC中，A,B,

12、C的對(duì)邊為a,b,c, B=,cosA=,b=(1)求sinC;(2)求ABC面積。變式四：在ABC中，A,B,C的對(duì)邊為a,b,c,A=2B,sinB=,(1)求cosA的值；（2）b=2,求邊a,c的長(zhǎng)。題型三：利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例：在ABC中，若A=2B,則的取值范圍為 變式一：在ABC中，B=,AC=,則AB+2BC的最大值變式二：(12新課標(biāo))已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊c=asinC-ccosA.(1)求角A的大??； （2）若a=2, ABC的面積為，求b,c.題型四：利用余弦定理解三角形例：在ABC中，b=1,c=,C=,則a= 變式一：在ABC中，

13、若a=2,b+c=7,cosB=-,則b= 變式二：已知在ABC的三邊成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 變式三：在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，若，則cosC的最小值為 變式四：(12遼寧)在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，（1）求；（2）若求B。題型五：利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化例：在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，若，則角B的值為（ ）變式一：在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，且,(1)求A的值。（2）求sinB+sinC的最大值。變式二：（10江蘇）在銳角ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，若,則 變式三：在ABC中，角A,B,C的對(duì)

14、邊為a,b,c，且，sinAcosC=3cosAsinC,求b.題型六：判斷三角形的形狀方法匯總：（1）求最大角的余弦，判斷ABC是銳角、直角、還是鈍角三角形（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰，等邊還是直角三角形例：在ABC中，若sinC=2cosAsinB,則此三角形為 變式一：（12上海）在ABC中，若,則ABC的形狀是 變式二：在ABC中，有以下結(jié)論（1），則ABC為鈍角三角形；（2），則(3) ,則ABC中為銳角三角形；（4），則a:b:c=1:2:3.其中正確的為 變式三：已知ABC中，則ABC的形狀為 變式四：已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)的最

15、小正周期和值域；（2）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a,b,c，若,試判斷ABC的形狀。題型七：正余弦定理與向量的綜合例一：在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,若.(1)求證：A=B;(2)求邊長(zhǎng)c的值；（3）若,求ABC的面積。變式一：在ABC中，AB=2，AC=3，,則BC= 變式二：在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,A=,。（1）求C;(2)若,求a,b,c.變式三：在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,且,(1)求ABC的面積；（2）b+c=6,求a的值。變式四：在ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c, 且.（1）求cosB的值；（2）若，

16、且b=2,求a和c的值。題型八：解三角形的實(shí)際應(yīng)用例：甲船以30海里/h的速度向北航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20min到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距10海里，求乙船的速度。 變式一：為了測(cè)量正在海面勻速行駛的某航船的位置，在海岸上選取距離1km的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,D。在某天10：00觀察到該船在A處，此時(shí)測(cè)得=,2min后，該船行駛到B處，此時(shí)測(cè)得=,=,=,則船速為 （km/min）BAC D變式二：當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往救

17、援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C處的乙船。（1）求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離；（2）設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向與成角，求f(x)= 的值域。A 20 B10C數(shù)列題型歸納（全）題型一：求等差數(shù)列的公差或取值范圍例一：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若=4，=20，則該數(shù)列的公差d等于 變式一：等差數(shù)列中，則該數(shù)列的的公差為 變式二：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31，若從第16項(xiàng)開(kāi)始小于1，則此數(shù)列的公差d的取值范圍是 題型二：求等比數(shù)列的公比例一：在等比數(shù)列中，則公比q的值為 變式一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，成等差數(shù)列，若=1，則=（ ）變式二：設(shè)公比為q（q>0）的等

18、比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若=3+2，=3+2,則q= 變式三：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為 題型三：求等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)例1：（1）已知遞增的等差數(shù)列滿足，則= (2)已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= 變式一：為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，=，則= 變式二：已知兩個(gè)等比，滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2：若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 變式一：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)= ；若它的第k項(xiàng)滿足，則k= 變式二：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，(a為非零實(shí)數(shù))，那么是否是等差數(shù)列？是否是等比數(shù)列？題型四：等差等比數(shù)列的求和例：在等比數(shù)列（n）中，若=1，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

19、變式一：是正數(shù)組成的等比數(shù)列，為前n項(xiàng)和，已知，則= 變式二：設(shè)f(n)=(n),則f(n)= 題型五：對(duì)于等比數(shù)列求和公式中q的討論例：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，求數(shù)列的公比q.變式一：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則其公比q等于 變式二：求和題型六：對(duì)于奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論例：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前n項(xiàng)和.變式一：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前n項(xiàng)和.題型七：對(duì)于含絕對(duì)值的數(shù)列求和例：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和=10n-,數(shù)列的每一項(xiàng)都有，求前n項(xiàng)和.變式一：在等差數(shù)列中，（1）求使<0的最小正整數(shù)n.(2)求的表達(dá)式。變式二：已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8.（1

20、）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。題型八：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用等差數(shù)列等比數(shù)列例：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于 變式一：設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，若 變式二：在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和等于 變式三：在等差數(shù)列中，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于 變式四：在等差數(shù)列中，則數(shù)列的前9項(xiàng)之和= 題型九：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用成等差數(shù)列例：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則= 變式一：設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則 變式二：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則 題型十：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解例：已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為

21、變式一：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為7:6，求中項(xiàng)。變式二：已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別是和,且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是 題型十一：利用等差等比數(shù)列的單調(diào)性求解例：已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì),都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 變式一：數(shù)列中，如果存在，使得且成立（其中k）,則稱為的一個(gè)峰值。（1）若，則的峰值為 （2），且存在峰值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍。例：在等差數(shù)列中，已知=20，前n項(xiàng)和為，且，求當(dāng)n取何值時(shí)，取最大值，并求此最大值。變式一：數(shù)列為等差數(shù)列，若，且其前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)，n= 變式二：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則<0且0

22、<q<1是對(duì)于任意都有的 條件。變式三：已知（）,則在數(shù)列的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)是 題型十二：判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列（1）定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)，驗(yàn)證（）為同一常數(shù)（用于證明）（2）通項(xiàng)公式法：若，則為等差數(shù)列；若，則為等比數(shù)列；（3）中項(xiàng)公式法：等差；等比。一：定義法：例：（1）設(shè)是等差數(shù)列，證明：數(shù)列（c>0, 是等比數(shù)列。（2）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，證明（c>0, 是等差數(shù)列。變式一：數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知（n=2,3,4）,證明：數(shù)列是等比數(shù)列。變式二：已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列滿足下列條件：，其中a為常數(shù)，k為非零實(shí)數(shù)。令是等比數(shù)列。二：中

23、項(xiàng)公式法：例：已知數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列滿足,證明：數(shù)列是等差數(shù)列。變式一：已知等比數(shù)列的公比q=-0.5，（1）1向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=|cos<,>記=(x1,y1), =(x2,y2)則·=x1x2+y1y22重要定理、公式（1）向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)使那么與是共線向量；反之，如果是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使。（2）平面向量基本定理；如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)1，2，滿足=1+2。（3）兩個(gè)向量平行 ：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則 x1y2-x2y1=0（4）兩個(gè)向量垂直：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x