橢圓的簡單幾何性質(復習+練習+習題+同步練習)1

1、典型例題一例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況典型例題二例2 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可典型例題三例3 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長

2、為2，求橢圓的方程解：由題意，設橢圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題典型例題四例4橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為 又點在軸上，設其坐標為，代入上式，得 又點，都在橢圓上， 將此式代入，并利用的結論得 典型例題五例5 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中

3、項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：假設存在，設，由已知條件得，左準線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點不存在說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設存在，根據(jù)已知條件進行推理和運算進而根據(jù)推理得到的結果，再作判斷（3）本例也可設存在，推出矛盾結論（讀者自己完成）典型例題六例6 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關鍵是求斜率，故設斜率為，利用條件求解法一：設所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達定理得是弦中點，故得所

4、以所求直線方程為分析二：設弦兩端坐標為、，列關于、的方程組，從而求斜率：解法二：設過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達定理應用”及“點差法”有關二次曲線問題也適用典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標準方程（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為6分析：當方程有兩種形式時，應分別求解，如

5、（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設橢圓的標準方程為或由已知 又過點，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設方程為由已知，所以故所求方程為說明：根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”關鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應設方程或典型例題八例8 橢圓的右焦點為，過點，點在橢圓上，當為最小值時，求點的坐標分析：本題的關鍵是求出離心率，把轉化為到右準線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關鍵在于未知式中的“2”的處理事實上，如圖，即是

6、到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值典型例題九例9 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設橢圓上的點的坐標為，則點到直線的距離為當時，說明：當直接設點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程典型例題十例10 設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點的距離等于的點的坐標分析：本題考查橢圓的性質、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍此題可以

7、用橢圓的標準方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉換、形數(shù)結合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設所求橢圓的直角坐標方程是，其中待定由可得，即設橢圓上的點到點的距離是，則 其中如果，則當時，（從而）有最大值由題設得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當時，（從而）有最大值由題設得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是解法二：根據(jù)題設條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設橢圓上的點到點的距離為，則 如果，即，則當時，（從而）有最大值由題設得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當時（從而）

8、有最大值由題設知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，典型例題十一例11 設，求的最大值和最小值分析：本題的關鍵是利用形數(shù)結合，觀察方程與橢圓方程的結構一致設，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關系求得最值解：由，得 可見它表示一個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過（0，0）點和（3，0）點設，則 它表示一個圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即，此時；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15典型例題十二例12 已知橢圓，、是其長軸的兩個端點（1）過一個焦點作垂直于長軸的弦，

9、求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個點，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應從和的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手本題的第（2）問中，其關鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出不等式這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵成解：（1）設， 于是，是到的角故 （2）設，則，由于對稱性，不妨設，于是是到的角， 整理得， ， ，或（舍），典型例題十三例13 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進行討論解：當橢圓的焦點在軸上時，得由，得當橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本

10、題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進行討論典型例題十四例14 已知橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解解法一：由，得，由橢圓定義，得由橢圓第二定義，為到左準線的距離，即到左準線的距離為解法二：，為到右準線的距離，又橢圓兩準線的距離為到左準線的距離為說明：運用橢圓的第二定義時，要注意焦點和準線的同側性否則就會產(chǎn)生誤解橢圓有兩個定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時要靈活選擇，運用自如一般地，如遇到動點到兩個定點的問題，用橢圓第一定義；如果遇到動點到定直線的距離

11、問題，則用橢圓的第二定義典型例題十五例15 設橢圓(為參數(shù))上一點與軸正向所成角，求點坐標分析：利用參數(shù)與之間的關系求解解：設，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點坐標為典型例題十六例16 設是離心率為的橢圓 上的一點，到左焦點和右焦點的距離分別為和，求證：，分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉化為點到相應準線距離解：點到橢圓的左準線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關問題時，有著廣泛的應用請寫出橢圓焦點在軸上的焦半徑公式典型例題十七例17已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右

12、焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應的點坐標；(2)求的最小值及對應的點的坐標分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數(shù)當，即代數(shù)方法二是數(shù)形結合，即幾何方法本題若按先建立目標函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉化目標，運用數(shù)形結合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設是橢圓上任一點，由，等號僅當時成立，此時、共線由，等號僅當時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值(2)如下圖，設是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右

13、準線距離右準線方程為到右準線距離為此時點縱坐標與點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點坐標說明：求的最小值，就是用第二定義轉化后，過向相應準線作垂線段巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關問題的重要手段典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設為矩形在第一象限的頂點，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，

14、與圓錐曲線有關的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關分析：不失一般性，可以設橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設容易想到兩條直線的夾角公式，即，設，化簡可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合求解解：(法1)設橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長有關(法2)設，則(1)在中，由正弦定理得，當且僅當時等號成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長有關說明：橢圓上的一點與兩個焦點，構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結構，這樣就