初三數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題(含答案)及答案解析

1、初三數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題（含答案）及答案解析一、旋轉(zhuǎn)1 .閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的 頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這 個(gè)規(guī)律的圖形稱為 手拉手”圖形.如圖1,在 手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若 /BAJ /DAE, AB=AC, AD=AE,則 BD= CE在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造手拉手”圖形來(lái)解答下面的問(wèn)題：（2）如圖 2, AB=BC, /ABC=/BDC= 60°,求證：AD+CD= BD；如圖3,在 ABC中，AB= AC, Z BAC= m&#

2、176; ,點(diǎn)E為ABC外一點(diǎn)，點(diǎn) D為BC中點(diǎn), / EBC= / ACE ED，F(xiàn)D,求/ EAF的度數(shù)（用含有 m的式子表示）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） ZEAF =1m0 .2【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EQ只要證明DAB0EAC即可；（2）如圖2中，延長(zhǎng)DC到E,使得DB=DE.首先證明4BDE是等邊三角形，再證明 ABD0 4CBE即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) m°得到AG,連接CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED到M,使得 DM=DE,連接 FM、CM.想辦法證明AFEAFG 可得 / EAF=Z FAG=1

3、m° .2詳（1）證明：如圖1中， Z BAC=Z DAE,Z DAB=Z EAC, 在 DAB和EAC中,AD=AEDAB= EAC ,AB= AC DABZ EAC,，BD=EC(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)DC至ij E,使得DB=DE DB=DE, /BDC=60,° .BDE是等邊三角形， / BD=BE, / DBE=Z ABC=60 :/ ABD=Z CBE, .AB=BC, .ABDACBE,.AD=EC, BD=DE=DC+CE=DC+A D .AD+CD=BD.(3)如圖3中，將AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CG EG EF、FG,延長(zhǎng)ED到 M,使

4、得 DM=DE,連接 FM、CM.由(1)可知 EAg AGAC,.1. / 1 = / 2, BE=CQ3 BD=DC, /BDE=/CDM, DE=DM,4 .EDBAMDC,EM=CM=CG, / EBC=Z MCD,5 / EBC曰 ACF,/ MCD=/ ACF,/ FCM=Z ACB=/ ABC,/ 1=3=/ 2,/ FCG=/ ACB=Z MCF,. CF=CF CG=CM, .-.CFGACFM,6 .FG=FM,7 . ED=DM, DF± EM,8 .FE=FM=FG9 . AE=AG, AF=AF,10 .AFEAAFG,/ EAF=Z FAG=1m°

5、; .2點(diǎn)睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用半拉手”圖形中的全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)造半拉手”模型，解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.2 .如圖1,點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn).分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G, OC到點(diǎn)E,使OG=2OD, OE=2OC,然后以 OG、OE為鄰邊作正方形 OEFG 連接 AG, DE.求證：DEL AG；(2)正方形ABCD固定，將正方形 OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1角(0< “<360 °)得到正方形OEFG：如圖 2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)/門4汀是直角時(shí)，求優(yōu)的度數(shù)；(注明：當(dāng)

6、直角邊為斜邊一半時(shí)，這條 直角邊所對(duì)的銳角為 30度)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求長(zhǎng)的最大值和此時(shí)。的度數(shù)，直接寫(xiě) 出結(jié)果不必說(shuō)明理由.【答案】(1) DEL AG (2)當(dāng)為直角時(shí)，“ =30或150。.315°【解析】分析：(1)延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,證明占百根據(jù)等量代換證明結(jié)論；(2)根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到=，分兩種情況求出的度數(shù);AF'長(zhǎng)的最大值(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出OA和OF的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出和此時(shí)M的度數(shù).詳解：|口)如圖1,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,?點(diǎn)。是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，.OA = OD

7、OAIOD二0G 二叫在A AOG和A DOE中 OA = ODL OG-OE& DOELAGO = JLDEO+ 士G/l。二對(duì)/. £GAO I "EQ = 9(T即叫！(Z)如國(guó)2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，玄。聲汀成為直角有兩種情況:G，(I川由。增大到'川過(guò)程中，當(dāng)上。八仃二”廠時(shí),1 1*：oa-od-)g-)g,?0A 1在成中，sin/AGO=*'N，AAG'O = 3?7 OAIOD OALAG'，OD/AG'即。二 30%1(11)。由90°增大到18?！边^(guò)程中，當(dāng)匕。八'=9°時(shí), 同理可

8、求OG' = 30a- 1800 -30* = 15(T當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、尸在一條直線上時(shí)，月F'的長(zhǎng)最大，;正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1 ,rOA-OD-OC-OU- -2-OG = 2OD: OGf-OG= /洛竹=2(2AF' = A0 + 0F = - + 2 ?v .CQE' = 45” ?,此時(shí)優(yōu)= 315”.點(diǎn)睛：考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，有一定的綜合性，注意分類討論的思想3.兩塊等腰直角三角板 ABC和 DEC如圖擺放，其中 /ACB=/ DCE=90°, F是DE的中 點(diǎn)，H是AE

9、的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想 FH和FG的 數(shù)量關(guān)系為 和位置關(guān)系為;(2)如圖2,若將三角板 DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均 不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,將圖1中的4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖 3, (1)中的猜想還 成立嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明.【答案】(1)相等，垂直.D(2)成立，證明見(jiàn)解析；(3)成立，結(jié)論是FH=FG,FHXFG.1FG= BE,2【解析】試題分析：(1)證AD=BE根據(jù)三角形的中位線推出FH=1AD,

10、 FH/ AD,2FG/ BE,即可推出答案；(2)證 AC* BCE,推出AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；(3)連接BE、AD,根據(jù)全等推出 AD=BE,根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案. 試題解析：(1)解：CE=CD AC=BC /ECA=/ DCB=90 ,BE=AD,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn),.FH=1AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 22，F(xiàn)H=FG.ADXBE,FHXFG,故答案為相等，垂直.(2)答：成立，證明：CE=CD / ECD=Z ACD=90 , AC=BC.ACDABCE .AD=BE,由(1)知：FH

11、=1 AD, FH/ AD, FG=1 BE, FG/ BE, 22，F(xiàn)H=FG FHI± FG,(1)中的猜想還成立.E(3)答：成立，結(jié)論是 FH=FG, Fhl± FG. 連接AD, BE,兩線交于 Z, AD交BC于X, 同(1)可證11.FH=-AD, FH/ AD, FG=- BE, FG/ BE,221 三角形ECD ACB是等腰直角三角形，2 . CE=CD AC=BC / ECD叱 ACB=90 ；/ ACD=Z BCE在 ACD和ABCE中AC=BCACD= BCE , CE=CD3 .ACDABC.AD=BE, /EBC4 DAC,4 / DAC+/

12、CXA=90 , ° / CXA=Z DXB,5 / DXB+Z EBC=90,°/ EZA=180 °90 =90 ；即 AD± BE,1. FH/ AD, FG/ BE,FHXFG,即 FH=FG FH± FG,結(jié)論是 FH=FG FHXFG.【點(diǎn)睛】運(yùn)用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線定 理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān) 鍵.4.如圖所示， ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90°, EC的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)P.(1)把4

13、ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1, BD, CE的關(guān)系是 (選填 相等”或不相等”)；簡(jiǎn) 要說(shuō)明理由；(2)若AB=3, AD=5,把4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/EAC=90。時(shí)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖 形，PD=,簡(jiǎn)要說(shuō)明計(jì)算過(guò)程；(3)在(2)的條件下寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PD的最小值為,最大值為1717【解析】分析：(1)依據(jù)4ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/ BAC=/ DAE=90 ,即可 BA=CA /BAD=/ CAE, DA=EA 進(jìn)而得至U AABDAACEL,可彳導(dǎo)出 BD=CR(2)分兩種情況：依據(jù) / PDA=/ AEC, /PCD=/ ACE,可得PCgACE，即可得到

14、PD-=CD-,進(jìn)而得至ij PD= /34 ;依據(jù) / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90 ,可得AE CE17 BADsBPE,即可得至|J 里 -BE-,進(jìn)而得出 PB=-6-V34 , PD=BD+PB=2°V34 ；AB BD3417(3)以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng) CE在。A下方與。A相切時(shí)，PD的值最??；當(dāng)CE在在。A右上方與 0A相切時(shí)，PD的值最大.在 RtPED中，PD=DE?sin PED,因此銳 角/ PED的大小直接決定了 PD的大小.分兩種情況進(jìn)行討論，即可得到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最小值以及最大值.詳解：(1) BD, CE的關(guān)系是

15、相等.理由： ABC和4ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，/ BAC=Z DAE=90 ,BA=CA, / BAD=Z CAE DA=EA.ABDAACE,BD=C故答案為相等.(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，若點(diǎn) C在AD上，如圖2所示：/ EAC=90,°ce=Jac2 AE2 734, / pda=z aec, / pcd=z ace,.,.PCDAACE,PD CDAE CE.pd=A734 ；17.RtABD 中，BD7AD2 AB2 扃，BE=AE- AB=2, / ABD=Z PBE, / BAD=Z BPE=90 ,°.BAABP匕PB BEPB21,即二-r=,

16、AB BD3.34.一 6 解得 pb=_ 734,34PD=BD+PB=/34 + 134 = 334 ,3417故答案為J34或J34 ； 1717(3)如圖3所示，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，當(dāng) CE在。A下方與OA相切時(shí)，PD 的值最小；當(dāng)CE在在。A右上方與。A相切時(shí)，PD的值最大.如圖3所示，分兩種情況討論：在RtPED中，PD=DE?s植PEQ因此銳角/ PED的大小直接決定了 PD的大小. 當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 4ACB的位置時(shí)，在 RtACE中，CE力52 32 =4,在 RtDAE 中，DE=J52 525石，.四邊形ACPB是正方形,PC=AB=3, PE=3+4=7,

17、在 RtA pDE 中，pD=而E-pe2 750 49 1,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最小值為1；當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中 AB'C'時(shí)，可得DP'為最大值，此時(shí)，DP'=4+3=7,即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段 PD的最大值為7.故答案為1, 7.點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三 角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這 些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決最值問(wèn) 題.5.如圖1,菱形ABCD, AB 4, ADC 120°，連接對(duì)角線 AC、BD交

18、于點(diǎn)O,1如圖2,將VAOD沿DB平移，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，求平移后的 VA'BO與菱形ABCD 重合部分的面積.2如圖3,將VA'BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交 AB于點(diǎn)E',交BC于點(diǎn)F,求證：BE' BF 2；求出四邊形OE'BF的面積.DDD【答案】1 73?2證明見(jiàn)解析 加【解析】【分析】(1)先判斷出ABD是等邊三角形，進(jìn)而判斷出 EOB是等邊三角形，即可得出結(jié)論;(2)先判斷出0 4OBF,再利用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；借助的結(jié)論即可得出結(jié)論.【詳解】1Q四邊形為菱形，ADC 1200,ADO 600，VABD為等邊三角形，DAO 30°，

19、ABO 600,.AD/A . ./A' OB=60 °VEOB為等邊三角形，邊長(zhǎng) OB 2,重合部分的面積：，3 4 J3,42在圖3中，取AB中點(diǎn)E,由 1 知，/EOB=60, /E' OF=60 / EOE '上BOF,又 EO=BO,/ OEE W OBF=60 , .OEE絲OBF, .EE' =BF .BE' +BF=BE ' +EE ' =BE=2由知，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終有 OEE0OBF,Saoee=Saobf,S 四邊形 OE BF= SVOEB J3 .【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等

20、邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵6.已知 RtDAB 中，/ADB=90°,扇形 DEF中，/ EDF=30；且 DA=DB=DE 將 RtADB 的 邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到扇形 DE F'設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 “（0°< a< 180°）(1)如圖 2,當(dāng) 0°< a< 90°,且 DF'/ AB時(shí)，求 a；(2)如圖 3,當(dāng) a =120；求證：AF' =BE【答案】（1） 15。； （

21、 2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1) . /ADB=90, DA=DB, . . / BAD=45 , . DF'/AB, . / ADF '上BAD=45 ；a =45- 30 =15 ;(2) a =120°,，/ADE =120；，/ADF =120° +30° =150/ BDE =360- 90° - rDA=DB120 =150 °, ./ADF' 2BDE',在 ADF'和 BDE'中，I NADF'=/EDE ,.ADFABDE； . . AF ' =BE'

22、;考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)； 全等三角形的判定和性質(zhì).7.如圖 1,在 ABC中，CA=CB /ACB=90°, D是 ABC內(nèi)部一點(diǎn)，/ADC=135°,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °得到線段CE,連接DE.(1) 依題意補(bǔ)全圖形； 請(qǐng)判斷/ADC和/CDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出答案.(2)在(1)的條件下，連接 BE,過(guò)點(diǎn)C作CMLDE,請(qǐng)判斷線段 CM, AE和BE之間的 數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)如圖2,在正方形 ABCD中，AB=P,如果PD=1, / BPD=90 ,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) A到BP(3)【解析】AB/ADC+/ CDE=180; (2) AE=

23、BE+2CM)理由解析;試題分析：(1)作CE!CD,并且線段CE是將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的， 再連接DE即可；根據(jù)/ ADC和/ CDE是鄰補(bǔ)角，所以 / ADC+/ CDE=18 0.(2)由(1)的條件可得 A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上，再通過(guò)證明4ACgABCE,易得AE=BE+2CM(3)運(yùn)用勾股定理，可得出點(diǎn) A到BP的距離.試題解析：解：(1) 依題意補(bǔ)全圖形(如圖)； /ADC+/ CDE=180°.(2)線段CM, AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是 AE=BE+2CM理由如下:線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,-CD=CE /dce=901 / CD

24、E土 CED=45.°又 / ADC=135 , / ADC+/ CDE=180 ,° A、D、E三點(diǎn)在同一條直線上.AE=AD+DE又 / ACB=90 , / ACB- / DCB之 DCE- / DCB, 即 / ACD=Z BCE又. ACmBC cd=ce .ACDABCE.AD=BE. , CD=CE / DCE=90 ； CM± DE. . DE=2CM. .AE=BE+2CM卡- 18.如圖2,邊長(zhǎng)為2的等邊 ABC內(nèi)接于。O, 4ABC繞圓心O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到 AAHf：, A1 e別與AB、AC交于E、D點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為M?！?36陰.圖1圖

25、2(1)當(dāng)儀=_,B'ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合;(2)當(dāng)以=60°時(shí)(如圖1),該圖()A.是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形B.是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形D.既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形(3)如圖2,當(dāng)當(dāng)就120 4ADE的周長(zhǎng)是否會(huì)發(fā)生變化，如會(huì)變化，說(shuō)明理由，如 不會(huì)變化，求出它的周長(zhǎng).【答案】(1) 120° (2) C; (3) 八爐的周長(zhǎng)不變.【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的中心角為120?？芍苯忧蠼猓?2)根據(jù)題意可知，當(dāng) 我=60°時(shí)，點(diǎn)A、4、B、E、C：為。的六等分點(diǎn)，所有的三

26、角形都是正三角形，由此可得到所有圖形即是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；(3)得到結(jié)論：周長(zhǎng)不發(fā)生變化，連接A41,根據(jù)弦相等，則它們所對(duì)的弧相等的性質(zhì)可得附二國(guó)，即招=馬，再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得由等角對(duì) 等邊的性質(zhì)可得政二叼：同理= 因此可求口目的周長(zhǎng)川+即+ AM我:即+丸'=北=2 .【詳解】解：(1) 120°.如圖，可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得/ 0=120 ；(2) C(3) 的周長(zhǎng)不變；理由如下：連接AA',MB W腕.圈- -1, ?- AA： = LAA'C ?闞二同理，=4的周長(zhǎng)="+杯”八 即即+即+葭

27、=3=2考點(diǎn)：正多邊形與圓，圓周角定理9.如圖1,在RtaABC中，ZACB=90°, E是邊AC上任意一點(diǎn)（點(diǎn) E與點(diǎn)A, C不重合），以CE為一直角邊作 RtA ECQ /ECD=90,連接BE, AD.（1）若 CA=CB CE=CD猜想線段BE, AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論； 現(xiàn)將圖1中的RtECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)銳角 ”，得到圖2,請(qǐng)判斷 中的結(jié)論是否 仍然成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若CA=8,CB=6 CE=3, CD=4,ECD繞著點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)銳角 ”，如圖3,連接BD,AE,計(jì)算 一的值.【答案】（1）BE=AD,

28、BEX AD；見(jiàn)解析；（2） 125.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD, BEX AD;設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn) G,根據(jù)/ ACB=Z ECD=90彳導(dǎo)出/ ACD=Z BCE，然后結(jié)合 AC=BC CD=CE得出AC*4BCE 貝U AD=BE, / CAD=/CBF,根據(jù) Z BFC=Z AFG,/ BFC+Z CBE=90得出/ AFG+Z CAD=90 ,°從而說(shuō)明垂直；首先根據(jù)題意得出 ACDABCE；然后說(shuō)明/AGE=/BGD=90。，最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線 段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解

29、：BE=AD, BEX ADBE=AD, BEX AD仍然成立證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)G,如圖1. /ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ' AC=BC CD=CE. AC* BCE . AD=BE / CAD=/ CBF v / BFC玄 AFG / BFC+Z CBE=90 °，/ AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90BEX AD(2)證明：設(shè)BE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F, BE的延長(zhǎng)線與 AD的交點(diǎn)為點(diǎn) G,如圖2./ACB=/ ECD=90,° ，/ACD=/ BCE ; AC=8, BC

30、=6, CE=3 CD=4 ACgBCE/ CAD=Z CBE / BFC=Z AFG / BFC+/ CBE=90 / AFG+Z CAD=90 °/ AGF=90 °.1. BEX AD. / AGE=/ BGD=90 °= AG2 + E屏=月行工 + D3 協(xié) + AE2 = AG2 + KG? + Rd + DG2. BD2 + AE2 = AB1 + ED2 = CA2 + CB2 + CD2 + CE2 - 125考點(diǎn)：三角形全等與相似、勾股定理.10.如圖1,在4ABC中，E、D分別為AB、AC上的點(diǎn)，且 ED/BC,。為DC中點(diǎn)，連結(jié) EO并延長(zhǎng)

31、交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,則有S四邊形ebcD=Saebf.（1）如圖2,在已知銳角/AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)P任意作一條直線 MN,分別交射 線OA、OB于點(diǎn)M、N.將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線 MN滿足某個(gè)條 件時(shí)，AMON的面積存在最小值.直接寫(xiě)出這個(gè)條件 ：.（2）如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6,猶0）、（6, 3）、”）、（ 4、2）,過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對(duì)邊相交，將 四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.【答案】（1）當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最小；

32、（2） 10. 【解析】試題分析：（1）當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) P是MN的中點(diǎn)時(shí)Sa mon最小，過(guò)點(diǎn) M作MG/OB交EF 于G.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；（2） 如圖3 過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊 OG AB分別交于點(diǎn) M、N, 由（1）的結(jié)論知，當(dāng) PM=PN時(shí)，4MND的面積最小，此時(shí)四邊形 OANM的面積最大，S四邊形 OANM=Sa OAD-Sh. MND . 如圖3，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊 CB、OA分別交M、N,利用S 四邊形ocmn=Sa oct-SamnT,進(jìn)而得出答案.試題解析：(1)當(dāng)直線MN旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，AMON的面積最

33、小.如圖2,過(guò)點(diǎn)P的另一條直線 EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PFv PE,過(guò)點(diǎn)M作MG/OB交EF于 G,可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí) S 四邊形 mofg=Sa mon .1/ S 四邊形 mofgv Sa eof,Sa mon < Sa eof.當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí) SA MON最小.(圖上)r * 、一(2)分兩種情況:如圖3過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊 OG AB分別交于點(diǎn) M、N.延長(zhǎng)OC、AB交于點(diǎn)D,易知AD = 6, Saoad= 18 .由(1)的結(jié)論知，當(dāng) PM=PN時(shí)，AMND的面積最小，此時(shí)四邊形 OANM的面積最大. 過(guò)點(diǎn)P、M分別作PFXOA, M

34、M i±OA,垂足分別為Pi、Mi.由題意得 MiPi=PiA = 2,從而 OMi=MMi= 2,又 P(4,2), B(6,3).PiA=MiPi="O" M i=PiP=2, MiM=OM=2 ,可證四邊形 MMiPiP 是正方形. .MN/OA, /MND=90 ； NM=4, DN=4,求得 Samnd=8.:，一 二.如圖3，過(guò)點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊 CR OA分別交M、N. 延長(zhǎng)CB交x軸于T點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)可得直線 BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y =-x+9 .則T點(diǎn)的坐標(biāo)為(9, 0). II 19 81/.Saoct=?X 9p

35、>=4 .由(1)的結(jié)論知：當(dāng)pm=pn時(shí)，AUNT的面積最小，此時(shí)四邊形 OCMN的面積最大.過(guò)點(diǎn)p、M點(diǎn)分別作PPiOA, MM1LOA,垂足為P1, M1.從而 NPi=PiMi, MMi=2PP=4.點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 5,點(diǎn) P （4、2） , PiM仁 NPi= 1, TN =6.181133244.'.Samnt=X 6X 4=12S四邊形 ocmn=Szoct-S mnt = -12= T V 10.綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10.yfr圖初圖于考點(diǎn)：1.線動(dòng)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題；2.正方形的判定和性質(zhì)；3.圖形面積求法；4.分類思想的應(yīng)用.11.已知4ABC是等腰三

36、角形，AB=AC(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DE/ BC時(shí)，有DB_ EC (填 4"，之"或“二)'(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖 1中的4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a ( 0°< “V 180°)到圖2位置， 則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展運(yùn)用：如圖 3, P是等腰直角三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，/ACB=90,且PB=1, PC=2, PA=3,求/BPC的度數(shù).【答案】(1) =； (2)成立，證明見(jiàn)解析；(3) 135°.【解析】【分析】試題(1)由DE/ BC,得至U DB 型，結(jié)合AB=A

37、C,得至U DB=EC AB AC(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出 DAB0 4EAC,得到DB=CE(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出 CPg4CEA再用勾股定理計(jì)算出 PE,然后用勾股定理逆定理判斷 出 PEA是直角三角形，在簡(jiǎn)單計(jì)算即可.【詳解】(1) DE/ BC,DB EC, , ，AB AC.AB=AC,.DB=EC故答案為二,(2)成立.證明：由易知AD=AE,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知 / DAB=Z EAC, y.- AD=AE, AB=AC DABZ EAC,DB=CE(3)如圖，將CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90。得ACEA,連接PE.,.CPBACEA.CE=CP=2 AE=BP=1, /PCE=90 / CEP

38、4 CPE=45,°在RtPCE中，由勾股定理可得，PE=2也，在4PEA中，Pm=(2T2)2=8, AE2=12=1, PA2=32=9,.PE2+AE2=AP2, PEA是直角三角形/ PEA=90 ,°/ CEA=135, °又. ACPBACEA/ BPC=Z CEA=135 , °【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例12.如圖，在 RtABC中，Z ACB=90 °, / A=30 °,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn) P為直線BC上的動(dòng) 點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接 OG OP,將線段OP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60

39、76;,得到線段 PQ,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若 不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若 Z BPO=15°, BP=4,請(qǐng)求出BQ的長(zhǎng).【答案】(1) BQ=CP; (2)成立：PC=BQ; (3) 4邛 4 .【解析】試題分析：(1)結(jié)論：BQ=CP.如圖1中，作PH/ AB交CO于H,可得 PCH是等邊三角 形，只要證明 POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延長(zhǎng)線于 H.證明方法類似(1);(

40、3)如圖3中，作CE，OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FG連接CF.設(shè)CE=CO=a, 則FC=FP=2a, EF=3 a,在RtPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程 (J6 J2)a 近a 4 ,求出a即可解決問(wèn)題；試題解析：解：(1)結(jié)論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PH/ AB交CO于H.在 RtABC 中，. /ACB=90°, / A=30°,點(diǎn) O 為 AB 中點(diǎn)，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等邊三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 :. / CHP=Z CPH=60

41、 ; CPH是等邊三角形,PC=PH=CH, OH=PB, / OPB=Z OPQ+ZQPB=Z OCBZ COP ZOPQ=Z OCP=60 ； . / POH=Z QPB, PO=PQ,APOHAQPB, . PH=QB, .PUBQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作 PH/ AB交CO的延長(zhǎng)線于 H.在 RtABC 中，Z ACB=90°, / A=30°,點(diǎn) O 為 AB 中點(diǎn)，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等邊三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；. / CHP=Z CPH=60 ； .CP

42、H是等邊三角形， ，PC=PH=CH, OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO, /QPO=60+/CPQZ POH=Z QPB, / PO=PQ, POHAQPB, . PH=QB,.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點(diǎn)F,使得FP=FC,連接CF. / OPC=15 ； ZOCB=Z OCR/ POQ . / POC=45 ；. CE=EO,設(shè) CE=CO=a,貝U FC=FP=2a, EF=V3a,在 RtPCE中，PC=7PE2 CE2 ="(2a 底)a2 =(而 揚(yáng)a, .POCB=4, . (76 揚(yáng)a 啦a 4 ,解得 a=

43、472 276 , .PC=4/3 4,由(2)可知 BQ=PC, . . BQ=4« 4 .點(diǎn)睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)全等三角形的判定 和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全 等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(5, 0),菱形OABC的頂點(diǎn)B, C在第一象限，tan/AOC三，將菱形繞點(diǎn) A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 a(0。云AOC)得到菱形FADE(,嵐O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F) , EF與OC交于點(diǎn)G,連結(jié)AG.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)OG=4時(shí)，求A

44、G的長(zhǎng)；(3)求證：GA平分/OGE;(4)連結(jié)BD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12, 0)時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).L15 20【答案】 (8,4);(2)斤；(3) (丁，=).【解析】試題分析：如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BHI± x軸于點(diǎn)H,由已知可得/BAH=/COA在R9ABH中，4tanZ BAH=tanZ AOC=v , AB=5,可求得 BH=4, AH=3,所以O(shè)H=8,即可得點(diǎn) B的坐標(biāo)為4(8,4) ; ( 2)如圖 1,過(guò)點(diǎn) A 作 AMOC于點(diǎn) M,在 RtA AOM 中，tan Z AOC- , OA=5, 3可求得AM=4, OA=3,所以GM=1 ,再由勾股定理

45、即可求得 AG=JF ; (3)如圖1,過(guò)點(diǎn)A 作ANLEF軸于點(diǎn)N,易證AOMAFN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得 AM=AN,再由角平分線 的判定可得 GA平分/OGE; (4)如圖2,過(guò)點(diǎn)G作GQ± x軸于點(diǎn)Q,先證 GOAs BAP 2015根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GQ=，再由銳角三角函數(shù)求得 OQ=,即可得點(diǎn)G的坐標(biāo)77試題解析：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BH，x軸于點(diǎn)H,四邊形 OABC為菱形，OC/ AB,/ BAH=Z COA.4.tan/AOC、，34tan / BAH=.呻J又在直角 BAH中，AB=5,43BH=3 . AB=4, AH=_ AB=3, .OH=OA+A

46、H=5+3=8,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8, 4);(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AMOC于點(diǎn)M,4在直角 4AOM 中，tan/AOCr , OA=5,343.AM= -OA=4, OM=-OA=3,.OG=4, .GM=OG-OM=4-3=1 ,AG=' +GA廣=+1" = J17 ；(3)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作ANEF于點(diǎn)N,在 AOM 與AFN 中，/ AOM = / F,OA= FA,/ AMO = / ANF= 90 ； .AOMAAFN (ASA),.AM=AN, GA平分 / OGE(4)如圖2,過(guò)點(diǎn)G作GQ±x軸于點(diǎn)Q, 由旋轉(zhuǎn)可知：/ OAF=Z BAD形. .AB=

47、AD,/ ABP=. /AOT=/ F, /OTA=Z GTF,./-180° Y . / OGA=/ EGA=1,T 一/ OGA=ABF又 / GOA=Z BAP,.GOAABAP,GQ OA.=.RH AP520GQ= - X 4=-. tan/AOC=7 ,（第26超-2）考點(diǎn)：三角形、四邊形、銳角三角函數(shù)的綜合題14.已知O為直線MN上一點(diǎn)，OP, MN,在等腰RtABO中， BAO 90 , AC OP 交OM于C, D為OB的中點(diǎn)，DEL DC交MN于E.如圖1,若點(diǎn)B在OP上，則AJ OE填之"，="或 法”；）線段CA、CO CD滿 足的等量關(guān)系

48、式是;（2）將圖1中的等腰RtABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) （045 ）,如圖2,那么（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；將圖1中的等腰RtABO繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) （），請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出 線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式 ;【答案】(1)二；AC 2+CC2=CC2； (2) (1)中的結(jié)論 不成立，理由見(jiàn)解析；(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析；OC-CA=J2CD.【解析】試題分析：(1)如圖1,證明AC=OC和OC=OE可得結(jié)論； 根據(jù)勾股定理可得： AC2+CO2=CD2； (2)如圖2, ( 1)中的結(jié)論不成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明 A、D、O、C四點(diǎn)共圓，得 /ACD=/ A

49、OB,同理得：/ EFO=/ EDO,再證明 ACOAEOF7,彳# OE=AC AO=EF,根據(jù)勾股定理得： AC2+OC?=F02+OE2=eF2,由直角三角形中最長(zhǎng)邊為斜邊可得結(jié)論；(3)如圖3,連接AD,則AD=OD證明AC*OED,根據(jù)4CDE是等腰直角三角形，得 C彥=2CD2,等量代換可得結(jié)論(OC- OE) 2= ( OC- AC)2=2CE2,開(kāi)方后是：OC- AC哂 CD.試題解析：(1)AC=OE,理由：如圖 1,二.在等腰 RtABO 中，/BAO=90,./ABO=/ AOB=45 , . OP± MN ,/ COP=90 ,°/ AOC=45 ； . AC/OP, . /CAO=/ AOB=45；/ACO=/ POE=90； ,-.AC=OC連接AD, .BD=OD, .1. AD=OD, AD± OB, .AD/ OC,，四邊形 ADOC 是正方形，. / DCO=45 ； .AC=OD, / DEO=45 ；. CD=DE. OC=OE .AC=OE；在RtA CDO中， . CD2=OC2+OD2, -CE2=AC2+OC2；故答案為aC?+cO2=cD2；(2)如圖2, (1)中的結(jié)論不成立，理由是：連接AD,延長(zhǎng)CD交OP于F,連接EF,.AB=AO, D 為 OB 的中