五年級下冊數(shù)學(xué)素材-第三單元知識點易錯點匯總無答案人教版

1、第三單元長方體和正方體知識梳理及練習(xí)無答案一、長方體和正方體的認(rèn)識要素立體圖形棱面頂點數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長方體12互相平 行的棱 長度相 等6相對的面完全相同8同一個頂點引出的三 條棱分 別叫做長、寬、高特殊長方體12垂直于 正方形 面的棱 長度相 等6兩個面是正 方形，其余四 個面是完全 相同的長方 形8正方體12所有的棱長度都相等6所有面都是正方形且完全相同8【知識點11一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！【知識點2】棱長和公式：長方體棱長和=（長+JW） X4+高=棱長和+4長方體棱長和=下面周長X2+圖X4長方體棱長

2、和=右面周長X 2+長X4長方體棱長和二前面周長乂2+寬><4棱長=正方體棱長和二棱長X12棱長和+ 12棱長和的變形:例如：有一個禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10厘米彩帶，一共需要多長的彩帶?分析：本題雖然并未直接提出求棱長和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解決問題時首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從 而間接去求棱長和。前面和后面的彩帶長度=高的長度；左面和右面的彩帶長度=高的長上面和下面的彩帶長度 =長的長 度。需要彩帶的長度=高><4+長X2+打結(jié)部分長度20 X 4+30 X2+10=150cm【知識點3】確定長方體中每個面的形狀以

3、及長、 寬、高分別是多少。長方體一共有（6）個面，（相對的）面完全相同，如：前面和（ 后 面）完全相同，（上面）和（下面）完全相同，（左面）和（右面） 完全相同。根據(jù)習(xí)慣我們一般認(rèn)為在一個平面中水平方向的為長， 垂直方向的為 高。根據(jù)這一習(xí)慣我們我們只需找到需要的面并根據(jù)習(xí)慣確定長和寬 即可?！局R點4】折疊可以組合成正方體正方體表面展開圖分析中間呷滓串兩邊.&- E由使方攵二三球連擲r 三一相連一陋便斯兩相連各挪一三個兩月E 一而齊B=>=B匚二J I【知識點5】長方體或正方體的切割組合對棱長的影響（1）切割將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條長和4

4、條寬；（棱長增加的最長）將長方體豎向切割成兩個長方體后， 棱長將比原來一個長方體時增加4 條寬和 4 條高； （棱長增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個方向切割成兩個長方體后， 棱長將比原來增加8 條棱。2）組合將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條寬；（棱長減少的最多）將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條高；將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條寬和4條高；（棱長減少的最少）棱長比原來兩個正方體時將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后， 減少 8 條棱；一次類推將三個完全相同的正方體沿上下面

5、組合后， 棱長比原來三個正方體時減少16 條棱，四個組合減少 24 條棱，五個組合減少 32條（公式：8X （N 1）例如： 將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后， 棱長和為 140厘米，原來每個正方體的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有12X5=60條；將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少 32 條，還剩60-32=28 條；28 條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：140 +28=5cm ;所以一個正方體的棱長和為：5Xl2=60cm?！局R點6 】小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體， 每條棱的長度相等， 所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小

6、正方的個數(shù)應(yīng)該是相等的， 因此要拼出最小的正方體至少需要2X2X2=2 3=8個（也就是說每條棱上放2個小正方體） ，接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3 個小正方體即 3X3X3=3 3=27個，依次類推接下來是 4X4X4=4 3=64個；5X5X 5=5 3 = 125 個從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數(shù)應(yīng)該是一個數(shù)的立方。 這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=1000小正方體拼大長方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍，如，長

7、方體長是小正方體棱長的 a 倍，寬是小正方體棱長的 b倍，高是小正方體棱長的c倍，則，大長方體就是由axbxc個小正 方體組成的。二、長方體和正方體的表面積【知識點 1 】長方體表面積=（長X寬+長X高+寬X高）X2 = （axb+a xc+b xc）X2=（前面面積+上面面積+右面面積）X2正方體表面積二棱長>< 棱長X6=a XaX6=6a 2=任意一個面的面積x 6前面面積 = 后面面積；左面面積= 右面面積；上面面積= 下面面積兩個棱長和相等的長方體或一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！【知識點2 】

8、長方體表面求法的變形： 貼商標(biāo)類型：只求四周面積。例如： 一個長方體包裝盒，長寬高分別為 8,4,5 ，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)，需要商標(biāo)紙的面積是多少？ 游泳池類型：只求四周和底面。例如： 一座游泳池，長寬高分別為 10m ， 4m ， 1.5m ，需要在池內(nèi)貼上邊長為 1dm 的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？ 抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。例如： 一款抽紙盒，長寬高分別是20cm ， 12cm ， 5cm ，上面有長14cm ，寬 3cm 的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？ 占地面積問題：只求底面面積。例如： 一個長方體蓄水池，長12m ，寬 8m ，深 3m ，這個水池占地面積多少

9、平方米？【知識點 3 】棱長變化對表面積的影響：? 正方體正方體的棱長擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4 倍，體積擴大8 倍；正方體的棱長擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9 倍，體積擴大27 倍；正方體的棱長擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2 倍，體積擴大n3倍。? 長方體長方體的長寬高同時擴大2 倍，其棱長和也擴大2 倍，表面積擴大4倍，體積擴大8 倍；長方體的長寬高同時擴大3 倍，其棱長和也擴大3 倍，表面積擴大9倍，體積擴大27 倍；長方體的長寬高同時擴大n 倍，其棱長和也擴大n 倍，表面積擴大n2倍，體積擴大n3倍。長方體的長擴大a 倍，寬擴大b 倍，高擴大c

10、 倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律，體積擴大 axbxc倍。長方體的長擴大a 倍，寬擴大b 倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大axb倍。長方體的寬擴大b 倍，高擴大c 倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大bxc倍。長方體的長擴大a 倍，高擴大c 倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大axc倍。【知識點 4 】立體圖形的切割：（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題）? 長方體沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩

11、刀增加四個完全相同的面，依次類推。? 正方體無論沿那個面平行的方向切， 都將增加兩個正方形的面， 增加的面積均為 2a2 不存在增加最多最少的問題。例如： 兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？要求最省包裝紙， 即表面積最小， 也就是表面積比原來單獨包裝時減少的表面積最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大的正方體，該正方體的棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？J &quo

12、t;涯沌d工匣米j- J ：/4，厘米七厘米4厘米&厘米分析：以最短的棱為正方體的棱長，即以高為2cm的棱為正方體的棱長，那么正方體的棱長和為：2X12=24cm。切去正方體后所剩部分的長為4-2=2cm ,寬為3-2=1cm,高仍為2cm,因此所剩部分表面積為:(2X 1+2X 2+1 X2) X 2=16cm2。立體圖形的組合(組合只會使表面積減少，因此存在減少最多或最少的問題)?長方體密R R將原來長方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。將原來長方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。而且兩個組合將減少兩個完全相同的面， 三個組合減少四個完全相同 的面，依次

13、類推。?正方體不存在增加最多最少的問題?！局R點5】小正方體拼成的大正方體表面涂漆無論沿那個面組合，都將減少兩個正方形的面，減少的面積均為2a2問題 大正方體長、寬、高上有幾個小正方體，則將 長、寬、高上的正方體數(shù)相乘就是大正方體所含小正方體的總數(shù);在頂點位置的小正方體露在外面的面有 3個;在棱上（不包含頂點位置）的小正方體露在外面的面有 2個；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有 1個；用總數(shù)一3個面的一2個面的一1個面得=沒有露在外面的小正方體 的個數(shù)?！局R點6】挖去的小正方體在頂點位置，則大正方體的表面積不 變，因為原來在頂點位置小正方體露在外面的面為 3個，挖 去后露出來的面

14、也是 3個，所以表面積不變。挖去的小正方體在棱的位置，則大正方體的表面積增 加，因為原來在棱上的小正方體露在外面的面有 2個，挖去 后會露出4個面，所以表面積會增大。挖去的小正方體在面上，則大正方體的 表面積也會增小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化【知識點71單位換算 長度單位：mm、cm、dm、m面積單位： mm2、cm2、dm2、m2100體積單位： mm3、cm3、dm3、m31000相鄰兩個單位進(jìn)率為10相鄰兩個單位進(jìn)率為相鄰兩個單位進(jìn)率為相鄰兩個單位進(jìn)率為1000特別的：1ml=cm 31l=1dm 31 方=1m 3容積單位：ml、l不是同一類型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大

15、小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以進(jìn)率。進(jìn)率X高級單位的高級單位. 新；低級單位低級單位的數(shù)+進(jìn)率例如：手指尖約占了 1立方厘米的空間，即它的體積約為1立方厘 米。一個粉筆盒的體積約為1 dm3。建一游泳池，約要挖土 6000方。1.36 dm 3 =1360 cm 34.573m 3 =4573 dm 3一個燒杯約能裝水500ml。520ml=0.52L5.67L=5.67 dm 3 =5670cm 3三、長方體和正方體的體積【知識點 1 】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大??； 容積是指所容納物體的體積； 一個物體的容積一般都比它的

16、體積小。當(dāng)容器壁厚度忽略不計時體積= 容積；否則體積< 容積。比如說， 一個洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積。 （容器壁忽略不計）體積計算方法：長方體的體積=長X寬X高正方體的體積二棱長X棱長X棱長長方體和正方體的體積=底面積X高二右面面積X長二前面面積X寬體積相等的兩個長方體或者一個長方體與一個正方體， 表面積不一定相等，棱長和也不一定相等。體積相等的兩個正方體，表面積一定相等，棱長和也一定相等。體積相等的情況下正方體的表面積比長方體的??； 表面積相等的情況下正方體的體積比長方體的體積大?！局R點 2 】體積大小的比較對于液體可以直接比較體積的大小， 如果液體體積小于

17、容器既可以裝得下，如果大于容器體積則裝不下。對于固體而言， 在體積小于容器體積的前提下， 還需要比較物體的長寬高于容器的長寬高， 只有物體的長寬高都小于或等于容器的長寬高時才可以將物體裝入容器。例如： 有一個長為 8 分米，高位5 分米，體積為 240 平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長為 7.4 分米，高位4 分米，寬為 6.5 分米，是否可以放入該容器？分析： 單純計算容器和陶瓷的體積我們可以發(fā)現(xiàn)：陶瓷體積< 硬紙盒體積。但這并不意味著瓷器就可以裝進(jìn)盒子。我們還需要觀察陶瓷長寬高于容器長寬高的大小。通過計算硬紙盒的長=8分米 寬=240 + (8X5) =6分米高 =5 分米陶 瓷 的

18、長 =7.4 分 米 寬 =6.5 分 米高 =4 分米由此可以發(fā)現(xiàn)陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不進(jìn)去的?！局R點 3 】切割組合對體積的影響將一個長方體或正方體任意的切割，切開后各部分的體積之和都等于原來長方體的體積。將幾個長方體或正方體隨機的組合，組合起來后的立體圖形的體積都等于原來各部分的體積之和。也即切割和組合不會改變原來各部分的體積，只是各部分體積的相加。例如： 將一塊體積為 30 立方米的石頭，切割成相同大小的石塊剛好可以切出 10 塊，每塊石頭的體積是多少？分析： 根據(jù)切出的每塊石頭大小相同， 可以知道每塊石頭的體積是相等的，而大石頭的體積30

19、立方米，一共貼出 10 塊，所以每塊石頭 的體積為：30+10=3 （立方米）根據(jù)切割組合對表面的影響來確定體積的變化例如： 把一個正方體木塊截成兩個相同的長方體后，表面積增加了32 平方分米， 原來正方體的表面積是（ 96 ） 平方分米， 體積是 （ 64 ）立方分米。分析： 根據(jù)正方體無論怎么切其都將增加兩個完全相同的正方形面，而且每個面的大小都等于原來正方體一個面的面積。 因此， 正方體一個面的面積為32+2=16 （平方分米），原來正方體的表面積為16 X6=96 （平方分米） ，根據(jù)原來正方體一個面的面積=棱長X棱長二棱長的平方=16 ,可知4的平方=16 所以原來正方體的棱長為4

20、分米，所以，原來正方體的體積為4X4X4=64 （立方分米）【知識點 4 】砌墻類問題例如： 養(yǎng)殖場需要砌一堵長為 30 米，寬為 24 厘米，高位2.5 米得墻，需要用長為 30 厘米，寬為 15 厘米，厚為 5 厘米的磚大約多少塊？分析：首先我們需要將墻的體積算出=3000厘米X24厘米X250厘米=18000000 平方厘米其次我們需要將每塊磚的體積算出=30厘米X15厘米X5厘米=2250 立方厘米我們只需要計算這堵墻的體積相當(dāng)于每塊/磚體積的多少倍即為所需要磚的數(shù)量 117= 18000000 +2250=8000 (塊)【知識點5】填土抬高地面類問題例如：如圖，已知A部分面積為25

21、平方米，B部分面積為36平方 米，A處比B處高2米，如果將A處推到與B處同樣高，B處大約 可以被抬高多少米？ A處大約下降多少米？分析：要使A、BIA地面高度相等，就相當(dāng)于將A處部分體積分?jǐn)傊?AB兩處， 但分?jǐn)偳昂驛部分體積并沒有改變只是占地面積由原來 A處面積變?yōu)锳B兩處 的面積。A部分體積=25X2=50立方米；分?jǐn)偟?AB兩處后體積不變?nèi)詾?50平方米=AB 處面積和X B處抬高的高度，B匕50= (25+36) XH解得正0.82米，所以B處可以被抬高大約 0.82米，A處大約下降20.82=1.18米?！局R點6】?不規(guī)則物體體積計算方法不規(guī)則物體的體積由于無法確定其長、寬、高因此

22、無法直接使用體積計算公式來計算具體積。一般不規(guī)則物體體積的測定方法采用排水法，也就是將物體放入盛滿水的容器中， 具排開水的體積就等于該物 體的體積。例如：一個長方體的水梢長18厘米，寬12厘米，高10厘米，里面 水深6厘米，將一個不規(guī)則的土豆放入后，水面上升到8厘米處，這個土豆的體積是多少？分析：根據(jù)物體排開水的體積等于物體的體積， 可知在放入土豆前后 水面高度分別為6厘米和8厘米，可見土豆排開水的高度為2厘米, 因此土豆的體積就等于這部分水的體積 =18 X12 X （8 6） =432平 方厘米?！局R點7】展開圖形拼長方體或正方體例如：用一張長60厘米，寬40厘米的長方形鐵皮，做成一個無蓋 長方體盒子，做成盒子的容積是多少？n廠思路一：從四個角上分別剪去一個邊長為10厘米的正方形后，觀察思考做成的長方體長是（40厘米），寬是（20 厘米），高是10厘米，它的容積8000立方厘米。思路二：從左邊剪下兩個邊長為1 0厘米的正方形，然后把這兩個正方形焊接到右邊，做成一個無蓋的長方體，觀察思考做成的長方體長是（30厘米），寬是（20厘米），高是10厘米，它的容積6000 立方厘米。思路三：從這個長方體上先剪下一個邊長為4 0厘米的正方形做