三角形四心向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)總結(jié)

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán) 請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流三角形“四心向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.O是 ABC 的重心 OA OB OC 0；假設(shè)O是ABC的重心,那么 uuir uuuuuuPG1 (PAPB3S BOCuuir PC )S AOC S AOB13sA“故OAOB OC 0G為ABC的重心.2 . O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OAtan A ：tan B :tan C假設(shè)o是ABC 非直角三角形的垂心,那么s boc： s aoc : s aob故 tan A OA tan BOB tan COC 02223 .是 ABC 的外心 |OA | |

2、OB| |OCgOA OB OC)假設(shè).是 ABC 的外心那么 Sboc： Saoc： Saob sin BOCsin AOCsin AOB sin2A: sin2B: sin2C故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 04.O是內(nèi)心 ABC的充要條件是OA .3 AL)|AB | ACOB ( BA BC ) OC (-CA|BA | |BC |CA |引進(jìn)單位向量,使條件變得更簡(jiǎn)潔.如果記AB,BC,CA的單位向量為ei,e2,e3,那么剛剛O是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫(xiě)成OA e13OB(eie2) OC (e2e3) 0 .日)O thABC內(nèi)心的充要條件也可以是 aOA

3、bOBcOC 0.假設(shè).是ABC 的內(nèi)心,貝U S BOC : S AOC : S AOB故aOAbOB cOC0或 sin AOA sin BOB sin COC 0.uur uuin|AB|PCumruur uuu uurr uurr r| BC | PA | CA | PB 0 P 是 ABC 的內(nèi)心;uuir向量-ABL -46-0所在直線過(guò) ABC的內(nèi)心是 BAC的角平分線所在|AB| |AC|直線；一將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1. O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)p滿(mǎn)足OP OA0,那么p點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)ABC的A外心B內(nèi)心C重心D垂心uuruuuA

4、B uur0和e2,又OP OA解析：由于 否是向量AB的單位向量設(shè) AB與AC方向上的單位向量分別為AB只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流原式可化為AP e ej ,由菱形的根本性質(zhì)知 AP平分 BAC ,那么在 ABC 中,AP平分 BAC,那么知選 B.二將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理例2. H是4ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn), HA HB HB HC HC HA 點(diǎn)H是 ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB , HA BC .故H是 ABC的垂心.反之亦然證略例3.湖南P是4

5、ABC所在平面上一點(diǎn),假設(shè) PA PB PB PC PC PA,那么P是4ABC的D A.外心B .內(nèi)心C.重心D.垂心解析:由而 PB PB PC得 PA PB PB PC 0.WPB PA PC 0,即PB CA 0那么PB CA,同理PA BC, PC AB 所以p為 ABC的垂心.應(yīng)選d.三將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理例4. G是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn), GA GB GC =0證實(shí) 作圖如右,圖中 GB GC Ge連結(jié)BE和CE,貝U CE=GB , BE=GCBGCE為平行四邊形點(diǎn)G是 ABC的重心.D是BC的中點(diǎn),將GBGC GE代入GAGB GC =0,AD為BC邊上

6、的中線.1PG 1 (PA PB PC). 3證實(shí) PG PA AG PB BG PC CG3PG(AG BG CG) (PA PB PC) G 是" ABC 的重心 ：GA GB GC =0AG BG CG =0,即 3PG PA PB PC由此可得pg1PA PB PC.反之亦然證略 3uuu uuu例6假設(shè)O為ABC內(nèi)一點(diǎn),OA OBuuur rOC 0 ,那么O是ABC的(A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心uuruuruuirr uuruuuuuu解析：由OAOBOC0得OBOCOA ,如圖以ob oc為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形,那么uur i uur由平行四邊形性質(zhì)知 O

7、E -OD, OA 2OE ,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì),所以是重心,選四將平面向量與三角形外心結(jié)合考查uuu uur uuur OB OC OD ,只供學(xué)習(xí)與交流得GA EG =0 GA GE 2GD ,故G是 ABC的重心.反之亦然證略例5. P是4ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是4ABC的重心資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流uuu例7假設(shè)O為ABC內(nèi)一點(diǎn),OAA.內(nèi)心 B.外心C.垂心uuuOBuuurOCD.重心,那么O是ABC的解析：由向量卞II的定義知 O到 ABC的三頂點(diǎn)距離相等.故 O是 ABC的外心,選Bo 五將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.向量 函,O

8、可,OP3滿(mǎn)足條件 函 +OP2+OP3 =0, |O可|=|OP2 |=|麗 |=1,求證 APiP2P3是正三角形.?數(shù)學(xué)?第一冊(cè)下,復(fù)習(xí)參考題五 B組第6題1證實(shí) 由0Pl+OP2 =-OP3,兩邊平方得 0Pl - OP2 = 21同理 OP2 , OP3 = OP3 - OP1 =, 2.| PP2 | = | P瓦 | = | P耳 |= <3 ,從而 PiP2P3 是正三角形.反之,假設(shè)點(diǎn)O是正三角形 PiP2P3的中央,那么顯然有 0Pl +OP2 +OP3 =0且10Pl |=|OP2 |=|OP3 |.即O是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),OPi +OP2 +OP3 =0 且

9、 |OPi | = |OP2 | = |OP3 | 點(diǎn) O 是正 P1P2P3 的中央.例9.在ABC中,Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心.求證： Q、G、H三點(diǎn)共線,且 QG:GH=1:2 .【證實(shí)】：以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸,建立如下圖的直角坐標(biāo)系.設(shè) A0,0、B xi,0、CX2,y 2 , D E、F 分別為AB BC AC的中點(diǎn),那么有：X1D ( ,0)、E (2X2 y2X1 X22 uuuuF(X2 y22 uuurX“由題設(shè)可設(shè)Q 二)AH(X2,Y4)QFX2 X1 y2uuuBC (X2 xl)uuuuQ AH uuuu AHy,uuurBC umr?B

10、C x2(x2X2(X2 xj¥2X1)y2y4uuurQQFuuurQFuuuuACumur ?AC、3y3X2J22y2X /X2X2(-2X1)42(萬(wàn)y3)uuuu QHy3)2x 22X13x 2(X22y1X1)只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流UULTQGx 2 x1xi y2萬(wàn),萬(wàn)y32x2 xi y2X2(X2 xi)2y2y222x 2 x1 3x2(x2 x1(6)6y;-1 uuur=-QH3y21 /2x2 x1T) 3(3x2(x2 xi)今 2yl 一萬(wàn),UUUUUULT即 QH =3QG ,故 QG H三點(diǎn)共線,且QG

11、GHM：例10.假設(shè)O、H分別是 ABC的外心和垂心.求證 off OA OB OC .證實(shí) 假設(shè) ABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長(zhǎng)交外接圓于 D,連結(jié)AD, CD.AD AB, CD BC.又垂心為 H, AH BC , CH AB,AH / CD, CH / AD,:四邊形AHCD為平行四邊形,AH DCDOOC,故 OH Oa aH Oa ob Oc .著名的“歐拉定理講的是銳角三角形的“三心一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：1三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線；2三角形的重心在 “歐拉線上,且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn),即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍“

12、歐拉定理的向量形式顯得特別簡(jiǎn)單,可簡(jiǎn)化成如下的向量問(wèn)題1 - -例11. 設(shè)O、G、H分別是銳角 ABC的外4、重心、垂心.求證 OG -OH31 證實(shí) 按重心JE理 G是 ABC的重心 OG 一OA OB OC.、一 、. "-* -h& b 1.按垂心定理 OH OA OB OC由此可得 OG - OH3補(bǔ)充練習(xí)1.A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),O是三角形ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足而(1 OA + 1OB +2OC ),w PABC 的3 22A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)非重心C.重心1.B取AB邊的中點(diǎn)M ,那么OA OB3OP 3OM 2MC , MP

13、' 2MC,3選B.11 一 1 一2OM ,由 OP = - - OA +OB 322即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn),且點(diǎn)+2 OC 可得P不過(guò)重心,故D.AB邊的中點(diǎn)ULUUIITUUUUUUUUUUUULUUULTUUUUUIT山!±1_2222222.在同一個(gè)平面上有ABC及一點(diǎn)o滿(mǎn)足關(guān)系式:oa + BC =OB + CA = OC + AB 那么.為ABC 的 D A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D 垂心UUU UUUULUT2 . ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足：PA PB PC只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)

14、與交流( c )A 夕卜心B 內(nèi)心 C重心 D 垂心P滿(mǎn)足:3.O是平面上一 定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)OP OA (AB AC),那么p的軌跡一定通過(guò) abc的A 夕卜心B 內(nèi)心 C重心 D 垂心4. ABC , P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn),且動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足:uuu uurPA?PCuuu uuuPA?PBuuu uuurPB? PC 0 ,那么p點(diǎn)為三角形的A 夕卜心內(nèi)心C重心 D 垂心5.P為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn)uuup滿(mǎn)足：a PA buuuPBuum c?PC0 ,那么P點(diǎn)為三角形的外心內(nèi)心C重心D 垂心外心ABC中,動(dòng)點(diǎn)一,2 滿(mǎn)足：CA2 CB 2AB?C

15、P ,P點(diǎn)軌跡定通過(guò) ABC的：內(nèi)心C重心垂心7.非零向量aB與aC滿(mǎn)足(2B- +jAC- |A B| |A C| ABBC=0且空|A B|AC 1=5 ,那么ABC 為()|aC| 2A.三邊均不相等的三角形uuuAB解析：非零向量與滿(mǎn)足(-uuLB.直角三角形uurACuuir ) =0C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形,即角A的平分線垂直于 BC, . AB=AC,又COSAuuu uuur|AB| |AC|AB AC 1 uuu uuur =2|AB| |AC|A= 一,所以 ABC為等邊三角形,選 D.38 . ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 h, OH m(O

16、A OB OC),那么實(shí)數(shù)m =9 .點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿(mǎn)足 OA OB OB OC OC OA ,那么點(diǎn)O是 ABC的(B)(A)三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)(B)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)(C)三條中線的交點(diǎn)(D)三條高的交點(diǎn)10.如圖1,點(diǎn)G是 ABC的重心,過(guò)G作直線與uuuv uuuvAB, AC兩邊分別交于 M N兩點(diǎn),且AM xAB ,uuu/ANuuiv 得AGuuv (ABABC的重心, uuuv uuuv AG) (ACuuv 知GAuuu/AG)uuv uuvGB GCuuvO,有 AGO,1 uuv uuv-(AB AC).又M, N G三點(diǎn)共線(A不在直線

17、MNL1),于是存在uuv,使得AGuunv AMuuLVAN (且1),uuiv 有AGuuv xABuuv 1yAC =-(uuvABUJIVAC),uuuv 11yAC,那么一一3.x y只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流1一11Hr1 '于是 3 °x yx y3例講三角形中與向量有關(guān)的問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2 、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)3 、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問(wèn)題4 、數(shù)形結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)：靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：針對(duì)性地運(yùn)用向量性質(zhì)來(lái)處理

18、三角形中與向量有關(guān)的問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：1、課前練習(xí)2OC ,那么 O是4ABC的D 、內(nèi)心一 2 21.1O是 abc內(nèi)的一點(diǎn),假設(shè) OA OBA、重心B 、垂心 C 、外心1.2在 ABC中,有命題 ABACbC ； aB bc cA 0 ；假設(shè) AB AC ? AB aCABC為等腰三角形；假設(shè) AB ? AC 0 ,那么 ABC為銳角三角形,上述命題中正確的選項(xiàng)是A、 B 、 C 、 D 、2、知識(shí)回憶2.1 三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心及簡(jiǎn)單的三角形形狀判斷方法2.2 向量的有關(guān)性質(zhì)2.3 上述兩者間的關(guān)聯(lián)3、利用向量根本概念解與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題例1、 ABC中,有AB AC ? B

19、CAB AC -0和空?生ABAC1 一“一一,試判斷 ABC的形狀.20 ,試判斷 ABC的形狀.4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題例2、O是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿(mǎn)足|可2BeA、重心B 、垂心C 、夕卜心|OB2、內(nèi)心ACOc|aB,那么 O是AABCWI 5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題例3、P是 ABC所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn) P滿(mǎn)足OPOAABACAB AC,0,那么動(dòng)點(diǎn)P一定過(guò) ABC的A、重心B 、垂心C 、外心 D、內(nèi)心練習(xí)1、 abc中,AB a , BC b, b是aabc中的最大角,假設(shè)a?b只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)

20、站刪除只供學(xué)習(xí)與交流練習(xí)2、O為平面內(nèi)一點(diǎn),A、B、C平面上不共線的三點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP OAAB0,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò) ABC的B 、垂心外心 D 、內(nèi)心例4、O是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OPOAABAC0,點(diǎn)P一定過(guò) ABC的A、重心B 、垂心、夕卜心 D、內(nèi)心練習(xí) 3ABC 所AB cosBAC cosC一OBOP OCABACA、重心例5、點(diǎn)0,那么動(dòng)點(diǎn)P 一定過(guò) ABC的AB cosBAC cosC、垂心、夕卜心 D、內(nèi)心G是的重心,過(guò)G作直線與AB AC分別相交于Ml N兩點(diǎn),且AM x?AB,ANy?AC ,求證:6、小結(jié)處理與三角形有關(guān)的向量問(wèn)題時(shí),要允分注

21、意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用,關(guān)注向量等式中的實(shí)數(shù)互化,合理地將向量等式和圖形進(jìn) 行轉(zhuǎn)化是處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.7、作業(yè)1、O是 ABC內(nèi)的一點(diǎn),假設(shè)OA OB OCO是4ABC的2、3、A、重心B 、垂心、外心、內(nèi)心假設(shè) ABC的外接圓的圓心為 0,半徑為1,且 OAOBOC0,那么OA?OB等于A、O是 AB5f在平面上的一點(diǎn),A、b、C所對(duì)的過(guò)分別是 a b、c假設(shè)a?OA b?OB c?OC 0,那么O是 ABC的A、重心B 、垂心、外心、內(nèi)心4、P是 ABC所在平面內(nèi)與A不重合的一點(diǎn),滿(mǎn)足AB AC 3AP ,那么 P是4ABCqA、重心B 、垂心c 、夕卜心、內(nèi)心5 、平面上的三個(gè)向量 OA、O

22、B、OC滿(mǎn)足OA OB OC 0 , OAOBOC1 ,求證： AB8正三只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流角形.6、在 ABC中,O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),假設(shè) AM= 2,求OA (OB OC)三角形四心與向量的典型問(wèn)題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體,有方向,大小,雙重性,不能比擬大小.在高中數(shù)學(xué)“平面向量(必修4第二章)的學(xué)習(xí)中,一方面通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面,我們又以向量為工具,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理的相關(guān)問(wèn)題.在平面向量的應(yīng)用中,用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí),首先將幾何問(wèn)題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示,然后選擇適當(dāng)?shù)幕?/p>

23、向量,將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問(wèn)題,最后將運(yùn)算的結(jié)果再?gòu)?fù)原為幾何關(guān)系.下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn),應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí),巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì).既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì),又體會(huì)了向量帶來(lái)的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感.一、重心的向量風(fēng)采【命題1】 G是 ABC所在平面上的一點(diǎn),uur uuu 假設(shè) GA GBuuirGC 0 ,那么G是 ABC的重心.如圖.【命題2 uuu uuu OP OA圖O是平面上一定點(diǎn),uuu uuur圖A B, C是平面上不共線的個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足(AB AC),(0,),那么P的軌跡一定通過(guò) 4ABC的重心.uuu

24、 uuuuuuruuruur【解析】由題意AP(ABAC),當(dāng) (0,)時(shí),由于 (ABAC)表示BC邊上的中線所在直線的向量,所以動(dòng)點(diǎn) P的軌跡一定通過(guò) ABC的重心,如圖.二、垂心的向量風(fēng)采【命題3】P是 ABC所在平面上一點(diǎn),假設(shè) PA PB PB PC PC PA,那么P是4ABC的垂心.uuu uuu uur uuiruur uuu uuiruuu uuuuur uur【解析】由PA PB PB PC ,得PB (PA PC) 0 ,即PB CA 0 ,所以PB,CA .同理可證uuiruuu uuuuuirPC,AB, PAX BC .P 是 AABC 的垂心.如圖.只供學(xué)習(xí)與交流

25、請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)圖【命題4】圖O是平面上定點(diǎn),A B, C是平面上不共線的個(gè)點(diǎn),動(dòng)P滿(mǎn)足uuiuOPuuOAuuiu AB-uurpABcosBuuuACuuruACcoC(0,p的軌跡定通過(guò) ABC的垂心.【解析】由題意uuuAP-uuu- ABcosBuurAB-utur- ACcosCuuurAC-uuu- ABcosBuur ABtuur ACcosC即uuur ACuuurBC 0 ,-uutrABcosBuuu uuir 即 AB BCuuu- ACcosCuuurACuuiuBCuuuurBCuuuuCBuuuuu口0,所以AP表示垂直于BC的向量,P點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)A且垂直于BC的直線上,所以動(dòng)點(diǎn) P的軌跡一定通過(guò) ABC的垂心,如圖.內(nèi)心的向量風(fēng)采【命題5】 I為 ABC所在平面上的一點(diǎn),且 AB c, AC b, BC auu uu .假設(shè) aIA bIBurcIC 0,那么I是zABC的內(nèi)心.uin【解析】. IB圖 uu uuu IA ABuu ,ICuuIAuurAC,那么由題意得(a圖uu uuin uuurb c)IA bAB cAC 0,只供學(xué)習(xí)與交流uuuuuur bAB cAC