方程與一次函數(shù)之間的關系

1、 中國教育培訓領軍品牌授課主題方程與函數(shù)的總復習教學目標1、 明確幾種方程的基本概念2、 能夠熟練掌握一元一次不等式的概念并能夠解決有關整數(shù)解的問題3、 了解一次函數(shù)概念以及基本性質(zhì)4、 能夠熟練解決有關一次函數(shù)與方程以及不等式之間的問題授課日期及時段教學內(nèi)容方程與函數(shù)的總復習模塊一、一元一次方程：知識點1：方程1）、方程 含有未知數(shù)的等式叫作方程.定義中含有兩層含義：方程必定是等式，即是用等號連接而成的式子；方程中必定有一個待確定的數(shù)，即未知的字母.二者缺一不可.2）、方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解.3）、解方程 求得方程的解的過程叫作解方程. 解方程與方程的解是兩個

2、不同的概念，后者是求得的結果，前者是求出這個結果的過程.4）、關于方程的解的檢驗 要驗證某個數(shù)是不是一個方程的解，只需將這個數(shù)分別代入方程的左邊和右邊，如果左、右兩邊 數(shù)值相等，那么這個數(shù)就是方程的解，否則就不是. 5、關于方程中的未知數(shù)和已知數(shù) (1)已知數(shù)：一般是具體的數(shù)值，例如中，的系數(shù)是1，它是已知數(shù)，但可以不說；5 和0是已知數(shù).如果方程中的已知數(shù)需要用字母表示的話，我們習慣上擁、 等表示. (2)未知數(shù)：是指要求的數(shù)，未知數(shù)通常用、等字母表示.例如在關于、的方程 中，、是已知數(shù)，、是未知數(shù).知識點2 ：一元一次方程的概念只含有一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的指數(shù)是1，含未知數(shù)的項的式子是

3、整式的方程叫做一元一次方程。注意：1、只含有一個未知數(shù) 2、未知數(shù)的指數(shù)為1 3、含未知數(shù)的項的式子是整式4、一元一次方程的最簡形式 方程(其中是未知數(shù)，、為已知數(shù))叫一元一次方程的最簡形式. 5、一元一次方程的標準形式 (其中是未知數(shù)，、是已知數(shù))的形式叫一元一次方程的標準形式. 注意：(1)任何一元一次方程都可以轉化為最簡形式或標準形式，所以判斷一個方程是不是一元 一次方程，可以通過變形為最簡形式或標準形式來驗證.例如方程是 一元一次方程.如果不變形，直接判斷就出會現(xiàn)錯誤. (2)方程與方程是不同的，方程的解需要分類討論完成(后面例 題中有具體講解)模塊二、二元一次方程：知識點一：二元一次

4、方程的概念   含有兩個未知數(shù)(一般設為x、y)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方     程如xy24，都是二元一次方程.要點詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).(2)“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(單項式)的次數(shù)是1. 如xy的次數(shù)是2，所以方程   6xy90不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 如方程的左邊不是整式，所以它就不是二元一 次方程.(4)判斷某個方程是不是二元一次方程，一般先把它化為axbyc0的形式，再根據(jù)定義判斷，例 如

5、：2x4y32x不是二元一次方程，因為通過移項，原方程變?yōu)?y3，不符合二元一次方程的形式。 知識點二：二元一次方程組的概念  把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 例如， 都是二元一次方程組.要點詮釋：如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，這樣的方程組也是二元一次方程組。例如，也是二元一次方程組.知識點三：二元一次方程組的解法   消元法：所謂“消元”就是減少未知數(shù)的個數(shù)，使多元方程最終轉化為一元方程再解出未知數(shù)。    即將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的消元思想。消元法分代入消元法和加減消元法

6、。（一）代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。是把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另        一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解，        這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示這個方程中的另一個未知數(shù);(2)將變形后的這個關系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程

7、；(3)解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；(4)將求得的這個未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.要點詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化 簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（二）加減消元法1加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過將兩個方程相加(或相減)消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉化為一元一次方程來解,這種解法叫做加減消元法，簡稱加減法。2用加減法解二元一次方程

8、組的一般步驟：(1)方程組中的兩個方程，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相反又不相等，就可用適當?shù)臄?shù)去乘一 個方程或兩個方程的兩邊，使兩個方程中的某一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加減(相同時相減，相反時相加)，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得其中一個未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡單的一個方程，求出另一個未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個未知數(shù)的值用符號“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對值相等，如果符號不同，

9、用加法消元，如果符號相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關系時，直接對其中一個方程變形，使其系數(shù)絕對值相等，再運用加減法消 元；(4)當相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時，找出某一個未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時對兩個方程進行變形， 轉化為絕對值相同的系數(shù)，再用加減法來解。模塊三：一元一次不等式知識點一：不等式的概念（一）、不等式的概念若設車速為每小時x千米，你能用一個式子表示上面的關系嗎？50/x2/3 或2/3x5 像這樣用“>”或“<”號表示大小關系的式子，是不等式。我們還見過像a+2a這樣用“ ”號表示的式子，也是不等式?！?gt;”、“<”、 “ ”叫做不等號，不等號也

10、可以寫成“”、“”的形式?？傊?，用不等號連接起來的式子叫做不等式。思考1：下列式子中哪些是不等式？投影2 （1）ab=b+a （2）35 （3）xl（4）x十3>6 （5） 2m< n （6）2x-3我們看到有些不等式不含未知數(shù)，有些不等式含有未知數(shù)。類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。注意：像中分母含有未知數(shù)的不等式不是一元一次不等式，這一點與一元一次方程類似。（二）、不等式的解和解集思考2：投影3判斷下列數(shù)中哪些能使不等式2/3x > 50成立： 76，73，79，80，74. 9，75.1，90，60 76， 79，80

11、， 75.1，90能使不等式2/3x > 50成立。我們把能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫不等式的解.我們看到不等式的解不是一個， 你還能找出這個不等式的其他解嗎？它的解到底有多少個？ 如77、81、101等等，所有大于75的數(shù)都是這個不等式的解，它的解有無數(shù)個。一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。如所有大于75的數(shù)組成不等式2/3x > 50的解集，寫作x >7 5，這個解集可以用數(shù)軸來表示。o75求不等式的解集的過程叫做解不等式知識點二：一元一次不等式組的解集 1、 一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集2、一

12、元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定3、不等式組的解的確定的解集是，如下圖： 的解集是，如下圖： 同大取大 同小取小的解集是，如下圖： 無解，如下圖： 大小交叉取中間 大小分離解為空4、解一元一次不等式組的步驟 (1)分別求出不等式組中各個不等式的解集； (2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集 題型:整數(shù)解相關1.若不等式有6個正整數(shù)解，求的取值范圍2. 若不等式有6個正整數(shù)解，求的取值范圍3. 不等式的負整數(shù)解有_個.4. 不等式3x44+2(x2)的最小整數(shù)解是_.5. 不等式173x>2的正整數(shù)解的個數(shù)有_個.6. （1）的解集為_,其中正整數(shù)的解為_.（2）

13、的解集為_,其中負整數(shù)的解為_.7. 當x_時，x4的值大于x4的值.8. 關于x的方程3（x+2）=k+2的解是正數(shù)，則k的取值范圍是_.9. 當y為何值時，的值不大于的值？10. 如果代數(shù)式4x+2的值不小于3x+,求x的取值范圍，并求出滿足這一條件的最大負整數(shù)和最小正整數(shù).11. 不等式組的整數(shù)解的個數(shù)是（）.A9B.8C.7D.6112. 不等式組的正整數(shù)解是（）.A0，1B.2，3C.1，3D.1，213. 不等式組的最小整數(shù)解為（）.A1B.0C.1D.414. 求不等式組的整數(shù)解. 15. 解不等式組并寫出不等式組的整數(shù)解. 模塊四：一次函數(shù)知識點一、函數(shù)函數(shù)的基本概念：一般地，

14、在一個變化過程中，有兩個變量X和Y，并且對于x每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說X是自變量，y是x的函數(shù)。表示為yKxb（其中b為任意常數(shù),k不等于0），當b0時稱y為x的正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。知識點二、一次函數(shù)一次函數(shù)（linear function），也作線性函數(shù)，在x,y坐標軸中可以用一條直線表示，當一次函數(shù)中的一個變量的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變量的值。 基本定義變量：變化的量 常量：不變的量自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關系：y=kx+b （k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù)）當x取一個值時，y有且只有一個值與x對應。如果有2

15、個及以上個值與x對應時，就不是函數(shù)。x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù)。特別的，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。即：y=kx （k為常量，但K0）正比例函數(shù)圖像經(jīng)過原點。定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應使函數(shù)有意義；要與實際相符合。知識點三、一次函數(shù)的性質(zhì)：1)函數(shù)性質(zhì)：1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k即：y=kx+b（k0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的,坐標為(0,b).3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tan(角為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角,90°)4. 當b=0時(即 y=kx)，一次函數(shù)圖

16、像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù). 5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當k相同，且b不相等，圖像平行；當k不同，且b相等，圖像相交；當k互為負倒數(shù)時，兩直線垂直；當k，b都相同時，兩條直線重合。2)圖像性質(zhì) 1作法與圖形：通過如下個步驟（1）列表一般取兩個點,根據(jù)“兩點確定一條直線”的道理；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道點，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b，0與b）2性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交于（

17、-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過原點。3函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。4k，b與函數(shù)圖像所在象限：y=kx時（即b等于0，y與x成正比)當k0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；當k0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。y=kx+b時：當 k>0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。當 k>0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。當 k<0,b>0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。當 k<0,b<0, 這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。當b0時，直線必通過一、二象限；當b0

18、時，直線必通過三、四象限。特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。這時，當k0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。4、特殊位置關系當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數(shù)解析式中K值（即一次項系數(shù)）相等當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數(shù)解析式中K值互為負倒數(shù)（即兩個K值的乘積為-1） 表達式 解析式類型 ax+by+c=0一般式 y=kx+b斜截式 k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數(shù)b=0 y-y1=k(x-x1)點斜式 k為直線斜率, (x1,y1)為該直線所過的一個點兩點式 （x1,y1）與

19、（x2,y2）為直線上的兩點） 截距式 （a、b分別為直線在x、y軸上的截距） 解析式表達局限性： 所需條件較多（3個）； 不能表達沒有斜率的直線（即垂直于x軸的直線；注意“沒有斜率的直線平行于y軸”表述不準，因為x=0與y軸重合） 不能表達平行于坐標軸的直線和過圓點的直線。 傾斜角的概念：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜角。設一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tan(a) 。傾斜角的范圍（0，）常用公式1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/24.求任意線段的長（

20、即兩點之間距離公式）：5.求兩個一次函數(shù)式圖像交點坐標：解由兩個一次函數(shù)式組成的方程組 6.求任意2點所連線段的中點坐標：7. 求任意2點的連線的一次函數(shù)解析式：兩點式8.若兩條直線平行：y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1b29.如兩條直線垂直：y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么k1×k2=-110. 平移 向左平移n個單位：y=k（x+n）+b 向右平移n個單位：y=k（x-n）+b口訣：左加右減（對于y=kx+b來說，只改變x） 向上平移n個單位：y=kx+b+n 向下平移n個單位：y=kx+b-n口訣：上加下減（對于y=kx+b來說，只改變b）

21、模塊五：一次函數(shù)與方程、不等式之間的關系 一、一次函數(shù)與一元一次方程的關系直線與x軸交點的橫坐標，就是一元一次方程的解。求直線與x軸交點時，可令，得到方程，解方程得，直線交x軸于，就是直線與x軸交點的橫坐標。二、一次函數(shù)與一元一次不等式的關系任何一元一次不等式都可以轉化為或(為常數(shù)，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應的取值范圍。三、一次函數(shù)與二元一次方程（組）的關系一次函數(shù)的解析式本身就是一個二元一次方程，直線上有無數(shù)個點，每個點的橫縱坐標都滿足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有無數(shù)個一、一次函數(shù)與一元一次方程綜合【例1】 已知直線和交于軸上

22、同一點，的值為（ ）ABCD【例2】 已知一次函數(shù)與的圖象相交于點，則_【例3】 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則不求的值，可直接得到方程的解是_二、一次函數(shù)與一元一次不等式綜合【例4】 已知一次函數(shù)（1）畫出它的圖象；（2）求出當時，的值；（3）求出當時，的值；（4）觀察圖象，求出當為何值時，【例5】 當自變量滿足什么條件時，函數(shù)的圖象在：（1）軸上方；（2）軸左側；（3）第一象限【例6】 已知，當時，x的取值范圍是（ ）ABCD【例7】 已知一次函數(shù)（1）當取何值時，函數(shù)的值在與之間變化?（2）當從到3變化時，函數(shù)的最小值和最大值各是多少?【例8】 直線與直線在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所

23、示，則關于的不等式的解集為_【例9】 若解方程得，則當x_時直線上的點在直線上相應點的上方【例10】 如圖，直線經(jīng)過，兩點，則不等式的解集為_【例11】 已知一次函數(shù)經(jīng)過點（1，-2）和點（-1，3），求這個一次函數(shù)的解析式，并求：（1）當時，的值；（2）x為何值時，？（3）當時，的值范圍；（4）當時，的值范圍三、一次函數(shù)與二元一次方程（組）綜合【例12】 已知直線與的交點為（-5，-8），則方程組的解是_該方程組的解具有怎樣的幾何意義？【例13】 已知方程組（為常數(shù)，）的解為，則直線和直線的交點坐標為_ _【例14】 已知，是方程組的解，那么一次函數(shù)_和_的交點是_【例15】 一次函數(shù)與的圖

24、象如圖，則下列結論；當時，中，正確的個數(shù)是（ ）A0B1C2D3【例16】 已知一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標為A（2，0），求這兩個一次函數(shù)的解析式及兩直線與軸圍成的三角形的面積【例17】 若直線與軸交于點，則的值為（ ）A.3B.2C.1D.0【例18】 如圖，直線與軸交于點，則時，的取值范圍是（ ）A.BC.D【例19】 當自變量滿足什么條件時，函數(shù)的圖象在：（1）軸下方；（2）軸左側；（3）第一象限【例20】 一次函數(shù)的圖象如圖所示，當時，的取值范圍是（ ）ABCD【例21】 已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，當時，的取值范圍是（ ）ABCD【例22】 如圖所示的是函數(shù)與的圖象，求方程組

25、 的解關于原點對稱的點的坐標是_【例23】 一次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象如圖所示，則不等式的解集是（ ）ABCD【例24】 如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B兩點，則關于x的不等式的解集是_【例25】 把一個二元一次方程組中的兩個方程化為一次函數(shù)畫圖象，所得的兩條直線平行，則此方程組（ ）A.無解B.有唯一解C.有無數(shù)個解D.以上都有可能【例26】 b取什么整數(shù)值時，直線與直線的交點在第二象限？總結：本節(jié)課主要講解了方程和不等式以及一次函數(shù)的概念，最后講解了一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程以及二元一次不等式組之間的關系，通過本節(jié)課的講解對一次函數(shù)有個深刻的認識以及要求學生會解相關習題。作業(yè)：一、

26、選擇題：1、下列各點中在函數(shù)y=+3的圖象上的是（）（）(3,-2) （）(,3) （）(-4,1) （）(5, )2、在函數(shù)y=，y=，y=，y=x+8中，一次函數(shù)有 （ ）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個3、已知直線y=2x與直線y=kx+5互相平行，則k的值為 （ ）A、k=-2 B、k=2 C、k=±2 D、無法確定k的值4、一次函數(shù)y=kx+b,若k+b=1,則它的圖象必經(jīng)過點 （ ）A、（-1，-1） B、（-1，1） C、（1，-1） D、（1，1）5、 一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，燃燒時剩下的高度(cm)與燃燒時間（小時）的函數(shù)關系用圖象表示為（ ）y420oxAy420oxBy420oxCy420oxD 6、如圖，函數(shù)y1=ax+b與y2=bx+a正確的圖象為（ ） y y y y y2 y2 y1 y2 y1 y1 o x o x o x o x y1 y2 A. B. C. D.7、已知函數(shù)y=(+2)x，y隨x增大而 （ ）A、增大 B、減小 C、與m有關 D、無法確定8、若一次函數(shù)y=(1-2m)x+3的圖象經(jīng)過A（，）和B(，)，當時，則m的取值范圍是 （ ）A、m0 B、m0 C、m D、m9、已知直線y=中，若ab0,ac0,那