用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器

1、數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)皖西學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告 題 目 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器學(xué) 院 信息工程學(xué)院 專 業(yè) 通信工程專業(yè) 班 級(jí) （* ）班 學(xué)生姓名 陳* 孫* 指導(dǎo)教師 吳* 二 0一二年十二月第20頁前言 數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)是在學(xué)生完成數(shù)字信號(hào)處理和MATLAB結(jié)合后的基本實(shí)驗(yàn)后開設(shè)的，本課程設(shè)計(jì)的目的是為了讓學(xué)生綜合數(shù)字信號(hào)處理和MATLAB并實(shí)現(xiàn)一個(gè)較為完整的小型濾波系統(tǒng)。這一點(diǎn)與驗(yàn)證性的基本實(shí)驗(yàn)有本質(zhì)性的區(qū)別。開設(shè)課程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)的主要目的是通過系統(tǒng)設(shè)計(jì)、軟件仿真、程序安排與調(diào)試、寫實(shí)習(xí)報(bào)告等步驟，使學(xué)生初步掌握工程設(shè)計(jì)的具體步驟和方法，提高分析問題和解決問題的能力，提

2、高實(shí)際應(yīng)用水平。 IIR數(shù)字濾波器具有無限寬的沖激響應(yīng)，與模擬濾波器相匹配，所以IIR濾波器的設(shè)計(jì)可以采用在模擬濾波器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變換的方法。其設(shè)計(jì)方法主要有間接設(shè)計(jì)法、直接設(shè)計(jì)法和最大平滑濾波器設(shè)計(jì)方法。間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)過度模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)，然后將其按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這是因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；另外還有一些優(yōu)良的濾波器可供我們使用。直接法直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)是有限長

3、序列。它的設(shè)計(jì)問題實(shí)質(zhì)上是確定能滿足要求的轉(zhuǎn)移序列或脈沖響應(yīng)的常數(shù)問題，它不能采用間接法，設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法等。目 錄第1章 緒論21.1課程設(shè)計(jì)的目的及意義21.2課程設(shè)計(jì)題目描述及要求31.3數(shù)字濾波器的概述31.4數(shù)字濾波器的分類31.5數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)41.6數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理5第2章 MATLAB介紹52.1 MATLAB的簡(jiǎn)介52.2 MATLAB的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)6第3章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)63.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)概述63.2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)思想：73.3脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器73.4 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)原理11第4章

4、 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程164.1課程設(shè)計(jì)的解題思路及過程164.2MATLAB程序及仿真17第5章 總結(jié)20參考文獻(xiàn)21第1章 緒論1.1課程設(shè)計(jì)的目的及意義電子信息工程專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)是具備電子技術(shù)的基本理論和應(yīng)用技術(shù)，能從事電子、信息、通信、電信等領(lǐng)域的工作，具有高素質(zhì)、寬口徑、創(chuàng)新晉升的專業(yè)人才。對(duì)本專業(yè)學(xué)生的培養(yǎng)要進(jìn)行工程素質(zhì)培養(yǎng)、拓寬專業(yè)口徑、注重基礎(chǔ)和發(fā)展?jié)摿?。特別是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，以實(shí)現(xiàn)技術(shù)為主線多進(jìn)行實(shí)驗(yàn)技能的培養(yǎng)。學(xué)生通過數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)這一重要環(huán)節(jié)，可以將本專業(yè)的主干課程-數(shù)字信號(hào)處理從理論學(xué)習(xí)到實(shí)踐應(yīng)用，對(duì)數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)有較深的了解，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)

5、生動(dòng)手能力和適應(yīng)實(shí)際工作的能力。1.2課程設(shè)計(jì)題目描述及要求設(shè)計(jì)題目：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)：wp=0.2p，ap2dB；阻帶截止頻率ws=0.6p ，阻帶最小衰減as15dB。設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)模擬巴特沃斯濾波器并脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)化成數(shù)字濾波器。1.3數(shù)字濾波器的概述 數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。因此，數(shù)字濾波器的概念和模擬濾波器相

6、同，只是信號(hào)的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方式不同。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的抽樣率應(yīng)大于被處理信號(hào)帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即1/2抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對(duì)稱。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、體積小、重量輕、不存在阻抗匹配問題、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器在語言信號(hào)處理、圖像信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)生物信號(hào)處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。1.4數(shù)字濾波器的分類 按照不同的分類方法

7、，數(shù)字濾波器有許多種類，按照不同的特性具有不同的分類，具體分類如下：按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。如果我們?cè)O(shè)計(jì)這些理想濾波器是不可能實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)樗鼈兊膯挝幻}沖響應(yīng)是非因果且無限長的，我們只能按照某些準(zhǔn)則設(shè)計(jì)濾波器，使之在誤差容限內(nèi)逼近理想濾波器，理想濾波器可作為逼近的標(biāo)準(zhǔn)。按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)長度分類：無限脈沖響應(yīng)濾波器（IIR濾波器）、有限脈沖響應(yīng)濾波器（FIR濾波器）。它們的系統(tǒng)函數(shù)為： 按濾波器對(duì)信號(hào)的處理作用可分為：選頻濾波器和其他濾波器。上述低通、高通、帶通、帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。另外，它還可以被分

8、為線性與非線性、因果與非因果等。其中，線性時(shí)不變的數(shù)字濾波器是最基本的類型；而由于數(shù)字系統(tǒng)可以對(duì)延時(shí)器加以利用，因此可以引入一定程度的非因果性，獲得比傳統(tǒng)的因果濾波器更靈活強(qiáng)大的特性；相對(duì)于IIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器有著易于實(shí)現(xiàn)和系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)，因此得到廣泛的應(yīng)用；對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)濾波器的研究則導(dǎo)致了以卡爾曼濾波為代表的自適應(yīng)濾波理論。1.5數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)用下式表示： 式中，|H(e)|稱為幅頻特性函數(shù); ()稱為相頻特性函數(shù)。 圖1.2表示低通濾波器的幅頻特性，p和s分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。通帶頻率范

9、圍為0|p，在通帶中要求(11)<|H(ej)|1，阻帶頻率范圍為s|，在阻帶中要求|H(ej)|2。從p到s稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調(diào)下降的。通常，通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用ap表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用as表示。ap 越小,通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??；as越大,阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；p與s間距越小, 過渡帶就越窄。所以低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)完全由通帶邊界頻率p、通帶最大衰減ap 阻帶邊界頻率s和阻帶最小衰減as確定。1.6數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)原理數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)

10、濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，因而有時(shí)也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方式實(shí)現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、插值逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信號(hào)處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。第2章 MATLAB介紹2.1 MATLAB的簡(jiǎn)介 MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程

11、序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，并且吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用。2.2 MATLAB的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)（1）友好的工作平臺(tái)和編程環(huán)境MATLAB由一系列工具組成。（2）簡(jiǎn)單易用的程序語言。（3）出色的圖形處理功能（4）應(yīng)用廣泛的模塊集合工具箱。（5）應(yīng)用軟件開發(fā)（包括用戶界面）在開發(fā)環(huán)境中，使用戶更方便地控制多個(gè)文件和圖形窗口。第3

12、章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)概述IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以在單位圓內(nèi)的任何位置，實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲(chǔ)單元較少，效率高，又由于IIR數(shù)字濾波器能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應(yīng)用很廣。設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法主要有基于脈沖響應(yīng)不變法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，基于雙線性Z變換法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，數(shù)字高通、帶通及帶阻IIR濾波器設(shè)計(jì)，基于MATLAB函數(shù)直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。3.2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)思想：目前，IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)

13、計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來很大方便，IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是：(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器H(s)。(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束。若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟(4)將高通、帶通或者帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器H(s)，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將H(s)轉(zhuǎn)換為所需的H(z)設(shè)計(jì)

14、的關(guān)鍵問題：找出從到的轉(zhuǎn)換方法，主要有沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。下面討論脈沖響應(yīng)不變法。3.3脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LT。LT·代表拉氏變換，對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域逼近方法，它使h(n)在采樣點(diǎn)上等于h(t)。 但是，模擬濾波的設(shè)計(jì)結(jié)果是H(s)，所以下面基于脈沖響應(yīng)不變法的思想，導(dǎo)出直接從H(s)到的轉(zhuǎn)換公式。設(shè)模擬濾波器H(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的

15、階次，將H(s)用部分分式表示： (3.1) 式中si為H(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換, 得到: (3.2) 式中, u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： (3.3) 對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，即 (3.4) 對(duì)比(3.1)和(3.4)式，H(s)的極點(diǎn)映射到z平面的極點(diǎn)為，系數(shù)A不變。下面我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里以理想采樣信號(hào)作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的理想采樣信號(hào)用表示，即 =對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到： （3.5） 上式表示采樣信號(hào)的拉氏

16、變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： （3.6）我們知道模擬信號(hào)h(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足：將s=j代入上式，得設(shè)s=,z=re （3.7） 由此可得 r與s的關(guān)系s=0 (s平面虛軸) r=1 (z平面單位圓)s<0 (s左半平面) r<1 (z平面單位圓內(nèi)部)s>0 (s右半平面) r>1 (z平面單位圓外部) w與W的關(guān)系： w= WT W=0 (s平面實(shí)軸) w=0 (z平面正實(shí)軸) W= W (s平面平行于實(shí)軸的直線) w=WT(z平面始于原點(diǎn)，輻角為WT的輻射線) W：從-p/Tp/T w：從-pp

17、 (s平面為2p/T的一個(gè)水平帶) (z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)z平面) 圖3.1 脈沖響應(yīng)不變法s平面和z平面之間的映射關(guān)系存在的問題：混疊失真 （3.8）數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。圖3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻譜混疊現(xiàn)象示意圖假設(shè)H(ejT)沒有頻譜混疊現(xiàn)象，即滿足 由(3.8)式得到： |< (3.9)上式說明，如果不考慮頻譜混疊現(xiàn)象，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響特性。但是，H()的幅度與采樣間隔成反比，當(dāng)T很小時(shí)，| H()|就會(huì)有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令 h那么 H (3.10) (3.10)式稱為實(shí)用公式，此

18、時(shí) <一般H(s)的極點(diǎn)是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，可形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為： ， 極點(diǎn)為-可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為：如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為： ， 極點(diǎn)為- 相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為：利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，使實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中無復(fù)數(shù)乘法器。3.4 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|H(j)|2用下式表示： （3.11）式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，|Ha(j)|=1；=c時(shí)，c是3 dB截止頻率。在=c附近，隨加大，幅度迅速下降。

19、 幅度特性與和N的關(guān)系如圖3.3所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快, 總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。以s替換j，將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： （3.12） 復(fù)變量s=+j，此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)用下式表示： （3.13）式中，k=0，1，2，2N-1。2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上(該圓成為巴特沃斯圓)，間隔是/N rad。例如N=3，極點(diǎn)間隔為/3 rad，如圖3.4所示。圖3.3 巴特沃斯低通濾波器幅度特性與N的關(guān)系圖3.4 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布圖為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N

20、個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表達(dá)式為 （3.14）設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為 取s平面左半平面的極點(diǎn)s0、s1、s2組成系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，即 由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用對(duì)3 dB截止頻率c歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為 （3.15） 令p=+j=s/c，=/c，稱為歸一化頻率，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 （3.16）式中，pk=sk/c, 為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： （3.17） 顯然, (3.1

21、8) 這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N，按照(3.17)式求出N個(gè)極點(diǎn)，再按照(3.16)式得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)，如果給定c，再去歸一化，即將p=s/c代入Ga(p)中(或由(3.18)式求出s=p)，便得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。將極點(diǎn)表示式(3.17)代入(3.6)式，得到Ga(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示： (3.19)歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)的系數(shù)bk，k=0，1，N1，以及極點(diǎn)pk，可以由表3.5得到。另外，表中還給出了Ga(p)的因式分解形式中的各系數(shù)，這樣只要求出階數(shù)N，查表可得到Ga(p)及各極點(diǎn), 而且可以選擇級(jí)聯(lián)型和直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)表

22、示形式，避免了因式分解運(yùn)算工作。表3.5 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 由(3.13)式和(3.14)式可知, 只要求出巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和3 dB截止頻率c，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。所以，巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3 dB截止頻率c的過程。下面先介紹階數(shù)N的確定方法。階數(shù)N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)p、ap、s和as確定。將=p代入幅度平方函數(shù)(3.11)式中，再將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|代入，得到： (3.20)將=s代入(3.4.11)式中，再將|Ha(j)|2代入，得到： (3.21) 由

23、(3.20)和(3.21)式得到： 令 (3.22a) (3.22b) 則N由下式表示： (3.22c)用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3 dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照(3.20)式或(3.21)式求出。由(3.20)式得到： (3.23)由(3.21)式得到： (3.24) 請(qǐng)注意，如果采用(3.23)式確定，則通帶指標(biāo)剛好滿足要求，阻帶指標(biāo)有富余； 如果采用(3.24)式確定c，則阻帶指標(biāo)剛好滿足要求，通帶指標(biāo)有富余?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： (1) 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、 ap、s和as，用(3.22)式求出濾波器的階數(shù)N。

24、(2) 按照(3.17)式，求出歸一化極點(diǎn)，將代入(3.16)式，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表3.5得到和G(p)。(3) 將Ga(p)去歸一化。將p=s/c代入Ga(p)，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù) 這里c為3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出c，可以按照(3.23)式或(3.24)式求出。第4章 利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程4.1課程設(shè)計(jì)的解題思路及過程利用模擬巴特沃斯濾波器及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一數(shù)字濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：wp=0.2p，ap2dB；阻帶截止頻率ws=0.6p ，阻帶最小衰減as15dB。（1） 將數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的模擬

25、濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期為T，由(3.7)式得到： ， dB ， dB(2） 設(shè)計(jì)相應(yīng)的模擬濾波器，得到模擬系統(tǒng)函數(shù)。確定階數(shù)N。 41.3223 3 3.39，取N=4按照（3.17）式，其極點(diǎn)為 ， ，按照（3.16）式，歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 上式分母可展開成四階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解式。這里不如直接查表3.5簡(jiǎn)單，由N=4直接查表得到：極點(diǎn)： -0.3827j0.9239, -0.9239j0.3827歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 式中， 1.0000，2.6131，3.4142，2.613分母因式分解形式為 以上公式中的數(shù)據(jù)均取小數(shù)點(diǎn)后四位。為將去歸一化，先求3dB

26、截止頻率。按照（3.23）式，得到： 0.2139將代入（3.24）式，得到： 0.5072此時(shí)算出的比題目中給的小，因此，過渡帶小于指標(biāo)要求?；蛘哒f，在0.5072時(shí)衰減大于30dB，所以說阻帶指標(biāo)有富余量。 將代入中，得到： （3） 按照（3.1）和（3.10）式，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)： ，4.2 MATLAB程序及仿真調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)程序如下。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器程序：T=1; %T=1sfs=1/T;wp=0.2*pi/T;ws=0.6*pi/T;Rp=2;As=30; %T=1s的模擬濾波器指標(biāo)N,wc=but

27、tord(wp,ws,Rp,As,'s'); %計(jì)算相應(yīng)的模擬濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wcB,A=butter(N,wc,'s'); %計(jì)算相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Bz,Az=impinvar(B,A,fs); %用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器W=linspace(0,pi,100*pi); %指定一段頻率值hs=freqs(B,A,W); %計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng)hs0=abs(hs)/abs(hs(1);hs1=20*log10(hs0);subplot(2,2,1);plot(W/2/pi,hs1);grid on %繪出巴特沃斯模擬濾

28、波器的幅頻特性曲線xlabel('f/Hz');ylabel('幅度/dB');title('(a)巴特沃斯模擬濾波器');axis(0 0.4 -50 0)Hz=freqz(Bz,Az,W); %返回頻率響應(yīng)Hz0=abs(Hz)/abs(Hz(1);Hz1=20*log10(Hz0);subplot(2,2,2);plot(W/2/pi,Hz1);grid on %繪出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的幅頻特性曲線xlabel('f/Hz');ylabel('幅度/dB)')title('(b)數(shù)字濾波器')axis(0 0.4 -50 0)程序中，impinvar是脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換函數(shù)，Bz,Az=impinvar(B，A，fs）實(shí)現(xiàn)用脈沖響應(yīng)不變法將分子和分母多現(xiàn)式系數(shù)向量為B和A的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z),H