2019年彈性波動力學(xué)重點復(fù)習(xí)題

1、緒論復(fù)習(xí)思考題1 .什么是彈性體？當(dāng)一個物體受到外力作用，在它的內(nèi)部質(zhì)點間發(fā)生位置的相對變化， 從而使其形狀改變，當(dāng)外力作用取消后，物體的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)立刻消 失，并恢復(fù)原有的形狀。這類物體稱為彈性體。2 .物體在什么條件下表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，在什么條件下表現(xiàn)為塑性性質(zhì)在外力作用較小，作用時間較短情況下，大多數(shù)物體包括巖石在內(nèi), 表現(xiàn)為彈性體性質(zhì)。外力作用大，作用時間長的情況下，物體會表現(xiàn)為 塑性體性質(zhì)。3 .彈性動力學(xué)的基本假設(shè)有哪些？(1)介質(zhì)是連續(xù)的(2)物體是線性彈性的(3)介質(zhì)是均勻的(4)物體是各向同性的(5)物體的位移和應(yīng)變都是微小的(6)物體無初應(yīng)力 4 .什么是彈性動力學(xué)中的理想

2、介質(zhì)？理想介質(zhì)：連續(xù)的、均勻的、各向同性的線性完全彈性介質(zhì)。第二章復(fù)習(xí)思考題3 .什么是正應(yīng)變、切應(yīng)變、相對體變 ？寫出它們的位移表達(dá)式。答：正應(yīng)變是彈性體沿坐標(biāo)方向的相對伸縮量。切應(yīng)變表示彈性體扭轉(zhuǎn) 或體積元側(cè)面角錯動。相對體變表示彈性體體積的相對變化。；:uu ；:v；:w；:u:xexy 一二 y 二 xezx 一二 x十；zju ：:v：:v eyy 二 一；veyz ：jwl .yex二 y二 z. y;w；:u= 十:x;z2Vjwe eyz二 z :y;w ezz -二 z.:u；:v；:w-1- -f-1 - exx - eyy - ezz.x2y ；z4 .什么是旋轉(zhuǎn)角位移？

3、寫出它與(線)位移的關(guān)系式。旋轉(zhuǎn)角位移為體積元側(cè)面積對角線的轉(zhuǎn)動角度。1 tw 爾 一（ 一）2 cy 甌1 CU WN、（丁 一?。?，2 cz ex1 ,cv cux2 ex y5 .試解釋應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量中各分量的物理含義。exx,eyy,ezz分別表示彈性體沿x、y、z方向的相對伸長量;exy,eyz£zx分別表示平行于坐標(biāo)面xoy、yoz和xoz的側(cè)面積的角錯動量。%、4、分別表示與坐標(biāo)面yoz、xoz和xoy平行的側(cè)面積對角線圍繞x、y和z軸的旋轉(zhuǎn)角。11 .設(shè)彈性體內(nèi)的位移場為s ngx + &y+ (62x + 4y) j ,其中%尸2,。42都是與1相比很小

4、的數(shù)，試求應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動角位移矢量及體積膨脹率（相對體變）。解：s =(：1x 、.1y)i(、2x+工 2y)j4 V = d2x +ct2yFu exx =1；x；v -y.:w八0:y；:v.x應(yīng)變張量''1 ' 2-20:、三 w c eyz = .一=0二 z:yFwfu八ezx0二 x二 z體積膨脹率1 = exx - eyy - ez；:z,：u-：x,：v:y,:w1 二：2-Z2 z-1) k1 /：:vfu 1京”=",1 2)12.已知彈性體內(nèi)的位移場為s = k(y-y0)i -k(x-x0)j其中k,凡力。為已知常數(shù)，試求應(yīng)變張量和旋

5、轉(zhuǎn)張量，并闡述此結(jié)果反映什么物理現(xiàn)象。解：s =k(y -y0)i -k(x-%)ju =k(y -y0)4V =k(x -x0)w = 0exx =0xVeyy =1 =0二 y.:w0應(yīng)變張量8=02000，F(xiàn)w；:u八ezx0二 x：z體積膨脹率= exx - eyy反映了該彈性體沒有發(fā)生體積及形狀的變化，只是繞z軸旋轉(zhuǎn)了一個角度。6.什么是應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力、應(yīng)力張量 ？答：作用于單位截面積上的內(nèi)力，稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用方向與作用截面 垂直，稱為正應(yīng)力；應(yīng)力作用方向在作用截面上，稱為切應(yīng)力。三個相互正交的坐標(biāo)面上應(yīng)力矢量共同構(gòu)成了應(yīng)力張量。記為xx Tyx zx xy yyzy14.已

6、知彈性體內(nèi)一點P處的應(yīng)力張量由矩陣T =一700 -25 0給出試求過點P外法線方向為u=2I-2j+k的面元上的應(yīng)力矢量pn。 2I- 2 j k解：外法線單位矢量為n = - 2一 ' 2 ； 1Pnz=_2M_+0M 1 + 4父一 一 I 3J31 2j，22 22 12Rx 1仃xxPnyFnz 一丁xz yx二 yy- yzGx l 1Pnxlzy二 zzPnyPnz 一 二2-2104-213|_2313 一2Pnx = 7 - 03Pny =52 2、108.-10則：Pn=41 -丁楊氏模量、泊松比、答：(1)楊氏模量E,Pn =1699100244剪切模量、體變模量

7、各表示了什么物理含義是正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù);(2)切變模量是切應(yīng)力與切應(yīng)變的比例系數(shù);(3)拉梅系數(shù)九，H，反映正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)的另一種形(4)壓縮模量或體變模量 K,表示單元體在脹縮應(yīng)變狀態(tài)下，相對 體變與周圍壓力間的比例系數(shù)；(5)泊松比v,表示物體橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比例系數(shù)，故也稱 橫向形變系數(shù)。19.已知一各向同性線性彈性體的彈性模量為：楊氏模量 E=210Gpa泊松比為 0.28 ; 其中一點處的應(yīng)變分量為exx =a,eyy = -3a,eyz =2a,ezx = Ta,ezz = exy = 0 ,其中 a=10 工,試求拉梅 常數(shù)匕以，并寫出該點上的應(yīng)力張量。58

8、.818375 -=GPa0.5632176E：210 0.28(1)(1 -2 ) -(1 0.28)(1 -0.56)一 2102(1 0.28)262532GPa體應(yīng)變 1 = exx - eyy . ezz = -2 a則由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系-xx -2-葭=GPa二 yy - 2%yy =GPa二zz - ，2 Wz =GPaxy =%xy =GPayz = a =GPazx i'ezx =GPa1 .已知一彈性介質(zhì)內(nèi) 兒= N=105MPa,位移場為S = uT+vj+w7, c 2u =2xy其中Jv=xz 試求點P(0,2,-4)處的應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動向量、體應(yīng)變以w = z -

9、 xy及該點處的應(yīng)力分量。解：由題可知在P(0,2,-4)點exx：U 22 =2y2 =2父22 =8 ,exy.x二 u ;:v.:u 三 w.z ；x= 0_y)=2：:v eyz 二 一:z：:w x：:y+(-x)=0 ,=2z = 2-4 - -884-2、8 -2-T-400或 eij =-2 0020一8/J 0一4，；:w ezz = -：z則應(yīng)變張量為ej = =4xy z =4 0 2 Y 一 二 y 二 x由轉(zhuǎn)動向量T T T T二 x i y j z kcz= -x -x i - 0- -y j - z-4xy z1 11>0i-2 j-4-0z2 22T T

10、=j -2z體應(yīng)變exx . eyy , ezz = 8 0 -8 = 0由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有二 xx _ ' ? . 2 J exx xxxx_ 5_5_6_=1 1050 2 1058= 1.6106MPa二 yy - '. 2eyy=1 105 0 2 105 0 = 0 MPa二 zz - ' ?2 1 ezz二1 105 0 2 105-8 ) - -1.6 106 MPa二 xy = ；yx =1 105-4 = -4 105 MPa5二 yz = ； zy =eyz =1 100 = 0 MPa；zx = cxz =ezx = 1 105-2 = -2 105

11、 MPa20.將/ = -p(x, y,z)每0代入用下標(biāo)記號表示的運動微分方程 + +j =Pui中，化為矢量方程，并用梯度算子表示。解:由 / = -p(x, y, z)5j 可知仃xx = -p 二yy 二一P 二 zz 二一Pzx- yzxy=0=0代入運動微分方程=0F 二 xx.:x：'xy:x一二.yxy：:y.屋.z二 zy.z一：2-19干-2-只巴二二 zz:二v ?t2-2.:x.:y .z將各式分別乘以單位向量7、1k,亞區(qū) x把Fy二 x業(yè)干z,x相加，得:=P-2 二 u ft2：2二 v1T c2w 7F2 -2 Sp ：F =： 濘第三章復(fù)習(xí)思考題3.寫

12、出縱波和橫波速度的表達(dá)式，分析它們之間的大小關(guān)系- 2Vp : Vs 二P : PS 7_Vp _,2/_ 2(1 )vS 一；",1-2,一 1由于0<2 ,因此1 >1 ,即Vp AVs ,可見縱波速度大于橫波速度。4.什么叫泊松體？泊松體的拉梅常數(shù)、縱橫波速度、泊松比各有什么特點？答：u=l 或者人=R 具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體。對泊松體而 4百，？=1.73 o14 .已知某彈性介質(zhì)中的P波速度為3600Ms, S波速度1950Ms,求 該介質(zhì)的泊松比。解:2413vp =k+2" = 12(1 7)= 3600Vs 一 . 口 " . 1

13、 -2- 19502(1 - ) _5761 -2169119407:0.2915 .已知彈性介質(zhì)中楊氏模量為 E,泊松比為v,求介質(zhì)的P波速度和S 波速度。解- Vp='2二：二2二iE(1) 了 了 t ' (1)(1 - 2 )二 E必 一 ： 一 2 ：(1)6 .簡述地震波在彈性介質(zhì)中傳播的基本規(guī)律。答：惠更斯（HuygenS）原理：任意時刻波前面上的每一點都可以看作是 一個新的波源（子波源），由它產(chǎn)生二次擾動，形成新的波前，而以后的 波前位置可以認(rèn)為是該時刻子波前的包絡(luò)線。由波前面各點所形成的新 擾動（二次擾動）在觀測點上相互干涉疊加，其疊加結(jié)果是在該點觀測 到的總

14、擾動。斯奈爾（Snell ）定律：反射波滿足反射定律，而透射波滿足折射定 律（地震學(xué)中稱透射定律），地震波也遵循這個規(guī)律，統(tǒng)稱為斯奈爾定律。 在界面上，入射波、反射波和透射波的 p=s必 值相等，稱p為射線Vi參數(shù)1vT7 .寫出周期、頻率、波長、波數(shù)、速度各量之間的關(guān)系式f = 1 ,二 vTT10.簡述非均勻波的主要特點。答：非均勻波的振幅在空間是變化的，隨著空間坐標(biāo)在變化。不均勻平 面波其等相位面與等振幅面互相垂直。16.已知介質(zhì)1的P波速度為v1= 2000m/s,介質(zhì)2的P波速度為V2 =匯a1 ,有一平面簡諧P波以入射角3 =30：自介質(zhì)1入射到兩介質(zhì)的分界面上，已知入射波的振幅為

15、 A,頻率為30Hz,反射P波和透射P波的振幅分別為Ar和A,試寫出這三個波的波函數(shù)表達(dá)式。3解：臨界角sini =v1=3,入射角e =30小于臨界角。反射角等于入射v 3角，根據(jù)透射定律 嗯=幺,透射角修=60二。sin 1 v2j (t xsn iOS .平面簡諧波函數(shù)f(x,y,z,t)=Aev , x軸向右，z軸向下入射波:j 60 -(tf (x,y,z,t) =Ae"4000 -4000反射波:透射波:j60 -(t_x電)f(x,y,z,t) =Ae 4000 4000j 60 -(t)f(x,y,z,t) =Ae 4000 4000 317.已知一簡諧P波的波函數(shù)為

16、q> = Aej(360t*.06xH08z),試求以下問題:(1)設(shè)x軸向右，z軸向下，請用一經(jīng)過原點的射線畫出此波的傳播方 向，并標(biāo)明角度。sin =-0.6(2)這個波的圓頻率和圓波數(shù)各是多少？在乂方向和z方向上的視波數(shù)各是多少？圓頻率. = 360Hz在x方向和z方向上的視波數(shù)kx = -0.06kz = 0.082 二 360圓波數(shù)k二二一二v 3600=0.1 或者 k = Jk2 + k2 = 0.1(1/ m)(3)這個波的真實傳播速度、在x方向和z方向上的視速度各是多少？0.06 _0.08解 =Aej(360t 0.06x®08z) =Ae荻x360z)0.

17、06 sin :360 v求解得波的真實傳播速度：v=3600m/s0.08 cos：360 一 v在x方向和z方向上的視速度 Cx = -6000m/s、Cz = 4500m/s 11 .球面波、柱面波與平面波的本質(zhì)區(qū)別在哪里？試解釋球面擴散因子和柱面波擴散因子的物理含義。答：平面波在其傳播過程中波形及其振幅都不變化，而球面波的振幅隨傳播距離r的增大而衰減1/r,并且球面波在其傳播過程中波形逐漸改變。遠(yuǎn)離震源時，柱面波的振幅隨r增大而衰減，與成正比。球面1擴散因子1:表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源 r的距離成反比。柱面波擴散因子表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且第

18、四章復(fù)習(xí)思考題1 .什么是機械能密度？什么是能流密度？寫出能流密度和機械能密度的關(guān) 系式，并解釋其物理意義。答：單位體積物體所具有的機械能叫機械能密度。能流密度：單位時間內(nèi)通過與能量傳播方向垂直的單位截面積的機械能。一；Ediv I =0ft表明了單位體積的體積元內(nèi)機械能在單位時間內(nèi)的減少量等于通過其表面積的機械能流失量。2 .寫出能流密度與應(yīng)力張量和位移矢量的關(guān)系。寫出簡諧波強度的表達(dá)式。答：v/wI x =-(仃 xx+ Exy =T + «xzCtCtCt：:u：:v：:wly =-(Eyx 二 +byy M +%z ;)& L 一 一 仃 j Uj adacuvWnI

19、 z = 一( . zx . zy - C- zz )二 t二 t二 t12 2 -I =AC214. 一平面波的位移位為 中x(x,y,t) = Bexpj(kxx + kzz-cot),求應(yīng)變張量分量、應(yīng)力張量分量、能流密度矢量及波的強度分布。I1非，解：由v二w 二一：z二 zy：1-x：'z:' y二 y可知v =.jBkzej(kxX "J"eZzU =0 :xv c0:y.：W c0 .:z:u；:v:y；x"二-Bkxkzej(kxx "z-'t):x.:w；:u八二二0:V：:we 二 eyz:z 二 y.xtz.

20、:v.-to- -) )CWTCWT1 %+ .:v_立.:v7cy+ +前 一acu一 aXXyxa TY-(- -X y-BI 2，kxk；ej2(kxX 3'")=/ij0 xx十2電x=0%=%zx二0=/j9yy+ 2gy=0，%=%yz=_8也%（七收"-如zz 模+ 2厘=0T xy=%xy= -BWxkzej(kxx*zz3.z-Bk2ej(kxX同入射波極化類型不同的波稱為轉(zhuǎn)換波（如入射波為縱波，則有轉(zhuǎn)換反射 橫波和轉(zhuǎn)換透射橫波）。轉(zhuǎn)換波的產(chǎn)生是由于入射波傾斜地作用在分界面上，它可分解為垂直于 界面的力和切向力兩部分，導(dǎo)致體應(yīng)變和切應(yīng)變，則相應(yīng)有P

21、波和SV波 產(chǎn)生。轉(zhuǎn)換波的能量與入射角有關(guān)，垂直入射時不能形成轉(zhuǎn)換波；只有 入射角達(dá)到一定程度時，才有足夠能量的轉(zhuǎn)換波被記錄下來。6. Knott方程和Zoeppritz方程各表達(dá)了什么含義？它們之間的關(guān)系如 彳?答：Knott方程表示以位移位振幅比表示的 P波入射時的P波反射系數(shù)、 SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)的表達(dá)式。求解該方程，可以得到以位移位振幅比表示的縱橫波的反射系數(shù)及縱橫 波的透射系數(shù)。同時，也是用位移位振幅比表示的入射縱波和各反射波 或透射波的能量分配關(guān)系?？梢钥闯?，它們除了同入射角有關(guān)外，還同 上下介質(zhì)的速度和密度參數(shù)的比值有關(guān)。Zoeppritz方程表示以位移

22、振幅比表示的 P波入射時的P波反射系數(shù)、 SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)。A2 S02二二 r2A S01ppAV1rAS01 Vpi Vpi psA4 _ S04 Vp2 _ Vp2AS01 Vpi Vpit ppt psA5 _ S05 Vs2 _ Vs2AiS01 VsiVsi7.寫出平面P波垂直入射到彈性界面上時的反射透射系數(shù)表達(dá)式， 并說明其主要特點。P2V p2 PV pl Pnn =P2V p2 + PlV pirps =。t2 Rv pipp P2Vp2 + PiVpi tps =0(1)平面P波垂直入射到彈性界面上時，將產(chǎn)生反射P波和透射P波。為了形成反射波，分

23、界面兩側(cè)介質(zhì)波阻抗必須存在著差異，P2 Vp2#RVpi。波阻抗差異大，反射系數(shù)大，界面反射波強；相反，波阻 抗差異小，反射系數(shù)小，界面反射波弱。(2)當(dāng)波在波阻抗大的分界面(P2Vp2 A PiVpi)反射時，反射系數(shù) 為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。相反，當(dāng)波入射到波阻 抗小的分界面(P2Vp2 < RVpi)時，反射系數(shù)為負(fù)值。這時反射波相對入射波有i80二相位差，稱為“半波損失”現(xiàn)象。(3)平面P波垂直入射到彈性界面上時，在分界面另一側(cè)產(chǎn)生的透 射波，總是和入射波同相位。8 .什么叫透射損失？寫出其表達(dá)式。答：tpp t；p =i-rpp表示波從不同的方向穿過同一界面一

24、個來回時振幅的 變化，稱為界面的“透射損失”。9 .證明平面P波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關(guān)系。證：二，=：=：=0,入射P波的能量：Ei =1f>VpiC2Si2Scosa =-22反射 P波的能量:E2 =1 PiVpo2S2Scosa =-科Vpi62S2S 22透射 P波的能量：E4 =1 P2Vp202S；Scosot'= 1 P2Vp202S2S 222 :'ivpiS4:2Vp2 ' :1Vp1SiS2把，S42，1Vp1：2Vp2，lVpiE2 =1 RVp162822s J PiVpi«2S2SP2Vp2 -P1Vpi221P2

25、 Vp 2 + PiVp1E412 212 2=2 2Vp2，S4S =2 2Vp2，SiS22PiVpij,P2Vp2 + RVpi JE2+ E4 =1£s2S -10Vpi(P2Vp2 - PiVpi 2 + P2Vp2(2PiVpi2 IP2Vp2 + PiVpi J=92s92Vp2-P1Vp11Vp1P2Vp12 2-=2 2s2s iVpi1( Vp2 + RVp2 十 RVpi 1Vpi=Ei所以平面P波垂直入射到彈性界面上時滿足能量守恒關(guān)系第五章復(fù)習(xí)思考題1 .試解釋頻散的概念和相速度、群速度的物理含義。答：如果傳播速度成為與地震波的頻率有關(guān)的函數(shù)，那么構(gòu)成脈沖波的

26、各簡諧分量將分別以各自不同的速度傳播，在經(jīng)過一定的時間后，各簡 諧波有著不同的傳播距離，因而由它們疊加而成的波的延續(xù)長度(擾動區(qū) 域的范圍)就要比開始時有所增大。換句話說，隨著時間的推移，一個脈 沖波將逐漸地變?yōu)橐涣胁?，這種現(xiàn)象稱為波的頻散 (dispersion)。相速度：簡諧波中任一等相位面的傳播速度，即整個簡諧波的傳播速度。 群速度：整個波列的傳播速度。第六章復(fù)習(xí)思考題1 .解釋波動方程的克其霍夫積分解即式(6 15)的物理含義。答：(P,t)=。1 - -42 ；：ldScT，4二 sr lnCr fn|jtr2 ?n4二八r式中的體積積分項是非齊次波動方程的特解，對應(yīng)。區(qū)域內(nèi)部震源對

27、波 場貢獻(xiàn)部分，被積函數(shù)r為內(nèi)部空間震源單元到觀測點 P的距離；而式 中的面積積分是齊次波動方程的一般解，反映。區(qū)域以外的外部空間震 源的影響。2 .解釋推遲位和超前位的概念。推遲位：；(t)，：t-工)C超前位；(t) > Xt -)C4.克其霍夫積分解求解的是哪一類波動方程 ？其求解思品&是什么？答：震源分布于S曲面以外的區(qū)域，我們希望確定 S曲面內(nèi)部空間的位 移場，解決的則是內(nèi)部問題。(1)利用傅立葉變化得到亥姆霍茲方程(2)利用格林公式求解亥姆霍茲方程(3)利用傅里葉反變換求未知函數(shù)(P,t)3.解釋克其霍夫繞射公式中各項的物理含義，并說明克其霍夫繞射公式在實際中的應(yīng)用。

28、e-jkr Q-jkr。 j答： (P,t) = ： ： AeJ t-(cos -cos%)dSsrr。2空間任意一點P的波場值都是閉合曲面S上各點作為新震源發(fā)出的二次 元波在該點疊加的結(jié)果，參與疊加的各元波對 P點波場所起的貢獻(xiàn)大小不同，貢獻(xiàn)大小由方向因子K(0)決定5.解釋菲涅耳帶的概念及其影響因素， 并說明菲涅耳帶半徑與地震分辨 率的關(guān)系生）gdSC r3的積分區(qū)域S是地下整個反射1，。=亦F(t答：積分式2 c S面的面積。為了完成這一積分，我們對積分區(qū)域 S進(jìn)行分解，按照一定 原則將它劃分成一系列以地下反射點 R為圓心的同心圓環(huán)狀區(qū)帶。劃分 的原則是：使得相鄰圓環(huán)上的點到 P點的距離

29、之差等于地震波長的四分 之一。這樣，來自相鄰圓環(huán)上各點的繞射波傳到 P點的雙程走時為地震 波周期的一半，即反相。這些同心圓環(huán)§，S2，S3,分別稱為第一、第二、第三、菲涅耳帶。第一菲涅耳帶也簡稱菲涅耳帶。 111111,(P,t)=-|i+(-|i +l2+-|3)+(-|3+l4+,-|5) =-11對222222地下整個界面S的積分，近似等于對第一菲涅耳帶 S內(nèi)的積分的一半。習(xí)慣上不考慮常數(shù)1 ,認(rèn)為菲涅耳帶內(nèi)繞射波的積分就是反射波場。2菲涅耳帶半徑：r”欄菲涅耳帶決定著地震反射的橫向分辨率 可以看出，界面埋藏越深，地震波波長越大 （頻率越低），菲涅耳帶半徑 越大，地震橫向分辨率

30、越低；反之，地震橫向分辨率越高。第七章復(fù)習(xí)思考題5.常用的描述地震波吸收特性的參數(shù)有哪些？寫出它們各自的表達(dá)式及 相互關(guān)系式。答：(1)吸收系數(shù)a : a =ln小)X2 -xi A(X2)可見，a表示地震波振幅隨傳播距離X的衰減，單位是1/m(2)衰減因子 P : P LinJAlt1)t2 -tl A(t2)P表示地震波振幅隨傳播時間t的衰減，單位是1/s(3)對數(shù)衰減率6 : 6 =ln A0A對數(shù)衰減率描述了波傳播一個波長或一個周期時的振幅變化，6是個無量綱的量。對數(shù)衰減率6與吸收系數(shù)a間存在下列關(guān)系dCT(4)品質(zhì)因子Q :11 ：E 2-二Q 一 2二 E 一 2 二一二利用在一個

31、波長九的距離上(或一個周期T的時間內(nèi))地震波能量的相 對衰減量來描述介質(zhì)的吸收性質(zhì)。二 f二QC Q'兀Q =0（九7.已知某地層的品質(zhì)因子 Q=6Q地震波速度v=2000m/s,以地震波離開 震源200m時的能量為參考標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行下列計算并做簡單的比較。(1)計算離開震源2200m處2Hz, 40Hz, 100Hz的地震波由于地層吸收 而衰減的能量。(2)計算離開震源2200m處2Hz, 40Hz, 100Hz的地震波由于球面擴散而衰減的能量。(3)若離開震源距離變?yōu)?200m重新計算上述內(nèi)容。解：(1) 一個波長£的距離上(或一個周期 T的時間內(nèi))地震波能量的相對衰減量看磊

32、-地震波的波長1 = vT = f2Hz的地震波的波長為1000m離開震源2200mt地震波能量的相對衰減量為： 2000 =-30 10001540Hz的地震波的波長為50m離開震源2200mM地震波能量的相對衰減量為：幽=上 30503100Hz的地震波的波長為20m離開震源2200mM地震波能量的相對衰減量為： 竺四=30203(2)地震波由于球面擴散而衰減的能量與頻率無關(guān)，只與傳播路徑有關(guān)。480二 120484 1211_ 1因為 Eoc ,所以倏=22002 2002 = r2E12002二 40002二=30 100015二 4000823050 一 3(3)離開震源距離變?yōu)?2

33、00m 2Hz的地震波能量的相對衰減量為：40Hz的地震波能量的相對衰減量為:100Hz的地震波能量的相對衰減量為:二 4000 _ 20 二3020 一 3地震波由于球面擴散而衰減的能量44044111工 42002 2002E12002公式推導(dǎo)題：:uex 二 一二 x：v 、1 .試推導(dǎo)出幾何方程6yy = W 及體應(yīng)變 6 = exx + eyy + ezz° w解:單元體沿x方向受力F , AB =dx , AA' = u , BB' = uTT7 , ,-:u ,：u ,A B =u dx-u=u 一 dx dx-u = 1 dx 三x；x:1 dx -

34、dx-X相對伸長量為exx = A'之AB =- ABdxeyy同理可得_ 2y_：:w-：zV'-V 1 exx dx 1 eyy dy 1 ezz dzH =-則體應(yīng)變?yōu)閂dxdydz二1 0 1 eyy 1 ezz -1 ; eyy/2.什么是切應(yīng)變？推導(dǎo)切應(yīng)變cuGy = eyx = 一創(chuàng)+cvexcWUu1 ez ezx 十excz加Wnezy - eyz - T- zz.十yy答：切應(yīng)變也稱剪切應(yīng)變，表示彈性體扭轉(zhuǎn)或體積元側(cè)面角錯動。如圖所示，由彈性體中截取一個體積元dxdydz ,考察其側(cè)面積MNP在應(yīng) 變過程中的變化。設(shè)物體受一個切向力 F的作用，形狀發(fā)生改變，

35、側(cè)面 積MNP變?yōu)镸N /P/ 。我們假定M位置不變，N移至n，, P移至p/ ,即垂直線段沿x方 .r-，L向發(fā)生了位移，水平線段沿垂直方向發(fā)生了位移。顯然 NN / =卬dz ,二 zPP/ = -dx ；在應(yīng)變過程中側(cè)面積 MNP形狀的改變表現(xiàn)為其側(cè)面角度 x錯動。我們這里假定M點位置不變，其位移為零，并不影響有關(guān)側(cè)面積 形狀的討論。由圖可以看出，側(cè)面積MNP側(cè)面角由NNMP變?yōu)閆N/MP/ ,變化量d十心 ,pp/X = tan x = -=-MP22 = tan12MN:z因此，側(cè)面角變化量為:一二 wju12 二 exzex：z同理可以討論其它兩個側(cè)面積形狀的改變。v ；:w對平行

36、于坐標(biāo)面yoz的側(cè)面積，可有：eyz = 一 十 一；z 二 y對平行于坐標(biāo)面xoy的側(cè)面積，可有：exy.u .v =r -:y:x(J x x6+3.根據(jù)虎克定律，推導(dǎo)正應(yīng)力與正應(yīng)變關(guān)系式(Jy y8+yy(J z z其中九、N為拉梅系數(shù)。解：據(jù)實驗結(jié)果，相對伸長量與作用力（正應(yīng)力）成正比。對沿 x方向 伸長的物體，有0x= e xT。 雇 E為楊氏模量。另一方面，物體沿一個方向伸長時，在其它兩個方向會發(fā)生壓縮?？v向伸長和橫向壓縮存在著比例關(guān)系，即： eyy= ezz=" e xU 仃 / xE"為泊松比。同理在y、z方向也存在類似關(guān)系式:ey yz zeyyWb yy

37、y/Eexxeyy二 yy/Ez crzz=Cjzz/Eeyy = ： ezz = ； zz/E一般情況每個方向既發(fā)生縱向伸長（或壓縮） 伸長），則可寫出如下關(guān)系式：,也發(fā)生橫向壓縮（或exx xxCT - U ® CJ - U ® CTxxyyzzeyys cr _ u a a _ u scr yyxxzzezzazzaxx0yyxx-v (cr+ cr yyzz)(ayy_ u (仃十cr xxzz)（仃zz-v (cr+ cr xxyy)(1)相對體積變化6為:u e e exx yy zzCT - U (cr + CT ) + CT - vxxyy zz yy(a

38、+cr + cr - uxx zz zz二 xx二 yy(2)1/ ； 1 - 2（1）式和（2）式解得應(yīng)力二 xx、二 yy仃zz的表達(dá)式axx二 yyCTzzeyyezz11 - 214.根據(jù)達(dá)蘭貝爾原理，推導(dǎo)彈性介質(zhì)運動的應(yīng)力方程Xi 二- 2二 u:uL口"°t解：設(shè)介質(zhì)質(zhì)點位移函數(shù)為s = s x, y, z,t = ui v j wk對于彈性介質(zhì)體內(nèi)的一體積元dv, P為介質(zhì)密度，則其受慣性力為dJi-2、二 Ui二Tdv,對整個體積V ,t求積分得到-2一二 uiJi = 一 V rdvV ；t對于介質(zhì)受到的在i方向的面力為Tni =仃jilj ,燈ji為應(yīng)力

39、分量，l j為 法線的方向余弦。s面上的微量面元ds的面力作用為Tnids, 對作用于 整個封閉曲面s的面力為Tnids 二S川二 1dsS ji1 j作用于介質(zhì)的體力分布于整個體積上，與質(zhì)量有關(guān)。定義 X為作用于單位質(zhì)量上的體力，Xj是它在i方向的分量，X = X1+ Xj j + Xkk ,則作用在介質(zhì)上的體力為V Xi: dv由達(dá)蘭貝爾原理，慣性力與體力和面力相平衡，按作用力各分量列出方 程式：F2U-iiljdsXj ：dv-?dv = 0S ji j V iV ； t2利用散度定理將面力項化為體積分的形式可得2j 2U=二' -UiFt2S表示的I %,j+XiP-P中 dv

40、=0對于任意的V上式均成立，則被積函數(shù)為零，即仃ji*XiP5,由運動平衡微分方程式Pui =。二+ Pgj推導(dǎo)出由位移向量-2運動位移方程：T =刃(i s) U 2s :t解：運動應(yīng)力方程的展開式為C2UcC CT VY cPf =%1+7+7+/(1)就excycz«ppg2+3+4+三(2)史exyczG2WGT vzcCP* =%3十一十7十一 (3)沆ex勾cz把應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式及應(yīng)變與位移的關(guān)系式代入上式再整理二xx - y 2Jexx；-yy - 12.;、-y - 2 Jezzexx_：x0yly ©"立&u .:v一.一;.:y；:xV

41、 jw jw ju-，ezx .zFy:x ；:z以式（1）為例代入整理-2,:u=pgi 1 2；x-2,二 u-2,二 u-2,二 u.x.y.x.z一 2 .-z二 pg1 (1)二一w 2u jx同理P-2， 二 v.:t2二 pg2 ('-. )二2V:y(5).2二 w.:t2、 , '二 ,2=：-g3 ( ；. + .L),耳 wjz(6)將(4) Mi +(5)乂 j +(6)Mk 得到:.:t2再將日=4和V2S = （ s） -VxVx s代入上式得到42=：g (- 2口仆仆 S) ! 7 7 S2f2 C6.由齊次波動方程（九十2N）V（T 8）-RV

42、mVmS=pJS推導(dǎo)縱波與橫波 t波動方程，、2 : 二02 二2Vp4: 2,-;1 :21-T7T =0Vs d 。（提示：利用關(guān)系式'、2 s = ''、('、s) -' s解：將S =中+ 代入運動位移方程（ 2»。S） ,1 >；：S =：2 1 SFt2-2（.2.戶4（；一：）-< - <（- -. -j ：（”.：）=0 ft（' 2-（）-（ 0 二）一 ：F（F；： +>: ）=0ft2二 2；T一刀、（-a2 - J - r v - _ ；- =0IL二t2ilt2利用人-u ；.：.?、四

43、?（二）_： 彳:02：2 :、（2戶2 - -pf2:.t2r 二 _p.若兩個方括號中的式子為零，則方程得到滿足。二2（ 22 - ： =0 42二2二V 一） =0ft21；：2 ： cvpft2 一2Vs42其中縱波傳播速度：Vp = p2*,、r2-,橫波傳播速度:7.利用傅里葉變換法求解波動方程一維齊次波動方程22:f .02 -22二X2 C2 二t2的平面波達(dá)蘭貝爾解，并說明達(dá)朗貝爾解物理意義。Q0解：利用傅里葉變換式(x, ) = f(x,t)eJ tdt1 二j tf (x,t)=(x, )e d 2-22 f對方程H - 4U=o求傅里葉變換；:x C ft二-2二二 f

44、.一 2 e二二x1 ；：2f_.C2 ；:teYt =0利用了傅里葉變換的時域微分性質(zhì)dnf(t)、n匚，、n (j ) F() dtn式中，k=?是波數(shù)。此方程就是一維亥姆霍茲方程，它的解 Cx. x(x, ) =(- e-1 C 2( )eJ C使用傅里葉反變換可得時間域的解，其形式為xxf(x,t) =fi(t -) f2(t -)CC這里利用了傅里葉變換的時移性質(zhì)f(t -to卜 F( )e-j t0式中，fi和f2為子波函數(shù)，中1俾)和邛2侔)是它們的傅里葉變換。即fl(t)、)/(»式)式f(x,t)=fi(t-)+f2(t+-)為一維齊次波動方程的平面波達(dá)蘭貝爾 CC

45、解。個沿fl(t -天)是一個沿+x方向以C為速度傳播的平面波，f2(t+土)是-CC-x方向以C為速度傳播的平面波。一維波動方程的通解表示介質(zhì)中激發(fā) 的平面波總是分為兩部分傳播出去，這兩部分平面波的傳播方向相反、 速度相等。8 .當(dāng)SHfe入射到自由表面上時，會產(chǎn)生什么樣的反射波，推導(dǎo)反射系數(shù) 公式。解：如圖所示，一個 SH波入射到自由表面上，只可能產(chǎn)生一個反射 SH 波。入射波和反射波的位移函數(shù)xsin I.-, zcos :j(t_)入射 SH波：v1 = B1eVsxsin |. - zcos |.j- (t )反射 SH波：v2 = B2eVsVJ=0z=0在z=0時，有邊界條件：巴

46、 cz卜。將 v = v1 v2 = B1exsin p-zcos P)vsJV：zCOS： j(tK=間 coJez斗Vs1j-(tB2eP-zcos BVsxsin P七 cos P)一一代入邊界條件求解得到z -0xsinIzcos :cos - j (tv；)_B2 j e svs二0z-0xsin I； zcos |.；'xsin p4zcos p)-Vs二0z=0cos ''JB1 j . eVsxsin P)v,cos 乒 J ' (teVsx sin 口)-Vs=0Bl - B2rsH黑1SH波在自由表面的反射系數(shù)為1,與入射角無關(guān)，且無轉(zhuǎn)換波產(chǎn)

47、生,也無半波損失現(xiàn)象。9 .推導(dǎo)SH®入射到介質(zhì)分界面時的反射、透射系數(shù)公式。解：SH波入射到介質(zhì)分界面時只產(chǎn)生反射 SH波、透射SH波。設(shè)入射角為工、根據(jù)Snell定理反射角與入射角相等，透射角為¥ 2，并1sin 1位移V滿足齊次波動方程V2v- sin 2-2 ft2=0,入射波、反射波、透射波的位移函數(shù)分別為ikj ( Lt -xsin 1 zcos 1)V1 二 Be11ik，)( !t -sin 1 cos 1) v2 = B2eiks2) (l12t _Xsin 2 "zcos 2)V3 - B3e， V|邊界條件為：z6 二 VII(zy)lz=0

48、z=0二(Tzy)II z=0'V| =v +V2V| =V3B2B3Bi把位移函數(shù)代入邊界條件得B1B2 , B3B1Biv通過求解此方程組2 cos 2(2 =1cos 1B2Bi得到BB15 cos 1 -2cos 2-2P1 cos 1 ;i>-2 cos 2-22 口i cos iB1 cos 1/2 -1 cos 2-210.推導(dǎo)P波入射到自由表面時位移振幅比與位移位振幅比之間的關(guān)系。rS2A2 Vp rS4A4 VprPP -rPS -S A VpSAi Vs解：入射P波、反射P波和反射SV波的位函數(shù)分別為入射P波巴.” xsin.-.-zcos：J - <t

49、 -)AeVp反射P波中 2反射SV波匕,xsin :工z cos 二、 J ' ,(t -)=A2eVpxsin : zcos :J . (t 一): A4eVs將入射P波、反射P波和反射SV波位移位巴、%和中4 ,分別代入u =-&CZw =+CZ.改，得到各類波相應(yīng)的位移分量（Ui ,Wi）、（U2, W2）、（U4, W4）；Ui2 4uugtjxsno")-=AJ sin 二 e p:xVp.:z. j. (t/sin -，zcos)= A4 j cos : eVsVsxsin zcos-二，、- (t _-=_-):1Vp二A j 一cos：e.:zVp.:z.j.(tjsn)=-A2 jcos ： e pvpw4 =夕4:x=-A4j - sin -eVsxsin j-(t -Vsz=0處的位移s根據(jù)其分量計算入射P波:Si 二 , uiwij(tM j-AeVpvp反射P波:j VpA2exsin -卜.(t_ V 一)V