向心加速度公式推導(dǎo)完整版—李朝輝整理

1、向心加速度公式推導(dǎo)完整版一李朝輝整理向心加速度是勻速圓周運動中的教學(xué)難點，這是由于學(xué)生因長期接受標(biāo)量運算而產(chǎn)生山=0,于是有Q二二Cl 的思維左勢，認(rèn)為勻速圓周運動中物體運動速率不變，故其因此我們在教學(xué)中必須強調(diào)兩點，一的矢量性，速度的方向變化也表示速度有變化，故 ho,另一是速度變化的方向就是加速度的方向。因此在教學(xué)中必須說淸楚的方向。教 材中引進了速度三角形的方法，實際上已經(jīng)考慮到了上述兩點。關(guān)于向心加速度公式的推導(dǎo) 方法甚多，下而提供幾種有推導(dǎo)方法，供大家參考。方法一；（課本上的方法）利用加速度的泄義推導(dǎo)（又稱矢量合成法）：如圖所示：設(shè)小球在很短的時間t內(nèi)從A運動到B,在時間t內(nèi)速度變化

2、為,因為 OAB°° ABDC （可自己證一下），所以有：Av/v=AB/R當(dāng) t_0 時,AB=弧 ABf泊F所以：v二弧 AB/t, a=Av/tI o' ） T所以 a=v2 /R方法二：在矢呈:合成法中應(yīng)用三角函數(shù)推導(dǎo)：如圖所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b,所經(jīng)時間為At,若物體在a、b點的速率為Va=Vb=V,則其速度的增MAV=Vb-Va=Vb+ （-Va）,由平行四邊形法則作岀苴矢量圖_. eAv = 2vsin 20 g當(dāng) 8 -*0時）sin = 75 故m=#8乙£于是有"云飛5 = . _180- 9如圖。由余弦左

3、理可得另由圖1可知a =可見當(dāng)0-*O時，a =90,即Av的方向和Vb垂直，由丁 Vb方向為圓周切線方向，故Av的方向指向圓心因的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指其大小為向圓心,方法三：利用運動的合成與分解推導(dǎo)(簡稱運動合成法)由于慣性，小球有離開圓心沿切線運動的趨勢，而細線的拉力卻拉著小球向圓心運動. 這樣小球運動可分解成沿切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直 線運動設(shè)在很短的時間t內(nèi)，小球沿圓周從A到B,可分解為沿切線AC方向的勻速宜線運動和 沿AD方向初速度為零的勻加速直線運動如圖一:1 2AC= vt , AD= at2由 RtAADBRtA

4、EDB 可知：BD±AD DE ,BD二AC（2=-3t2 （2P丄畀）2 24由于時間E很短，即r趨近丁0,所以-a2t2趨近于0.4故有：Mr方法四：利用開普勒第三左律、萬有引力定律和牛頓第二左律推導(dǎo)向心加速度設(shè)：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以速率v在半徑為r的近圓軌道上繞地球運行，運行周期 為T,地球質(zhì)量為M.根據(jù)開普勒第三定律：F/rk (k為常雖：)根據(jù)萬有引力定律：F=GMm/r2對于圓周運動的物體有：T=2 r/v根據(jù)牛頓第二定律：a二F/m聯(lián)立上述各式有：a= (GMk/4n2) X (v2/r)所以：ax/r方法五：曲率圓法由于曲線運動是變速運動故肓定有加速度質(zhì).也 的琥

5、時加速度定義為=lini3嚴(yán)1式中罟為一段肘間內(nèi)的平均加速度、瞬時加速度是平 均加速度在3-0時的極限，加速度方向肯定與速度 方向不在同一直線.般的曲線運動為求在任一點的蛻時加速度通 常將具分解為法向加速度心.，與切向加速度如圖7-1所上示設(shè)質(zhì)點沿曲線運動在八、 B兩點的翼時速度各為s與f 叭| 間隔時間4速度增鞏為! 如 將H分解為法向分址 / /3 與切向分址法向分M 皿表示速度方向的變化® 7-1切向分拭表示速廈大小的變化則法向加速度心與切 向加速度血分別為I Vn1 unlm- tdf= IlTB .先確定心.設(shè)-4是半徑為"的圓周上一點該風(fēng) 稱曲線A點的曲率圓p稱

6、曲率半徑）曲線AH近似 為孩例上的.AB ,矢雖三角形HED與幾何三角形相似故有需=于弐二于罟劇5 =皿毛=皿寧至=lim斗旦=方向垂直干5 抬向曲率圓圓心故通常稱法向加速度為向心加速度，至干切向加速度則與直線運動中一樣絆于速度大小的變化率.曲線運動的瞬時加速度是切向加速度與向心加速度的矢址和方向與速度方向成。=打1、伽竺.",一般的曲線運動同時有切向加速度與向心加連度當(dāng)X尋時，速率増大當(dāng)化號時速率減??；若切向加速度為零速率不變即為勻速率曲線運動例如勻速岡周運動其加速度即為向心加速度大小a=節(jié)不變，方向與速度方向垂直而梧向圓心勻速圓周運動是切向加逶度為零而向心加速度大小不變的曲線運動

7、：若法向加速度為冬則運動方向不變，即為變速冑線運動.可見直線運動是曲線運動的特例.曲線運動也可以是勻變速運動，即合加速度的大小、方向均不變例如斜（平）拋運動就足加速度恒為尺的勻變速曲線運動.求解曲線運動的瞬時速度與瞬時加速度的運動學(xué)舉本方法都是通過矢量的分解與合成從定義出發(fā)用微無法解決.方法六：類比法：設(shè)有一位宜矢量r繞。點旋轉(zhuǎn)，其矢端由a至b時發(fā)生的位移為（如圖4）.若所經(jīng)-_ As時間為At,則在此段時間內(nèi)的平均速率顯然這個速率描述的是位置矢量矢端的運動 速率，當(dāng)At趨近于零時，這個平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時刻的即時速率，如 二2穴R（果旋轉(zhuǎn)是勻角速的，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率V"A 圖5圖6（1）式中t為旋轉(zhuǎn)周期再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉(zhuǎn)過1/8圓周，速度變化的 情況?，F(xiàn)將苴速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位0._Av 置矢量的旋轉(zhuǎn)，而圖6則是速度矢量的旋轉(zhuǎn)，顯然加速度