2015年朝陽(yáng)高三一模數(shù)學(xué)卷理科有答案

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)（理工類）2015. 4（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共 40分）和非選擇題（共 110分）兩部分第一部分（選擇題、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共 符合題目要求的一項(xiàng).共40分）40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出1.已知集合A1,2, m2 , B 1,m .若 B A ,A. 0B. 2C. 0 或 2D. 1 或 22.已知點(diǎn)A（1,y0）（y。0）為拋物線2px p 0上一點(diǎn).若點(diǎn)A到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則 y0B.C. 2 2D. 43.在ABC中，若cosBBC 6，則 ACA. 4.2B.4C. 2 .3

2、4. “ x R，x2ax0成立”是“ 1a2”的a .充分必要條件c .充分而不必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件5.某商場(chǎng)每天上午10點(diǎn)開(kāi)門(mén)，晚上19點(diǎn)停止進(jìn)入.在 如圖所示的框圖中，t表示整點(diǎn)時(shí)刻，a（t）表示時(shí)間 段t 1,t）內(nèi)進(jìn)入商場(chǎng)人次，S表示某天某整點(diǎn)時(shí)刻前進(jìn)入商場(chǎng)人次總和，為了統(tǒng)計(jì)某天進(jìn)入商場(chǎng)的總 人次數(shù)，則判斷框內(nèi)可以填A(yù).17?B.19?C.18?18?3X一，一 16.設(shè)。加/3均為實(shí)數(shù)，且1310g2（X 1），X2,1 310g 3X2，-10g2X3 則3A. X1X3x?B. X3 X2 X|C.X3X|X2D. X2 X1X37.在平面直角坐

3、標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(1,0) , B(1,1),且 BOP 90° .設(shè)uuu uununruuuOP OA kOB (k R),則 OPA .1B.-2C. 2D. 2228.設(shè)集合M =(Xo,yo) X02 yo2 20,X0 Z,y° Z ，則M中元素的個(gè)數(shù)為A. 61B. 65C. 69D.84第二部分(非選擇題共110分)二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.9.i為虛數(shù)單位，計(jì)算U .1 i10 .設(shè)&為等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和.若a3 % 3 , & 1,則通項(xiàng)公式an=.11 .在極坐標(biāo)中，設(shè)

4、0,02 %,曲線 2與曲線 sin2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 .12 .已知有身穿兩種不同隊(duì)服的球迷各有三人，現(xiàn)將這六人排成一排照相，要求身穿同一種隊(duì)服的球迷均不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為(用數(shù)字作答)2x y 0,13 .設(shè)z 3x y,實(shí)數(shù)X, y滿足2x y 0,其中t 0.若z的最大值為5,則實(shí)數(shù)t的 0 y t,值為,此時(shí) z的最小值為 .14 .將體積為1的四面體第一次挖去以各棱中點(diǎn)為頂點(diǎn)的構(gòu)成的多面體，第二次再將剩余的每個(gè)四面體均挖去以各棱中點(diǎn)為頂點(diǎn)的構(gòu)成的多面體，如此下去，共進(jìn)行了n(n N )次.則第一次挖去的幾何體的體積是 ;這n次共挖去的所有幾何體的體積和是三、解答題：本大題共

5、6小題，共80分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程 15.(本小題滿分13分)已知函數(shù) f(x) cos2 x J3sinxcosx, x R.(I )求f (x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(n)設(shè)x m (m R)是函數(shù)y f (x)圖象的對(duì)稱軸，求sin4 m的值.16 .(本小題滿分13分)如圖所示，某班一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,其中，頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100.據(jù)此解答如下問(wèn)題.(I )求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在80,100之間的頻率；(n )現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在80,100之間的

6、試卷中任取 3份分析學(xué)生失分情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在90,100的份數(shù)為X ,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.17 .(本小題滿分14分)如圖，正方形 ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB / CD, AD CD ,1 cAB AD CD .2(I )求證：BF /平面CDE ;(n)求平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值(m )線段EC上是否存在點(diǎn) M，使得平面 BDM 平面BDF ?若存在，求出 丑 的值；若不存在，說(shuō)明理由.EC18 .(本小題滿分13分)2已知函數(shù) f (x) aln x x- (a 1)x, a R .(I)當(dāng)a 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(n) 當(dāng)a

7、1時(shí)，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22已知橢圓C：三與1(aa2 b219 .(本小題滿分14分)b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F (2,0),離心率為 叵.過(guò)焦點(diǎn)F3的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段 AB中點(diǎn)為D, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò) O, D的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn).(I)求橢圓C的方程；(n )求四邊形 AMBN面積的最大值.20 .(本小題滿分13分)若數(shù)列4中不超過(guò)f(m)的項(xiàng)數(shù)恰為bm(m N*),則稱數(shù)列是數(shù)列aj的生成數(shù) 列，稱相應(yīng)的函數(shù)f(m)是aj生成bm的控制函數(shù).設(shè)f (m) m2 .(I)若數(shù)列4單調(diào)遞增，且所有項(xiàng)都是自然數(shù)，bi 1 ,求ai ；(n )若數(shù)列4單調(diào)遞增，且

8、所有項(xiàng)都是自然數(shù)，ai bi,求ai ；(出)若an 2n(n ZJL),是否存在bm生成aj的控制函數(shù)g(n) pn2 qn r (其中 常數(shù)p,q,r Z ) ?使得數(shù)列an也是數(shù)列bm的生成數(shù)列？若存在，求出 g(n)；若 不存在，說(shuō)明理由.北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)數(shù)學(xué)答案（理工類）2015. 4解：（I ）由已知，函數(shù) f （x）cos2 x J3sin xcosx12(1cos2x)+in2xsin(2x21.2、選擇題（滿分 40分）題號(hào)12345678答案CCBADABC二、填空題（滿分 30分）題號(hào)91011121314答案13.-i2 2n 132,2722； 11

9、1 n”（萬(wàn)）（注：兩空的填空，第一空 3分，第二空2分）三、解答題（滿分80分）15.（本小題滿分13分）函數(shù)f （x）的最小正周期為2時(shí)(k Z ),即kT+ -x卜什2t時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù).即3函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為.9分（n ）由x m是函數(shù)yf （x）圖象的對(duì)稱軸,2m兀兀一= kjt ( k Z ),即 m62k Z 則 4m 2k.3則sin 4m 32.1吩16.（本小題滿分13分）解：（I ）由莖葉圖可知,分布在50,60)之間的頻數(shù)為4,由直方圖，頻率為0.0125 10 0.125,所以全班人數(shù)為40.12532人.所以分?jǐn)?shù)在80,100之間的人數(shù)為32- （4

10、+ 8+ 10）= 10人.分?jǐn)?shù)在80,100之間的頻率為10 0312s 32-（n）由（I）知，分?jǐn)?shù)在 80,100之間的有10份，分?jǐn)?shù)在90,100之間的人數(shù)有0.0125創(chuàng)10 32=4份，由題意，X的取值可為0,1,2,3.X0123P1131621030所以隨機(jī)變量X的分布列為.1吩65c 301231030一、一 11隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為EX 0 1 1 162c；1P(X 0) V ， G306P(X 1)Ci3012P(X 2)管小c；P(X 3) CC1013017.(本小題滿分14分)平面CDE ,角的(I)因?yàn)?AB/CD, AB 平面CDE,CD.4分所以AB 平面

11、CDE ,同理，AF 平面CDE , 又AB I AF A,所以平面 ABF /平面CDE , 因?yàn)锽F 平面ABF,所以BF /平面CDE .(n )因?yàn)槠矫?ADEF人平面ABCD ,平面ADEF I平面ABCD = AD ,CD A AD , CD 1 平面 ABCD ,所以CD a平面ADEF .又DE i平面ADEF，故CD a ED.而四邊形 ADEF為正方形，所以 ADA DE又AD a CD,以D為原點(diǎn)，DA , DC , DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz.設(shè) AD 1,則 D(0,0,0), B(1,1,0), F (1,0,1),C(0,2

12、,0), E(0,0,1),取平面CDE的一個(gè)法向量uurDA (1,0,0),設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量n (x, y,z),uurDB 0Luur ,即DF 00,令 x 1 ,則 y z 1,所以 n (1, 1, 1). 0設(shè)平面BDF與平面CDE所成銳二面角的大小為則cosLUU 13|cos DA,n |_ 33.吩所以平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值是 理.（出）若M與C重合，則平面BDM （C）的一個(gè)法向量 m0= （0,0,1），由（n）知平面 BDF的一個(gè)法向量n = (1,- 1,- 1),則m0?n =1? 0 ,則此時(shí)平面 BDF與平面BDM不垂直.若M與C不

13、重合，如圖設(shè)EMEC(0?入 1),則 M (0,2,1),設(shè)平面 BDM的一個(gè)法向量 m ( xd , y0, Z0),ULU DB ULur DMVo 0 yo (1,令xo)Zo 01,Z0所以m (1,若平面BDF平面BDM等價(jià)于0,所以所以，EC上存在點(diǎn)M使平面BDF 平面BDMEMEC.1分18.（本小題滿分13分）解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤 x 0 .1時(shí),f(x)In xf (x)(xx 1)(x x1)0 (x>2x.21)(x 1)x0）解得x 1 ；由(x 1)(x1)0 (x> 0)解得 0x1.）單調(diào)遞增.吩所以f （x）在區(qū)間（0,1）單調(diào)遞減，

14、在區(qū)間（1,所以x 1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f （1）-2(n) f (x) (x 1)(x a), x 0. x(1)當(dāng)a 0時(shí)，x (0,1)時(shí)，f (x) 0 , f(x)為減函數(shù)；x (1,)時(shí)，f (x) 0, f(x)為增函數(shù).所以f (x)在x 1時(shí)取得最小值f (1)x,由于 x 0,令 f(x) = 0, x= 2,則 f(x)在(0,2(i )當(dāng) a 0 時(shí)，f(x) 2有一個(gè)零點(diǎn)；(ii)當(dāng)a 1時(shí)，即f (1) 0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；21 .(m)當(dāng)a 時(shí)，即f (1) 0時(shí)，f(x)無(wú)零點(diǎn).21.(iv)當(dāng)一a 0 時(shí)，即 f (1) 0 時(shí)，2由于x 0 (

15、從右側(cè)趨近 0)時(shí)，f (x); x 時(shí)，f (x)所以f (x)有兩個(gè)零點(diǎn).(2)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，x (0,a)時(shí)，f (x) 0, f(x)為增函數(shù)；x (a,1)時(shí)，f (x) 0 , f(x)為減函數(shù)；x (1,)時(shí)，f (x) 0, f(x)為增函數(shù).所以f (x)在x a處取極大值，f (x)在x 1處取極小值.f(a)a.,1 2故橢圓的方程為L(zhǎng) L 1 .4分621 2aln a -a (a 1)a a In a - a 22當(dāng) 0 a 1 時(shí)，f (a) 0,即在 x (0,1)時(shí)，f (x) 0.而f(x)在x (1,)時(shí)為增函數(shù)，且 x 時(shí)，f (x),所以此時(shí)f(x

16、)有一個(gè)零點(diǎn).(3)當(dāng)a 1時(shí)，f (x) "6- 0在0,上恒成立，所以f(x)為增函數(shù).x且x 0 (從右側(cè)趨近 0)時(shí)，f (x); x 時(shí)，f (x).所以f(x)有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，0 a 1或af(x)有兩個(gè)零點(diǎn).1 . 一.1_, 一一. 1一時(shí)f(x)有一個(gè)手點(diǎn)；a 一時(shí)，f(x)無(wú)手點(diǎn)；一a2 22.1吩19.(本小題滿分14分)解：(I )由題意可得c 2,c始解得a 京,b板,a 3 ,2. 22a b c ,(n)當(dāng)直線1斜率不存在時(shí)A, B的坐標(biāo)分別為(2,理)，(2, 耳,|MN | 2甚，33四邊形AMBN面積為-1Sambn 萬(wàn) | MN | | A

17、B | 4 .當(dāng)直線1斜率存在時(shí),設(shè)其方程為 y k(x 2),點(diǎn) A(x,y) , B(x2,y2), M(X3, y3),N( X3,y3),點(diǎn)M,N到直線l的距離分別為 d1,d2 ,則四邊形 AMBN面積為Sambn1-| AB |(d1 d2).22 x由6y2y2 k(x1,得(1 3k2)x2 12k2 x2),-212k6 0,則Xi212k2x22，1 3kXX2212k2 61 3k所以 |AB| . (1 k 3k2 10)(x1 x2)2 4 為 x2212k2 213k2)212k2 63k2 2.6(1 k2)1 3 k2因?yàn)関iy2k(x x24)1 3k2所以A

18、B中點(diǎn)D(6k22kc, 2 , e 2 ) 1 3k 1 3k0時(shí),直線OD方程為x 3ky0,x由x23ky2y20,解得1,x323ky3, y321 3k2所以Sambn1-| AB|(d12d2)2 一kj(|kx31 3k2V3 2k |kx3 V3 2k I,1 k2. 1 k26 1 k212kx3 2y3 |1 3k22 ,6 1 k2 | 3k2y3 y314 分 4；124 . 31 3k當(dāng)k 0時(shí)，四邊形AMBN面積的最大值SAMBN = 2展？ 0 4J3.綜上四邊形AMBN面積的最大值為4>/3 .14分20.(本小題滿分13分)解：(I )若b 1 ,因?yàn)閿?shù)列an單調(diào)遞增，所以ai21 ,又以是自然數(shù)，所以a10或1.(n)因?yàn)閿?shù)列an的每項(xiàng)都是自然數(shù),右ai20 1 ,則b 1,與& b矛盾;-H-育a2,則因an單調(diào)遞增，故不存在an21 ,即b 0 ,也與a1b矛盾.所以,1時(shí)，因，單調(diào)遞增，故n 2時(shí),an 1 ,所以n 1,符合條件,a11.(出)若 an 2n(n1,2,L ),則數(shù)列an單調(diào)遞增，顯然數(shù)列bm也單調(diào)遞增,由anm2 ,即2n m2,得