高等數(shù)學(xué)備課資料：第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 07 第七節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性

1、第七節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性分布圖示 引例(講義例1) 一致收斂的概念 例2 例3 魏爾斯特拉斯判別法 例4 例5一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 定理2 定理3 定理4冪級(jí)數(shù)的一致收斂性 定理5 定理6 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題127 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、一致收斂的概念：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂域上收斂于和，指的是它在上的每一點(diǎn)都收斂，即對(duì)任意給定的及收斂域上的每一點(diǎn)，總相應(yīng)地存在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有.一般來(lái)說(shuō)，這里的不僅與有關(guān)，而且與也有關(guān). 如果對(duì)某個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)能夠找到這樣的一個(gè)只與有關(guān)而不依賴于的自然數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于區(qū)間上每一點(diǎn)都成立，這類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是所謂的一致收斂的級(jí)數(shù).定義1 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

2、在區(qū)間上收斂于和函數(shù), 如果對(duì)任意給定的，都存在著一個(gè)與無(wú)關(guān)的自然數(shù)N, 使得當(dāng)時(shí), 對(duì)區(qū)間I上的一切x恒有，則稱該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂于和，此時(shí)也稱函數(shù)序列在區(qū)間I上一致收斂于. 二、定理1（魏爾斯特拉斯判別法）如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上滿足條件：（1） （2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.則該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間I上一致收斂. 三、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理2 如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在區(qū)間上都連續(xù)，且級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于 則在上也連續(xù).定理 3 設(shè)在上連續(xù)，且級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于，則存在，且級(jí)數(shù)在上可以逐項(xiàng)積分，即 (7.2)其中 且上式右端的級(jí)數(shù)在上也一致收斂.定理4 如果級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂于和, 它的各項(xiàng)

3、都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且級(jí)數(shù)在上一致收斂，則級(jí)數(shù)在上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即有 (7.3) 四、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性定理5 如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 則此級(jí)數(shù)在內(nèi)的任一閉區(qū)間上一致收斂.定理 6 如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為則其和函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑.例題選講一致收斂的概念例1（E01）考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性.解 因?yàn)樵摷?jí)數(shù)每一項(xiàng)都在是連續(xù)的，且其部分和故該級(jí)數(shù)的和函數(shù) 易見(jiàn)，和函數(shù)在處間斷.注:本例表明:即使函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都在a, b上連續(xù)，并且級(jí)數(shù)在a, b上收斂，但其和函數(shù)卻不一定在a, b上連續(xù)；同樣也可舉例說(shuō)明，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的每

4、一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級(jí)數(shù)的和也不一定等于它們的和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分. 那么在什么條件下，我們才能夠從級(jí)數(shù)每一項(xiàng)的連續(xù)性得出它的和函數(shù)的連續(xù)性，從級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級(jí)數(shù)之和得出原級(jí)數(shù)的和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分呢? 要回答這個(gè)問(wèn)題，就需要引入函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性概念.例2（E02）研究級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性.解 當(dāng)時(shí)，有 由于若要只要于是對(duì)任給的取當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切都有因此, 級(jí)數(shù)在上一致收斂.例3（E03）研究級(jí)數(shù)在區(qū)間0,1上的一致收斂性.解 由于于是取不論多大,主要取就有因此，級(jí)數(shù)在上收斂，但不一致收斂.例4（E04）證明級(jí)數(shù)在上一致收斂.證 因?yàn)樵趦?nèi)而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故由魏爾斯特拉斯判

5、別法知，題設(shè)級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂.例5（E05）判別級(jí)數(shù)在上是否一致收斂.解 因?yàn)樗杂旨?jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)在上一致收斂.課堂練習(xí)1. 研究級(jí)數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性.魏爾斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm，18151897)魏爾斯特拉斯德國(guó)數(shù)學(xué)家，1815年10月31日生于德國(guó)威斯特伐利亞地區(qū)的奧斯登費(fèi)爾特；1897年2月19日卒于柏林。魏爾斯特拉斯的父親威廉是一名政府官員，受過(guò)高等教育，頗具才智，但對(duì)子女相當(dāng)專橫。魏爾斯特拉斯11歲時(shí)喪母，翌年其父再婚。他有一弟二妹；兩位妹妹終身未身未嫁，后來(lái)一直在生活上照料終身未娶的魏爾斯特拉斯。威廉要孩子長(zhǎng)大后進(jìn)入普魯士高等文官階層，因

6、而于1834年8月把魏爾斯特拉斯送往波恩大學(xué)攻讀財(cái)務(wù)與管理，使其學(xué)到充分的法律、經(jīng)濟(jì)和管理知識(shí)，為謀得政府高級(jí)職位創(chuàng)造條件。魏爾斯特拉斯不喜歡父親所選專業(yè)，立志終身研究數(shù)學(xué)，并令人驚訝地放棄成為法學(xué)博士候選人，因此在離開(kāi)波恩大學(xué)時(shí)，他沒(méi)有取得學(xué)位。在父親的一位朋友的建議下，他被送到一所神學(xué)哲學(xué)院，然后參加中學(xué)教師資格國(guó)家考試，考試通過(guò)后在中學(xué)任教，此期間，他寫(xiě)了4篇直到他的全集刊印時(shí)才問(wèn)世的論文，這些論文已顯示了他建立函數(shù)論的基本思想和結(jié)構(gòu)。1853年夏他在父親家中度假，研究阿貝爾和雅可比留下的難題，精心寫(xiě)作關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文。這就是1854年發(fā)表于克雷爾雜志上的“阿貝爾函數(shù)論”。這篇出自一

7、個(gè)名不見(jiàn)經(jīng)傳的中學(xué)教師的杰作，引起數(shù)學(xué)界矚目。1855年秋，魏爾期特拉斯被提升為高級(jí)教師并享受一年研究假期。1856年6月14日，柏林皇家綜合科學(xué)校任命他為數(shù)學(xué)教授；在E.E.庫(kù)默爾的推薦下，柏林大學(xué)聘任他為副教授，他接受了聘書(shū)。11月19日，他當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。1864年成為柏林大學(xué)教授。在柏林大學(xué)就任后，魏爾斯特拉斯即著手系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)，并進(jìn)一步研究橢圓函數(shù)論與阿貝爾函數(shù)論。這些工作主要是通過(guò)他在該校講授的大量課程完成的。幾年后他就名聞名遐邇，成為德國(guó)以至全歐洲知名度最高的數(shù)學(xué)教授。1873年他出任柏林大學(xué)校長(zhǎng)，從此成為大忙人。除教學(xué)外，公務(wù)幾乎占去了他全部時(shí)間，使他疲乏不堪。緊張的工作影響了他的健康，但其智力未見(jiàn)衰退。他的70年誕慶典規(guī)模頗大，遍布全歐各地的學(xué)生趕來(lái)向他致敬。10年后80大壽慶典更加降重，在某種程度上他簡(jiǎn)直被看作德意志的民族英雄。1897年初，他染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，終至不治，于2月19