高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例(后附答案)

1、高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例一、橢圓1.橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.第二定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn),對(duì)稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點(diǎn)、焦距焦距為 離心率 (0eb0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若PF1F2=5PF2F1,則橢圓的離心率

2、為( )(A) (B) (C) (D)例5. P點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是 .例6. 寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸與短軸的和為18，焦距為6; .(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,并且經(jīng)過點(diǎn)(2，1); .(3)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,且短軸是長軸的; _.(4)離心率為，經(jīng)過點(diǎn)(2，0); .例7. 是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是 二、雙曲線1.雙曲線的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a(02a1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線,定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做雙曲線的離心率例8 .命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到

3、兩定點(diǎn)A、B的距離之差的絕對(duì)值等于2a(a0)；命題乙： 點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。則命題甲是命題乙的( )(A) 充要條件 (B) 必要不充分條件 (C) 充分不必要條件 (D) 不充分也不必要條件例9 到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于log23的點(diǎn)的軌跡是（ ）(A)圓 (B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線例10. 過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程是( )(A) (B) (C) (D)例11. 雙曲線的兩焦點(diǎn)為在雙曲線上,且滿足,則的面積為( ) 例12 設(shè)的頂點(diǎn)，且，則第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程是_.例13. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程:與雙曲線有共同漸近線，且過點(diǎn)(-3，)

4、；與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(，2).例14. 設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B，AB中點(diǎn)M（1，2）求直線AB方程；注：用兩種方法求解（韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法）三、.拋物線1.拋物線的定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(點(diǎn)F不在上).定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn), 定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對(duì)稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)頂點(diǎn)原點(diǎn)準(zhǔn)線離心率1注: 通徑為2p，這是拋物線的過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦.例15. 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是的拋物線方程是( )(A)x2=8y (B)x2= -8y (C)y2=8x (D)y2= -8x例16 拋物線上的一點(diǎn)到

5、焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )(A) (B) (C) (D)0例17. 過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有( )(A)4條 (B)3條 (C)2條 (D)1條例18. 過拋物線(a0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于( )(A)2a (B) (C) (D)例19 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，為使|PA|+|PF|取最小值，P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(，1) (D)(0，0)例20 動(dòng)圓M過點(diǎn)F(0，2)且與直線y=-2相切，則圓心M的軌跡方程

6、是 .例21 過拋物線y22px的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，則y1y2_.例22 以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_.例23. 過點(diǎn)(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的范圍是 .例24 設(shè)是一常數(shù)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。()試證:拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；()求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.四、求點(diǎn)的軌跡問題如何求曲線(點(diǎn)的軌跡)方程,它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時(shí)除了用代入

7、法（相關(guān)點(diǎn)法）外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過程中，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程(等量關(guān)系)，側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用。求軌跡方程的一般步驟:建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化.例25. 已知兩點(diǎn)M（2，0），N（2，0），點(diǎn)P滿足=12，則點(diǎn)P的軌跡方程為（ ） 例26. O1與O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動(dòng)圓與O1內(nèi)切而與O2外切，則動(dòng)圓圓心軌跡是( )(A)橢圓(B)拋物線(C)雙曲線 (D)雙曲線的一支例27. 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2=-6x上運(yùn)動(dòng),定點(diǎn)A(0,1),線段P

8、A中點(diǎn)的軌跡方程是( )（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例28. 過點(diǎn)（2，0）與圓相內(nèi)切的圓的圓心的軌跡是（）（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）圓例29. 已知的周長是16，B則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是( )(A)(B) (C) (D)例30. 橢圓中斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為 .例31. 已知?jiǎng)訄AP與定圓C: （x2）y相外切，又與定直線l：x相切,那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是_._.五、圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切

9、、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個(gè)一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、.直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長注:實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注: 1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運(yùn)算。2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法.3.圓錐曲

10、線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個(gè)途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。例32. AB為過橢圓=1中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則AFB的面積最大值是( )(A)b2 (B)ab(C)ac (D)bc例33 若直線ykx2與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）, , ,例34. 若雙曲線x2y2=1右支上一點(diǎn)P(a, b)到直線y=x的距離為，則ab的值是( ). 或 (D)2或2例35 拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x- y =4的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) (B)(1,1) (C) () (D) (2,4)例36 拋物線y2=4x截

11、直線所得弦長為3，則k的值是( )(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4例37 如果直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是 .例38 已知拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且，那么m的值為 .例39 雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B?若存在，試求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例答案一、橢圓例1. D 例2. B 例3. C 先考慮M+m=2a，然后用驗(yàn)證法.例4. B，.例5 (3,4) 或(-3, 4)例6. (1)或; (2) ;(3)或; (4) 或.例7. 二、雙曲線：例8. B 例9. C 例10. D

12、 例11. A假設(shè),由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得點(diǎn)評(píng)考查雙曲線定義和方程思想.例12 例13.設(shè)雙曲線方程為(0), , 雙曲線方程為;設(shè)雙曲線方程為 ,解之得k=4, 雙曲線方程為評(píng)注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(0)，當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0，b2-k0)。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.例14 解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當(dāng)0時(shí)，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2） 則 k=1，滿足0

13、直線AB：y=x+1 法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) x1x2 AB：y=x+1代入得：0評(píng)注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時(shí)，必須檢驗(yàn)條件0是否成立。（2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗(yàn)是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心設(shè)A、B、C、D共圓于OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點(diǎn)。因此只需證CD中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD

14、|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點(diǎn)M（x0,y0）則 M（-3，6） |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D在以CD中點(diǎn)，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評(píng)注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視.三、拋物線：例15. B() 例16. B例17 B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)例18. C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點(diǎn)，且垂直于對(duì)稱軸的直線與拋物線相

15、交所形成線段分別為p,q，則p=q=|FK|,例19. 解析：運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線性質(zhì).答案：B 例20. x2=8y 例21 p2例22 例23-例24. 解：由題意，直線AB不能是水平線， 故可設(shè)直線方程為：.又設(shè)，則其坐標(biāo)滿足消去x得由此得因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H（）是AB的中點(diǎn)，故由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑，且.從而當(dāng)k=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時(shí)，直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式，利用韋達(dá)定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系求解有時(shí)借助圖形的

16、幾何性質(zhì)更為簡潔此題設(shè)直線方程為x=ky+2p；因?yàn)橹本€過x軸上是點(diǎn)Q(2p，0)，通?？梢赃@樣設(shè)，可避免對(duì)直線的斜率是否存在討論2凡涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問題，利用平方差法；涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡化運(yùn)算3在引入點(diǎn)參數(shù)(本題中以AB弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)作為主參數(shù))時(shí)，應(yīng)盡量減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，以便減少運(yùn)算量由OAOB得x1x2+y1y2=O這個(gè)關(guān)系對(duì)于解決此類問題十分有用4列出目標(biāo)函數(shù)，|OH|=P，運(yùn)用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的基本思路，也可利用基本不等式a2+b22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立求解四、求點(diǎn)的軌跡問題例25. B 例26. D 例27. C 例28. A 例29. B例30. 9x+16y=0 (橢圓內(nèi)部分) 例31. y8x 五、圓錐曲線綜合問題例32 解析：SAFB=2SAOF，當(dāng)點(diǎn)A位于短軸頂點(diǎn)處面積最大.答案：D 例33. D例34. B 例35.