二節(jié)微積學基本定理-資料 ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 微積學根本定理微積學根本定理一、變上限積分與對積分一、變上限積分與對積分上限變量求導數(shù)上限變量求導數(shù)二、微積分根本定理二、微積分根本定理 假設物體運動的速度函數(shù)為v=v(t),那么在時間區(qū)間a,b內(nèi)物體的走過的路程s可以用定積分表示為.d)(battvs另一方面,假設知該變速直線運動的路程函數(shù)為s=s(t),那么在時間區(qū)間a,b內(nèi)物體的位移為s(b)s(a), 所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于 ,即s(t)是v(t)的原函數(shù),這就是說,定積分 等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間a,b上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)(一、變上限積分與

2、對積分上限變量求導數(shù) 設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上延續(xù),那么對于恣意的x( ),積分 存在,且對于給定的x( ),就有一個積分值與之對應,所以上限為變量的積分 是上限x的函數(shù).bxaxaxxfd)(bxaxaxxfd)(留意：積分上限x與被積表達式f(x)dx中的積分變量x是兩個不同的概念,在求積時(或說積分過程中)上限x是固定不變的,而積分變量x是在下限與上限之間變化的,根據(jù)定積分與積分變量記號無關,用字母t表示積分變量,于是變上限記號為(x)因此常記為定理5.3 假設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上延續(xù),那么變上限的積分所確定的函數(shù)).( )(d)(dd)( bxaxfttfxxxa( )( )

3、d .xaxf tt( )( )d ().xa xf ttaxb在a,b上可導,且xaxxattfttfd)(d)(=xxxxaxxxxattfttfttfttfd)(d)(d)(d)()() (0 xxxx，不妨設證明),( )(d)(xxxxfttfxxx由積分中值定理有).()( fxxfx即數(shù)的連續(xù)性，有根據(jù)導數(shù)的定義以及函，從而時，有當 0 xxxxx結論：變上限積分所確定的函數(shù) 對積分上限x的導數(shù)等于被積函數(shù)f(t)在積分上限x處的值f(x).xattfd)(，)()(limlim)( 0 xffxxxx).(d)(dd)( xfttfxxxa即.,)(d)()( ,)( 上的一個

4、原函數(shù)在是上連續(xù)，則在區(qū)間如果函數(shù)baxfttfxbaxfxa定理5.4(原函數(shù)存在定理) 原函數(shù)存在定理一方面闡明延續(xù)函數(shù)必有原函數(shù),另一方面又提示了延續(xù)函數(shù)定積分(這里是指變上限定積分)與不定積分的關系,并由此可以得到利用原函數(shù)計算定積分的公式(稱為微積分根本定理).0 ( )( ) ( )( )d( )+.xaF x xCxf ttF xC定理5.5(微積學根本定理) 設函數(shù)f(x)在區(qū)間上延續(xù),且F(x)是f(x)在a,b上的任一原函數(shù)，)()(d)(aFbFxxfba二、微積分根本定理證明的一個原函數(shù)，也是而的一個原函數(shù)，是)(d)()()()(xfttfxxfxFxa( )d( )

5、( )( ).bbaaf x xF xF bF a或記作 上式稱為牛頓-萊布尼茨公式,也稱為微積分根本定理.，即)()(d)( aFbFxxfba那么 即有0( )CF a ( )d( )( ).xaf ttF xF a令x=b得( )d( )( ),baf ttF bF a00=( )d( )+aaf ttF xC令x=a,得 牛頓萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便的根本方法,即求定積分的值,只需求出被積函數(shù) f(x)的一個原函數(shù)F(x),然后計算原函數(shù)在區(qū)間a,b上的增量F(b)F(a)即可.該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題,提示了定積分與不定積分之間的內(nèi)在聯(lián)絡.d102xx例1 求的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為xx233 解.31333d 0133103102xxx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓例2 求.d11112xx11112arctand11xxx萊布尼茨公式，有根據(jù)牛頓的一個原函數(shù)，是被積函數(shù)因為 11arctan 2xx 解.2 )4(4) 1arctan(1arctan21dln(1)d dxtt .x例3 求221d(1)d(1)dxlnttlnx .x 解 根據(jù)定理6.3有例4 求.darctanlim200 xxxtt必達法則，有型的極限問題，利用洛這屬于00 xt