北京市西城八中少年班2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(含解析)

1、北京市西城八中少年班2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 （含解析）（考試時(shí)間為120分鐘，滿分為150分）一、選擇題：本大題共 25小題，每小題3分，共75分.1.在 4ABC 中，若 sin2A sin2B sin2 C ,則 4ABC 的形狀是（）.A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無(wú)法確定【答案】B【解析】由正弦定理：a2 b2 c2,故為 a2 b2 c20,2. 22pa b c又 cosc ,2abcosc 0 ,又 0 c Tt,兀，2 .對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概

2、率依次為A.PP2P3B,P2R PC.PP3P2D.RP2P3【答案】D【解析】無(wú)論三種中哪一抽法都要求個(gè)體被抽概率相同.選D .3 .若非零實(shí)數(shù)a, b, c滿足a b c,則一定成立的不等式是（）A. ac bcB. ab acC. a |c| b |c|D.【答案】C【解析】A . a b , c不一定為正，錯(cuò);B .同A , a不一定為正，錯(cuò)；C . a b a |c| b |c|正確；D .反例：a 1, b 1 , c 2 ,111 一 1錯(cuò)誤，a b4.函數(shù)f（x） x2,定義數(shù)列 an如下：am f（aj, n n* ,若給定a的值，得到無(wú)窮數(shù)列an滿足：對(duì)任意正整數(shù)n ,均

3、有ani an ,則ai的取值范圍是（）D. ( 1,0)A. (, 1)U(1, )B. (,0)U(1, )C. (1,)【答案】A【解析】由an 1 an ,2 an an, - an(an 1)0 ,an 1 或 an 0 ,而 an 1,0時(shí),an 1 an不又n恒成立，5.已知不等式選A .P ,則“ |x0 I 1 ”的概率為（）A.B.C.D.x 5【解析】小 0(x s)(x 1) 0x 1 0P x| x 1,1 x 5 ,|x| 11x1,.P 1 ( 1) 1 5(1) 3 1選B .6.從不同號(hào)碼的5雙鞋中任取4只，其中恰好有1雙的取法種數(shù)為（）A. 120B. 24

4、0C. 280D. 60【解析】選從5雙中取1雙，C5, 丙從剩下4雙任取兩雙，兩雙中各取 1只,c2 2 2 24 ,1 N c5 24 120 .選A .7.設(shè)a 0 , b 0,則下列不等式中不 恒成立的是().122A. a -> 2B a2 b2>2(a b 1)aC- iyTa b"1 > Va VbD. a3 b3 > 2ab2【答案】D【解析】a3 b3 - 2ab2 (a b)(a2 ab b2),ik 51332當(dāng)b a b有 a b 2ab ,2故D項(xiàng)錯(cuò)誤，其余恒成立.選D .8.總體由編號(hào)為01, 02, L , 29, 30的30個(gè)個(gè)

5、體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取4個(gè)個(gè)體.選取的方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為（）.7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481A. 02B. 14C. 18D. 29【答案】D【解析】從表第1行5歹U, 6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于20的編號(hào)為：08, 02 , 14, 29 .第四個(gè)個(gè)體為29.選D .9 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S值為（）.k=k+1A. 1【答案】C【解析】S K01125314 4 出 S

6、 14.選C .否,輸出S,B. 5C. 14D. 30A. x1x2, &s2C- X1X2 , s1S2B. x1x2,Ss2D.X1X2,6s210 .如圖是1, 2兩組各7名同學(xué)體重(單位：千克)數(shù)據(jù)的莖葉圖.設(shè) 1, 2兩組數(shù)據(jù)的平均 數(shù)依次為X1和X2,標(biāo)準(zhǔn)差依次為S1和S2,那么().(注：標(biāo)準(zhǔn)差【解析】第1組7名同學(xué)體重為:53 , 56 , 57 , 58 , 61 , 70 , 72 ,61 , 60 , 58 , 56 , 54 ,56 L73) 62kg ,_ 2- 2262) L (73 62) 63kg ,S2 S2.一 1，cc,c、. X1 -(5356

7、L72)61kg,21222S1#5361)L(7261) 43kg ,第2組7名同學(xué)體重為：72, 73,- 1 , X2 (54 72 1S2 -(54 7X1 X2 , 故選A .1111111 .如圖給出的是計(jì)算 -L上的一個(gè)程序框圖，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入關(guān)于i的不等式為().A. i 50B. i 50C. i 51D. i 512 4 6 8100【答案】B1 11【解析】-L 不進(jìn)行了 50次,2 4100第50次結(jié)束時(shí)，n 102, i=51 ,此時(shí)輸出，因此i 50 .12 .在（x y）n的展開(kāi)式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則 n的值可能等于（）.A. 13, 14B. 14, 15

8、C. 12, 13D. 11, 12, 13【答案】D【解析】（x y）n的展開(kāi)式第七項(xiàng)系數(shù)為 C6,且最大，可知此為展開(kāi)式中間項(xiàng)，當(dāng)展開(kāi)式為奇數(shù)項(xiàng)時(shí)：-6 , n 12 ,2''n 1當(dāng)有偶數(shù)項(xiàng)時(shí)6 n 11,2-n 1或 -2- 7 , n 13 ,故n 11, 12, 13.選D .13 .袋中裝有5個(gè)小球，顏色分別是紅色、黃色、白色、黑色和紫色，現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，設(shè)每個(gè)小球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則抽到白球或黑球的概率為（）AB.一【答案】D【解析】從袋中5球隨機(jī)摸3個(gè)，有C5 10,黑白都沒(méi)有只有1種,19則抽到白或黑概率為1 ,2.10 10選D .C.D.910

9、14 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積為T(mén)n 2n c,其中c為常數(shù)，n N* ,若a 3,則c ().A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】AT424 c【解析】a4-4-3- 3,T3 2cc 4 .選A .15 .組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、 禮儀、司儀、司機(jī)思想不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這思想工作，則不同的選派方案共有()A. 36 種B.【答案】A【解析】若小張或小趙入選，c2 c2 c324 種，若小張，小趙都入選，有：23一A2 A3 12 種，可知共有24 12 36種.選A .16.若(2x

10、3344 a0 a1xA. 1【答案】A【解析】令x 1 , a0 a1令 x 1 , a。a a28而(a。 a2 a4)2 (& a3)2(a。 a2 a44 a3)(a。(23)4( 23)4 (3選A .12種C. 18種有選法：234a2xa3xa4x ,則（a。 a2B. 1C. 0La4 （2石）4,a4（ 2 萬(wàn)）4,a1%a3 a4）4）41 .D. 48 種、2,、2 .a4）（a1 a3）的值為（）D. 217.有4個(gè)人同乘一列有10節(jié)車廂的火車，則至少有兩人在同一車廂的概率為()A.63125B1SC 250D.31125【答案】B【解析】4個(gè)人乘10節(jié)車廂的火

11、車, 有104 10000種方法,沒(méi)有兩人在一車廂中有A40 10 9 8 7種,至少有兩人在同一車廂概率為:-4Aw 496062p 1 - 一 .10410000 125選B .18.某車站，每天均有3輛開(kāi)往省城的分為上、中、下等級(jí)的客車，某人某天準(zhǔn)備在該車站乘車前往省城辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序，為了盡可能乘上上等車，他 采取如下策略；先放過(guò)第一輛車，如果第二輛車比第一輛車則上第二輛，否則上第三輛車, 那么他乘上上等車的概率為（）.B.A.【解析】設(shè)三車等次為：下、中、上,它們先后次序?yàn)?種：下 中上 x一沒(méi)乘上上等下上 中，一乘上上等中下上，中上下，上下 中 X上 中

12、下 X1情況數(shù)為3, p2選B .19.在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1, 2, 3, L , 18的18名火炬手.若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為（）c 306【解析】共有C381716 3種事件數(shù),選出火炬手編號(hào)為an3 3(n 1),a14、10、 13、16,可得4種,an2,由 2、5、6、8、9、11、14、17 ,可得4種,12、15、18,可得4種,4 317 16 316820.已知數(shù)列A: &，an (0< a1 a2 Lan,n>3）具有性質(zhì)P：對(duì)任意i ,j（1w i w j w n） , aj ai與aj

13、a兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)，給出下列三個(gè)結(jié)論:數(shù)列0 , 2 , 4 , 6具有f質(zhì)P .若數(shù)列A具有性質(zhì)P ,則& 0 ,數(shù)列 ai , a2 , a3(0W ai 比 a3 ) 具有f質(zhì) P ,則 ai a3 2 a2 ,其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是().A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】數(shù)列 0 , 2 , 4 , 6 , aj a , aj aij(1 < i < j < 3),兩數(shù)中都是該數(shù)列中項(xiàng)，a4 a3 2,正確，右an有P性質(zhì)，去4中最大項(xiàng)an,an an與an an至少一個(gè)為an中一項(xiàng)，2%不是,又由 0 w ai W a2 L

14、W an ,則0是，an 0,正確， ai , a2 , a3 有性質(zhì) P , 0 忘 ai a2 a3 ,ai a3, a3 ai,至少有一個(gè)為an中一項(xiàng)，i . ai a3 是an項(xiàng)，ai a3 a3 ,1 ai 0,則 a2 a3,不是an中項(xiàng)， a3 a2 a2 ai a3 2a2 .2 . a3 ai 為an中一項(xiàng)，則 a3 a a 或 a2或 a3, 若a3 ai a3同i ；若a3 ai a2 ,則a3 a2與% a3不符； a3 ai ai , a3 2ai .綜上ai a3 2a2 ,正確，選A .x y 2 w 02i. x, y滿足約束條件 x 2y 2W0,若z y a

15、x取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a2x y 2> 0的值為().A.1或iB. 2或1C. 2或iD. 2或i221【解析】觀察選項(xiàng)有 ，1,1,2.2當(dāng)a 2時(shí)，y ax z與y 2x 2重合時(shí)，縱截距最大，符合，a i時(shí)，y ax z與y x z重合時(shí)，縱截距最大，符合，一.，一一一 ,一 i -1 a 2時(shí)，y ax z經(jīng)過(guò)B(0,2)時(shí)，縱截距最大，不符合，萬(wàn)，1舍去,故a 2或1,22.函數(shù)f(x) x|x| .若存在x 1,),使得f(x 2k) k 0,則k的取值范圍是()11A. (2, )B. (1, )C. -,D.-,【答案】D 1【解析】當(dāng)kw a時(shí)，x 2k

16、> 0 ,因此 f (x 2k) k 0,可化為(x 2k)2 k 0 ,即存在x 1,使 f(x) x2 4kx 4k2 k 0 成立，由于f(x) x2 4kx 4k2 k的對(duì)稱軸為 一 22x 2k < 1 ,所以 f (x) x 4kx 4k k ,連x 1,單調(diào)遞增，因此只要 g(1) 0,1即 14k 4k k 0,解得-k 1 , 41 111又因kw 所以二k w,，當(dāng)k工時(shí)，2 4222f(x 2k) k 0 (x 2k)2 k 0 恒成立，八，1綜上，k 一 .423.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A(4,3),B是x正半軸上一點(diǎn)，則 AOAB中OB的最大值為().OAA

17、- 3B.D.-5【答案】見(jiàn)解析【解析】A(4,3),sin/AOBsin/AOBOBsin A 'sin AAB sin/AOB5sin A 3由A (0,向得sin A(0,1,當(dāng)A 2時(shí)器5sinA為最大值：選B .A24.數(shù)列aj的通項(xiàng)公式為an|n* . . 一 一- - - .c|(n N ),則“ cw 1 ”是“ an為遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】見(jiàn)解析【解析】若an遞增,an 1 an |n 1c| |n c|(n 1 c)2(nc)2.cwi為an遞增充分不必要條件.25.將五個(gè)1,五個(gè)2 ,五

18、個(gè)3,五個(gè)4,五個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格 填入一個(gè)數(shù)），使得同一行中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò) 2,考察每行中五個(gè)數(shù)之和，記這 五個(gè)和的最小值為 m ,則m的最大值為（）.A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】1 , 5個(gè)1分在同列，m 5,2 , 5個(gè)1分在兩列，則這兩列出現(xiàn)最大數(shù)至多為3,故 2mw 5 1 5 3 20 ,有 mW10,3 , 5 個(gè)1 在三列，3m< 5 1 5 2 5 3, m< 0 ,4 ,若5個(gè)1在至少四列中，其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3,矛盾，M < 1,如圖可取10 .故選C .11145112452224

19、53324533345二、填空題：本大題共 11小題，每小題3分，共33分.把答案填在題中橫線上.26.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若 M 1,則輸出的S ;若輸出的S 14,則整 數(shù)M .見(jiàn)解析【解析】1時(shí)，S 2143時(shí)出來(lái),27.某學(xué)校高年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的45% ,在一次考試中，男、女生平均分?jǐn)?shù)依次為72、74,則這次考試該年級(jí)學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為【答案】見(jiàn)解析【解析】72 45% 74 (1 45%) 72.1 .28 .在一個(gè)有三個(gè)孩子的家庭中，(1)已知其中一個(gè)是女孩，則至少有一個(gè)男孩的概率是(2)已知年齡最小的孩子是女孩，則至少有一個(gè)男孩的概率是【答案】見(jiàn)解析【解析】共有2

20、2 2 8種，只有男孩1種除去，只有女孩有1種,29 .在AOB的邊OA上有5個(gè)點(diǎn)，邊OB上有6個(gè)點(diǎn)，加上。點(diǎn)共12個(gè)點(diǎn)，以這12個(gè)點(diǎn)為頂個(gè).點(diǎn)的三角形有【答案】見(jiàn)解析【解析】a c6 c7 16S,連12個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，除去同一直線上點(diǎn).30 .如圖，在2 3的矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有 個(gè).【答案】見(jiàn)解析【解析】直角邊長(zhǎng)為1時(shí)，24 6 4個(gè),直角邊長(zhǎng)為衣時(shí)，7 2 14個(gè)，直角邊長(zhǎng)為2時(shí)，2 4 8個(gè)，直角邊長(zhǎng)為褥時(shí)，4個(gè)，. .總共有 24 14 8 4 50.31 .從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從2,4,6中隨機(jī)選取一個(gè)

21、數(shù)為 b,則b a的概率是.【答案】見(jiàn)解析【解析】共有5 3 15種,b a有2141, 2, 361, 2, 3, 4, 5共9種，.,P 1 315 532.已知正方形 ABCD .(1)在A , B , C , D四點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連線，則余下的兩點(diǎn)在此直線異側(cè)的概率是 (2 )向正方形 ABCD內(nèi)任投一點(diǎn)P ,則4PAB的面積大于正方形 ABCD面積四分之一的概 率是.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)共有C2 6種,異側(cè)2種,(2)在 CDFE 內(nèi),2(t 2)2 8 .SAPABS平行四邊形ABCD4，【注意有文字】而 SCEDFSABCD ,x y w 133.已知當(dāng)實(shí)數(shù)x,y滿足2x y

22、> 1時(shí)，ax by w 1恒成立，給出以下命題:x 2y < 1點(diǎn)P(x, y)所形成的平面區(qū)域的面積等于3 .22x y的最大值等于2.以a, b為坐標(biāo)的點(diǎn)Q(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于4.5.a b的最大值等于2 ,最小值等于1 .其中，所有正確命題的序號(hào)是 .【答案】見(jiàn)解析【解析】3,22 _x y 2取最大，對(duì)；ax by wi恒成立，b w i當(dāng)且僅當(dāng) a w1,a b < 1一19S一33,對(duì)；22 一，ab1時(shí)，a b 2最大，1a b 2時(shí)，a b 1最小，對(duì).綜上.x y 4 w 0N為不等式組所表示34.設(shè)M為不等式組 x y 4>0,所表

23、示的平面區(qū)域, y > 0的平面區(qū)域，其中t 0,4,在M內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) A,記點(diǎn)A在N內(nèi)的概率為P .(i )若 t 1 ,則 P .(ii) P的最大值是.【答案】見(jiàn)解析x y 4 < 0【解析】不等式組x y 4 >0平面區(qū)域?yàn)镸,y > 0-1Sm - 8 4 16,小t < x< t不等式組(0 W t W 4),0< y < 4 t表布的面積為2t (4 t)t 1 時(shí)，P2 8T6-t 2時(shí),p U16且2t(4 t)最大，P最大.35.若不等式L L n 1 n 2 n 3【答案】見(jiàn)解析1一 a(n N )恒成立，則a的范圍 2nf

24、 (x)最小值為13 .【解析】設(shè)f (n) , L n 1 2n,1f(n 1) 0 L112n 1 2(n 1)f(n 1) f(n)1112n 1 2(n 1) n 112n 12n 2f (n)是關(guān)于n遞增數(shù)列(n N,n>2),.f (2) g7 a 36.當(dāng)x 1,9時(shí)，不等式|x212設(shè) f(x)|x2 * 3x| x2 32x32.一，在1,3上單減, xfmin f(3) 3，一 一3232當(dāng) 3 x < 9 , f (x) 2x 3> 2 #2x 3 , xx當(dāng)且僅當(dāng)2xkw 13.三、解答題：(本大題共6小題，每題7分，共42分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明

25、過(guò)程或演 算步驟.)37.已知4ABC為銳角三角形，a, b, c分別為角A, B, C所對(duì)的邊，且 J3a 2csinA. (1)求角C .(2)當(dāng)c 24時(shí)，求 ABC面積的最大值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)正弦定理：-a-,sin Asin csin c(2)余弦定理是：c2 a2 b2 2abcosc ,._22-12 a b ab , 2 2乂 a b ab > ab ,. ab< 12,Saabc- absin c ab3/3,24當(dāng)僅當(dāng)a b時(shí)取得 Smax3打. a 138.已知函數(shù)f (x) a(x 2) x ,其中a 0 .(I )若a 1 ,求f(x)在區(qū)間

26、0,3上的最大值和最小值.(n)解關(guān)于x的不等式f(x) 0.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) a 1 , f(x) (x 2)x (x 1)2 1, f (x) 2x 2 ,(0,1)(1,3)minf(1)f (x)f(x)fmaxmaxf(3), f(0),而 f (3) 3 f (0),fmax (n) a 0時(shí),a 1(x 2) x 0 , a此時(shí)f (x)0解集為：x|xa 1a 0 時(shí)，(x 2) X 丁 0 f (x) 0解集為x|2 x a 1 ,無(wú)解.a 1a 1 ,解集為 x|x 2 a綜上：a0 , x|x 2或 xx| 2a 1 ,a 1 ca 1 , x 2a39.在參

27、加某次社會(huì)實(shí)踐的學(xué)生中隨機(jī)選取40名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，這 40名學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成 6組：第一組，成績(jī)大于等于40分且小于50 分；第二組，成績(jī)大于等于50分且小于60分；L L第六組，成績(jī)大于等于90分且小于等于100 分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.在選取的40名學(xué)生中.(I )求a的值及成績(jī)?cè)趨^(qū)間80,90)內(nèi)的學(xué)生人數(shù).(n)從成績(jī)小于 60分的學(xué)生中隨機(jī)選 2名學(xué)生，求最多有1名學(xué)生成績(jī)?cè)趨^(qū)間50,60)內(nèi)的概率.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) a 1 0.3 0.15 0.1 0.05 0.050.035 .(n) 40,50)有

28、0.005 10 40 2 人,59,60)有 0.01 10 40 4 人,兩名學(xué)生都在50,60)概率為:40.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 3(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(D)若數(shù)列bn滿足 b1 1, bn 3bn1 an(nW2).證明：數(shù)列3號(hào)為等差數(shù)列.(ii)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) an SnSn 1(3n 1)(3n 1 1)即 bn 3bn 12 3n 1bn3n 1bnbn 12尹一 ，上為首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. 3(n) Tn2(n 1) 2n 1 , .bn (2n1) 31 .Tn1 33 3 L (2n 1) 3n 13Tn

29、123 3 32 L(2n 1) 3n 2Tn1 2(3 32L 3n 1) (2n 1) 3nTn (n1) 3n 1, nN*41.某大學(xué)調(diào)研學(xué)生在A, B兩家餐廳用餐的滿意度,從在 AB兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：0,10),10,20),20,30) , 30,40) , 40,50),50,60),得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:A餐廳分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)0,10)210,20)320,30)530,40)1540,50)4

30、050,60)35定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:分?jǐn)?shù)0,30)30,50)50,60滿意度指數(shù)012(I)在抽樣的100人中，求對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為 0的人數(shù).A餐廳(n)從該校在 a, B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì) B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率.(出)如果從 A, B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說(shuō)明理由.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) P (0.003 0.005 0.012) 10 0.2 ,N 100 0.2 20 人.(n)記A指數(shù)比B高為事件C ,A評(píng)價(jià)指數(shù)為1為事件A1,為2為事件 A,B評(píng)價(jià)指

31、數(shù)數(shù)為0為事件B ,為1為事件Bi .P(A) (0.02 0.02) 10 0.4 ,PA)0.4,P(B。)2 3 5 0.1100P(Bi)40 151000.55,P(C)P(ABcA2B0A2B1),P(C)0.4 0.10.4 0.10.4 0.55 0.3 .(m)0.20.40.40.4 1.2 ,B :Y012P0.10.550.35E(X) 0 0.2 1 0.4 2E(Y) 0 0.1 0.55 1 2 0.35 1.25EX EY.42 .設(shè) mR ,不等式mx2(3m 1)x 2(m 1)。的解集記為集合 P.(I)若P x| 1 x 2(H)當(dāng)m 0時(shí)，求集合(ID

32、)若x| 3x 2 P,求m的取值范圍.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) (3m1)x2(m 1) 0的兩根,x 1代入得m(3 m1)2(m 1)(n)(x 2) mx(m1)0,。時(shí),212時(shí),1,2；2時(shí),1,2時(shí),1,綜上0m 1,72, x 2m 1,xm(m)3,2)時(shí),2 mx(3m0時(shí),m 12,x -,1)x 2(m 1)。恒成立,x 2 0, P x|x 2 合題,0時(shí)，由(I)得0 mw 1合題,m 1P x|- mm 11此時(shí)< 3 ,解得 w m 0 ,m4綜上，m -,1 .4四、附加題43.已知數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)歹U.(I )證明：當(dāng)q 1 時(shí)

33、，an是遞減數(shù)列.(n)若對(duì)任意*N ,都有akak 1成等差數(shù)列，求q的值.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I)ann n 1an 1anq q(q 1),當(dāng)0 q 1時(shí)：有q0, q 10, an 1an0 ,an為遞減數(shù)列.(n)ak,ak1成等差數(shù)列,k 1/ k 1 2q (qk 12q (2q1)0,2 2q q解得：q44.從某校高一年級(jí)隨機(jī)抽取 n名學(xué)生，獲得了他們?nèi)掌骄邥r(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù), 整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表：組號(hào)分組頻數(shù)頻率15,6)20.0426,7)0.2037,8)a48,9)b59,10)0.16頻率睡眠時(shí)間(I )求n的值.(n)若a 10,補(bǔ)全表中數(shù)

34、據(jù)，并繪制頻率分布直方圖.(出)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，若上述數(shù)據(jù)的平均值為7.84,求a , b的值，并由此估計(jì)該校高一學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的概率.【答案】見(jiàn)解析2【解析】(I) n 50.0.04(n)組號(hào)分組頻數(shù)頻率15,6)20.0426,7)100.2037,8)100.2048,9)200.4059,10)80.161 _"八，12 5.5+10 6.5+a 7.5 b8.5 89.5 784(出)502 10ab 9 50a 15b 1515 85023500.46頻率 n>45.已知關(guān)于x的次方程x22ax b2 0 ,其中

35、a , b R .（I ）若a隨機(jī)選自集合0,1,2,3,4b隨機(jī)選自集合O,1,2,3 ,求方程有實(shí)根的概率.（n）若a隨機(jī)選自區(qū)間0,4,b隨機(jī)選自區(qū)間0,3,求方程有實(shí)根的概率.【答案】見(jiàn)解析【解析】（I ）可能發(fā)生有20個(gè),有14個(gè)符合題意,14 P202(2a)2此時(shí)符合題意.(n) a 0,4 , b 0,3,.區(qū)域 Q= (a b) | 0< a< 4,0 <面積Q=3 4 12,事件A為有實(shí)根,(ab) | 0< a w4,0 < b< 3,a> b ,51521212，"P(A)46.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某校學(xué)生上學(xué)路程所需要時(shí)間全部介

36、于0與50之間（單位：分鐘）.現(xiàn)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，按上學(xué)所學(xué)時(shí)間分組如下：第1組（0,10,第2組（10,20,第3組（20,30, 第4組（30,40,第5組（40,50,得打如圖所示的頻率分布直方圖.A頻率/組距0.0350.03a0.010.005010 20 30 40 50 時(shí)間(分鐘)(I)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求 a的值.(n)若從第3, 4, 5組中用分成抽樣的方法抽取 6人參與交通安全問(wèn)卷調(diào)查，應(yīng)從這三組中各抽取幾人？(出)在(n)的條件下，若從這 6人中隨機(jī)抽取2人參加交通安全宣傳活動(dòng)，求第 4組至少 有1人被抽中的概率.【答案】見(jiàn)解析【解析】(I) (0.005 0.0

37、1 a 0.03 0.035) 10 1,a 0.02 .(n)第3組人數(shù)為100 0.3 30人，第4組人數(shù)為0.2 100 20人，第5組人數(shù)為0.1 100 10人，比例為3:2:1 ,第3組，4組，5組各抽3, 2 , 1人.(出)記3組人為A , A2, A3,4組人為B1 , B2,5組人為C1 ,共有c8 15種，符合有：(AB1) (AB2) (A2B) (A2B2) (A3B1) (A3B2) (B1B2) (B1,C1) (B2,G) 9 種,47 一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的小球，球的編號(hào)分別為1, 2, 3, 4, 5, 6.(I)若從袋中每次隨機(jī)抽取 1個(gè)球，有

38、放回的抽取 2次，求取出的兩個(gè)球編號(hào)之和為6的概率.(n)若從袋中每次隨機(jī)抽取2個(gè)球，有放回的抽取 3次，求恰有2次抽到6號(hào)球的概率.(ID)若一次從袋中隨機(jī)抽取3個(gè)球，記球的最大編號(hào)為 X ,求隨機(jī)變量 X的分布列.(IV)若從袋中每次隨機(jī)抽取1個(gè)球,有放回的抽取 3次，記球的最大編號(hào)為 X ,求隨機(jī)變量【答案】見(jiàn)解析【解析】(I )共有366種,和為6的共5種,P 36(n) PC5C1-為抽 32個(gè)球,有6的概率,2 2 C2P2(1 P)132(出)可取3,P(x3)c3CP(x4)dc6320P(x5)CC3620P(x6)C3C3P(XP(XP(XP(X120320P(X2)3)4

39、)5)1)310c3c3c3C21216c3C3c3c31921637216 '612161P(X 6)6C39121648.在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中P為第i題的難度,R為答對(duì)該題的人數(shù)，N為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)，現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共 5道客觀題，測(cè)X123456p1719P 376191216216216216216216試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示:題號(hào)12345考前預(yù)彳t難度P0.90.80.70.60.4測(cè)試后，隨機(jī)抽取了 20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下:題號(hào)12345實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)16161444(I )根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù).(n)從抽樣的20名學(xué)生中隨機(jī)抽取 2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為 X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(出)試題的預(yù)估難度和實(shí)測(cè)難度之間會(huì)有偏差，設(shè)p為第i題的實(shí)測(cè)難度，請(qǐng)用 P和p設(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，并制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷本次測(cè)試對(duì)難度的預(yù)估是否合理.【答案】見(jiàn)解析R54【解析】(I)p5 N- 20 0.2,(D)P(XP(XP(X240 0.248人.0)1)2)12191219C1c1C16 C4C2C20c4c20953295953295，1232338EX01 2199595951212(出)定義 S (P