相似三角形培優(yōu)訓練[含答案解析]

1、相似三角形分類提高訓練一、相似三角形中的動點問題L 如圖，在 RtZkABC 中，NACB=90° , AC=3, BC=4,過點 B 作射線 BB1 AC.動 點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C 沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點D作DHJ_AB于H,過點E作 EFLAC交射線BB1于F, G是EF中點，連接DG.設(shè)點D運動的時間為t秒.(1)當t為何值時，AD二AB,并求出此時DE的長度；(2)當aDEG與AACB相似時，求t的值.2 .如圖，在aABC中，/ABC=90° , AB=6m, BC=8m,動點P以2m/s的速

2、度從A點出發(fā)，沿AC向點C 移動.同時，動點Q以lm/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動.當其中有一點到達終點時，它們都 停止移動.設(shè)移動的時間為1秒.(1)當t二時，求CPQ的面積；求CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時間t (秒)的函數(shù)解析式；(2)在P, Q移動的過程中，當aCPQ為等腰三角形時，求出t的值.3 .如圖 1,在 RtZkABC 中，ACB=90° , AC=6, BC=8,點 D 在邊 AB 上運動，DE 平分/CDB 交邊 BC 于點E, EM1BD,垂足為M, ENXCD,垂足為N.(1)當 AD=CD 時，求證：DEAC；(2)探究：AD為何值時，BME與相

3、似？4 .如圖所示，在ABC中，BA=BC=20cm, AC=30cm,點P從A點出發(fā)，沿著AB 以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度 向A點運動，當P點到達B點時，Q點隨之停止運動.設(shè)運動的時間為x.當x為何值時,PQ/7BC?(2) APQ與ACQB能否相似若能，求出AP的長；若不能說明理由.5 .如圖，在短形ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q 沿DA邊從點D開始向點A以lcm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t （s）表示移動的時間（0< t<6）o（1）當t為何值時，Q

4、AP為等腰直角三角形？（2）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與AABC相似二、構(gòu)造相似輔助線一雙垂直模型0一一6 .在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2, 1）,正比例函數(shù)y二kx的圖象與 , 線段0A的夾角是45。，求這個正比例函數(shù)的表達式.Jd P7 .在ABC中，AB=24，AC=4, BO2,以AB為邊在C點的異側(cè)作AABD,使4ABD為等腰直角三角形, 求線段CD的長.8 .在ABC中，AOBC, NACB二90° ,點M是AC上的一點，點N是BC上的一點，沿著直線MN折疊，使 得點C恰好落在邊AB上的P點.求證：MC： NC=AP： PB.c9 .如圖，在

5、直角坐標系中，矩形ABCO的邊0A在x軸上，邊0C在y軸上，點B的坐標為（1,3）,將矩形沿對角線AC密折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E.那么D點的坐標為（A.r_4 12"7'丁/B.C.D.求證:DE CD210.已知，如圖，直線y=-2x + 2與坐標軸交于A、B兩點.以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD, 使得矩形的兩邊之比為1 ： 2。求C、D兩點的坐標。三、構(gòu)造相似輔助線一A、X字型1L如圖：ZXABC中，D是AB上一點，AD=AC, BC邊上的中線AE交CD于F。afCF求1正：=AC DF12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且AC平

6、分NDAB。13.在梯形 ABCD 中，ABCD, AB=b, CD=a, E 為 AD 邊上的任意一點，EFAB,且 EF 交BC于點F,某同學在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實：當DEAE二 1 時，EF=;嵯=2時,EF=a + 2b當場 = 3時，EF=a + 3b.當爺時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并紿出證明.A F DG B14 .已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BE=EF=FC。 求 BN： NQ： QM.15 .證明：（1）重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的3 .（注：重心是三角形三條中線的交點）

7、（2）角平分線定理：三角形一個角的 平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例.四、相似類定值問題16 .如圖，在等邊aABC中，分別是邊AB, AC的中點，D為MN上任意一點,113BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F. 求證： + CE BF AB17 .已知：如圖，梯形ABCD中，二-圖，在AABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH AB CD SO的四個頂點分別在4ABC上。22.如圖，已知ABC中，AD, BF分別為BC, AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于 E,交BF于G,交AC延長線于H。求證：DE2=EG* EHA23.已知如圖，P為平行四邊形AB

8、CD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC、 CD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F, G. H.PE求證：PHPF PG24.已知，如圖，銳角ABC中，AD_LBC于D, H為垂心（三角形三條高線的交點）；在AD上有一點P, 且NBPC為直角.求證：PD2=AD - DH o六、相似之等積式類型綜合25.已知如圖，CD是RtZABC斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長線交CA于F。 求證：ACCF=BC DF29.如圖，BD、CE分別是AABC的兩邊上的高，過D作DG_LBC于G,分別交CE及BA的延長線于F、Ho 求證： DG?=BGCG； (2) BG - CG=GF G

9、H圖1圖2-七、相似基本模型應用 30./kABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，NA=ND=90° , ZM）EF的頂點E位于邊BC的中點上.（1）如圖1,設(shè)DE與AB交于點M, EF與AC交于點N,求證：BEMs/iCNE；（2）如圖2,將4DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M, EF與AC交于點N,于是，除（1） 中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論.3L如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR 分別交AC、CD于點P、Q.（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求 BP： PQ： QR.A

10、口32.如圖，在ABC 中，AD_LBC 于 D, DE_LAB 于 E, DFLAC 于 F。求證：=AF AB答案：1.答案：解：(1) V ZACB=90° , AC=3, BC=4 ，AB 二 5XVAD=AB, AD=5 tAt=l,此時 CE=3,，DE=3+3-5=1(2)3如圖當點D在點E左側(cè)，即：OWtW時，DE=3t+3-5t=3-2t.2若ADEG與ACB相似，有兩種情況：DEGs/XACB,3-2 2即：34DEGs/BCA,.DE EG 此時= AC CB3求得：t二二； 4DE EG此時=11 6 ；3如圖，當點D在點E右側(cè)，即：t>=時，DE=5t

11、-(3t+3)=2t-3.2若4DEG與aACB相似，有兩種情況：DEGs/LACB,%-3 2即：=34DEGs/iBCA,TIDE EG此時=AC CB9 求得：t=；4DE EG此時=BC CA求得：t£63 . 1 9 . 17 綜上，t的值為一或一或一或.4 6 463.答案：解：(1)證明：VAD=CD，ZA=ZACDODE平分/CDB交邊BC于點E，NCDE 二 NBDEV ZCDB為ACDB的一個外角，NCDB= NA+NACD=2NACD? ZCDB= ZCDE+ ZBDE=2 ZCDE，ZACD=ZCDEA DE/7 AC(2)NNCE=NMBEVEM1BD, E

12、N_LCD,/.BMEACNE,如圖A D M BV ZNCE=ZMBE，BD 二 CD又,/ NNCE+NACD=NMBE+NA=900NACD二 NA，AD二CD1AAD=BD=-AB2;在 RtABC 中，ZACB=90° , AC=6, BC=8，AB二10，AD 二 5 NNCE 二 NMEBVEM1BD, ENJ_CD,.-.BMEAENC,如圖? NNCE二 NMEBAEM/7CDA CD ± AB:在 RtZABC 中，ZACB=90° , AC=6, BC=8AAB=10VZA=ZA. ZADC-ZACBAAACDAABC/O _刃c.茄一商上。

13、2 62 18 Au =AB 10 5綜上：AD=5或二時，ZiBME與CNE相似.50<x<54 .答案：解（1）由題意：AP=4x, CQ=3x, AQ=30-3x, AP _AQ 4 _ 30-3a當 PQBC 時，43 5C ,即：203010 x 解得： 3 40（2）能，AP二 9 cm 或 AP=20cmAP _AQ 4n_30-3xAPQsacbq,則匿 CQ ,即 20 3K解得：匯=5或x = -10 （舍）此時：AP二20cm絲=絲 4 _ 30-3aAPQs/cqb,則 CQ CB ,即分 2010 x 二解得： 9 （符合題意）40此時：AP= 9 cm

14、40故AP=9 cm或20cm時，/kAPQ與ACQB能相似.5 .答案：解：設(shè)運動時間為 t,則 DQ=t, AQ=6-1, AP=2t, BP=12-2t.（1）若aClAP為等腰直角三角形，則AQ二AP,即：6-t=2t, t=2 （符合題意） ，t=2時，ZUIAP為等腰直角三角形.（2） NB二NQAP二90°AQ = AP 6£_ 當QAPsabc 時，AB BC,即：126,6 t = 解得： 5 （符合題意）；AP _ AQ 2£ _6T當PAQsAABC 時，/B BC ,即：126 ,解得：£二3 （符合題意）.6t =當 5或

15、63; = 3時，以點Q、A、P為頂點的三角形與aABC相似.6.答案：解：分兩種情況 第一種情況，圖象經(jīng)過第一、三象限過點B作BDLAC過點A作ABLOA,交待求直線于點B,過點A作平行于y軸的直線交x軸于點C, 則由上可知：NOAB=.0cL=90°由雙垂直模型知：OCAs/ADBPC _ AC _ OAVA (2, 1), 403=45°，0C=2, AC=h AO=ABAAD=0C=2, BD=AC=1，D點坐標為(2, 3)B點坐標為(h 3)此時正比例函數(shù)表達式為：y=3x第二種情況，圖象經(jīng)過第二、四象限過點B作BDLAC過點A作ABJ_OA,交待求直線于點B,

16、過點A作平行于x軸的直線交y軸于點C, 則由上可知：N0U420 = 90° 由雙垂直模型知：OCAs2XADBPC _ AC _ OAVA (2, 1), 403=45。AOC=h AC=2, AO=AB .AD=OC=1, BD=AC=2 D點坐標為(3, 1) ，B點坐標為(3, - 1)1此時正比例函數(shù)表達式為：y= 3X7.答案:劉圄j當NDa3=90“ 3f：.連接過點。作，N邊上的高線交C4的延長線于點心Y AB=2#, .404, BC=2./. ACZBC:=AB2, ACB= 90z /又DEICE,為等援直角三角形AD=.4B - &C= 90 : ?-

17、皿d+N2D= 904atc-neid=90 7 小/. ZR4C=ZEDA/. ElD-ACS以AE=BC=2, DE=AC=4v.*.在 Rl&DEC 中，CD=ED【-CE，=2屈,連奏CD,過點D作SC邊上的高愛。E交C8的江長發(fā)于點RV .45=275. JC=4. BCdA dC,-BCW加，一dCB=90' 又: DF_CF.4/友）為菩提直角三兔形，:.BD=AB. C5-ZF-90?.心BClFBD- 90s . ZHJC-Z-<SC-90?:.3n FBD.:.LFDBLCBA - DF=BOL BHPENE PN文I圖，當LDb=90，時：連接 8過

18、點。作3c邊上的高線QP 交C3的 延長線于點P,過點.4作直線PD邊上的高發(fā)AQ. 交pd于點a/ AB=25月C=4, BC3/. AC2BC2AB:, ZJC5= 905 “又,: DE-CE, XBQ為等猥直隹三角形-/. AD=BD, NP=NQ= 90° QDA+ylQAD= 90c , NQD什N8D尸=90。，/. NeD=43DP，/. QAD03PDB"：.AQ=DP. DQBPa8 .答案：證明：方法一:連接PC,過點P作PDJ_AC于D,則PDBC 根據(jù)折疊可知MNLCPVZ2+ZPCN=90° , NPCN+NCNM二90"Z2

19、=ZCNM/ ZCDP=ZNCM=90°AAPDCMCNAMC： CN=PD： DC二PD 二 DA.MC： CN=DA： DCVPD/BCADA： DC=PA： PBAMC： CN=PA： PB方法二：如圖,過M作MD1AB于D,過N作NE1AB于E由雙垂直模型，可以推知PMDsNPE, 511 ,PS NE PN,. MD + PD PM 根據(jù)等比性質(zhì)可知=，而皿=DA, NE=EB, PM=CM, PN=CN, AMC： CN=PA： PB9 .答案：A解題思路:過點D作AB的平行線交BC的延長線于點M,交x軸于點N,則NM二NDNA二90° , 由于折疊，可以得到A

20、BCgZkADC,又由B (1, 3) ，BC=DC=1, AB=ADGN二3, NCDA=NB二90。N1+N2=90°,? NDNA=90°N3+N2=900Z1=Z3ADMCAAND,CM DM CD 1 .方廠立廠近二百氏設(shè) CM=x,則 DN=3x,設(shè)=l+x, DM=31+a ，3x+ =3 34 x =5過點C作x軸的平行線交y軸于G,過點D作y軸的平行線交x軸于F,交GC的延長線于E。:直線y=-2x+2與坐標軸交于A、B兩點A A (1,0), B (0,2).0A=h OB=2, AB二右VAB： BC=1:2.BC=AD=2 出NABO-NCBG=90

21、° , NABO+NBAO=90"AZCBG-ZBAO又 ZCGB=ZB0A=90°AAOABAGBC.OA _GB"OBGC2，GB=2, GC=4，G0=4AC (4,4)同理可得ADFs/XBAO,得OA _DF萬一萬一 5，DF=2,AF=4A0F=5.-.D (5,2)IL答案：證明：（方法一）如圖M延長AE到M使得EWAE,連接CMBE=CE, ZAEB=ZMEC ABEAACEM，CM二AB, Z1=ZB.AB#CM.ZM=ZMAD, NMCF二NADF.MCFAADFCFVCM=ABt AD二ACCF _ CM _AB市二而一萬 (方法二

22、)BEC 過D作DGBC交AE于G則ABEs/LADG, ACEFADGFAB _ BE CF _ CE Tddg 而一而 ，VAD=ACt BE=CECF BE AB 而一而一12.答案：證明:過點D作DFAB交AC的延長線于點F,則N2=N3；AC 平分NDABAZ1=Z2AZ1=Z3，AD 二 DFVZDEF=ZBEA, Z2=Z3BEAs/DEFBE _ AB:.而一京VAD-DFBE _ AB：,deaBVAC為AB、AD的比例中項 AC2 = AB-AD AD _ AC 即元一拓 又:/1=/2 AAACDAABCAD _ AC _ CD 萬一方一而BC2 AB-AC AB:.百一

23、 ACS一五BC? _ BE：.后一石過點E作PQBC分別交BA延長線和DC于點P和點Q VAB/7CD, PQBC四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形DO , .PB = EF=CQ, * =kAP AE又AB=b, CD=a，AP = PB-AB=EF-b, DQ=DC-QC=a-EFa - EF：.=kEF-ba + bkk+1A14 .答案：解:連接MF是AC的中點,EF=FC.-.MF/7AE MF=- AE.-.ABENABFMABN： BM=BE： BF=NE： MFVBE=EFABN： BM=NE： MF=1：2.BN： 2NM=L1 設(shè) NE=x,則 MF=2x, AE

24、=4x AAN=3x VMF/AE A ANAQAMFQNQ： QM=AN： MF=3：2VBN：NM=l：h NQ： QM=3：2.BN： NQ： QM=5：3：215.答案：證明：（1）圖1如圖1, AD、BE為ABC的中線，且AD、BE交于點0過點C作CFBE,交AD的延長線于點F：CFBE且E為AC中點AZAEO=ZACF, ZOBD=ZFCD, AC=2AEVZEAO=ZCAFAAAEOAACF刃。_乩？ _ 1：,CFlc2OD 為 BC 的中點,ZODB=ZFDCAABODACFDABO=CF£。_ 1：.Jo = 2BO _2：.BE = 3同理，可證另外兩條中線2二

25、三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的3F(2)圖 2如圖2, AD為/(：的角平分線過點C作AB的平行線CE交AD的延長線于E則 NBAD 二 NETAD為ABC的角平分線AZBAD=ZCADZE=ZCADAAC=CEVCE/7AB.-.BADACEDAB：,cecBAB _BD：.ACCD16.答案：證明：1 工如圖,作 DPAB, DQZ/AC則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且DPQ是等邊三角形 ，BP+CQ=MN, DP=DQ=PQVM. N分別是邊AB, AC的中點AMN= 2BC = PQVDP/7AB, DQ/7AC.-.CDPACFB, ABDQABECD

26、P _ C尸 DQ _ BQ，而一前,CEJCDP DQ_CP BQ _BC+PQ _3+ BC 21 JDP = DQ = PQ= 2bC=2 AB1113A 2 AB (CE =2-一十-+= CE BF AB17 .答案：證明：VEF/AB, AB/DC /.EF/DC.-.AOEAACD, ADOEADBAEO AE EQ _DE.CDADt 'ABADEO EO AE DE A ：.cn Tbad 萬一十二 J AB CD EO18 .答案:證明：EFCD, EH/AB AAFE = AADC ZCEH=ZA ，I二口，=/.AFEAADC, ACEHACABAE _

27、3;F CE _ EH ACCD 元一次 9VEF=EHEHEFEFEFCEAEA ABCDABCDACAC111+二 J ABCDEF19.答案:證明：VEFZ/AC, DE/BCN3F£ = /5C4 /血二44 犯 ，4 二" ZB = ZB ，/.BFEABCA, AAEDAABCBE DE = AE.布而，BCABEF DE BE AE AEBE A ：.AC 而一9萬一 AB 一 ,VEF=DE=a1 1 1+二J AC BC a20.答案：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ADBC, ，NDRP二NS, NRDB二NDBS.-.DRPABSPPR _ DPJ

28、語一段同理由ABCD可證PTDsZpqbPT DP.而.而PR _PT.詬一瓦.PQPR = PSPT （2）證明：成立，理由如下：在平行四邊形ABCD中，ADBC, AZPRD=ZS, ZRDP=ZDBS .-.DRPABSPPRDP函一定同理由AB/CD可證PTDs4pqbPT JF.而.而PR _ PT.萬一質(zhì). FFR = PK、PT2L答案：證明：VAB=AC, AD 是中線，.AD±BC,BP=CPAZ1=Z2又,? ZABC-ZACB.Z3=Z4VCFZ/AB.Z3=ZF,Z4=ZFXVZEPC=ZCPF/.EPCACPF竺二絲A pc-pF BP2=PE - PF 即

29、證所求22.答案：證明：VDEXABZEAD+EDA =90。,/ ZEAD+DBA =90°ZEDA=DBAABED=ADEA.-.ADEADBEAE _DE方一麗 VBF±ACaZjVGF+ZjV=90o：4BGE+乙EBG = 90° 且4BGE=/HGF ZEBG=ZH 7 ABED=ADEA.-.BEGAHEABE _ EG.麗一下,AE-BE =EG EH.DE2=EG&bulLEHG D C23.答案：證明： 丁四邊形ABCD為平行四邊形 ，ABCD, AD/ZBC，N1=N2, ZG=ZH, Z5=Z6:PAHs/XPCGPH _ PA &

30、#39;pg=7c 又："/.APEACPFPE PA pf=7cPE _ PH而=而 24 .答案：證明：如圖，連接BH交AC于點E,VH為垂心A BE ± AC.ZEBC-ZBCA=90°VAD1BC 于 DNDAC+NBCA=90°AZEBC=ZDAC又 NBDH=NADC=9(TAABDHAADCBD _ AD:口R X, BD- DC = AD- DH v ZBPC 為直角，AD±BC/- PD2 = BD&middot；DCPD2 = AD&middot；DH25 .答案：證明：:CD是RtZABC斜邊AB上的高，E

31、為BC的中點ACE=EB=DEAZB=ZBDE=ZFDA; NB+NCAB=90° , NACD+NCAB=90°ZB=ZACDZFDA=ZACDVZF=ZF/.FDAAFCDFD _ AD ,-,FC = CDNADC二 NCDB二90。，NB= NACDAAACDACBDAD AC,-.CD = BCFD _ AC ,-.FC = BC26.答案：證明：(1) V ZACB=ZADC=90q .-.ZA+ZACD=90°ZBCM4-ZACD=90°ZA= ZBCM 同理可得：ZMDH=ZMBD ? NCMB= NCDB+ ZMBD=900 + ZMB

32、D ZADE= ZADC+ ZMDH=90° +NMDH .ZADE = ZCMB .AEDACBMAE AD(2)由上問可知：CB CM t即超CM=4DCB故只需證明/C.CtLWO.CB即可VZA=ZA, ZACD=ZABCAAACDAABCAD_CD,ACJCt 即兌C-CfeNO-BC AECM= AC CD FD _FB27 .答案：(1)將結(jié)論寫成比例的形式，F(xiàn)C FD ,可以考慮證明FDBsFCD (已經(jīng)有一個公共角 ZF)RtAACD中，E是AC的中點ADE=AEZA=ZADEVZADE-ZFDBZA=ZFDB 而 NA+NACD = 90° NFCD+NACD = 90°ZA=ZFCD ，NFCD 二 NFDB 而 NF二NF .-.FBDAFDCFD _FB:.FEP =