2017最新冪函數(shù)習題精選精講

1、習題精選精講冪函數(shù)函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學學習的始終，而冪函數(shù)是其中的一部分內(nèi)容，這部分內(nèi)容雖然少而簡單，卻包含了一些重要的數(shù)學思想下面剖析幾例，以拓展同學們的思維.一、分類討論的思想例 1 1 已知函數(shù)y x2n 3(n Z)的圖象與兩坐標軸都無公共點，且其圖象關(guān)于 y y 軸對稱，求 n n 的值，并畫出函數(shù)的圖象.2 2 2解：因為圖象與 y y 軸無公共點，故n 2n 30，又圖象關(guān)于y軸對稱，則n 2n 3為偶數(shù)，由n 2n 30，得1n3，又因為nZ，所以n0,1,2,3當n0時，n22n33不是偶數(shù)；當n1時，n22n34為偶數(shù)；當n1時，n22n30為偶數(shù)；當

2、n2時，n22n33不是偶數(shù)；當n3時，n22n30為偶數(shù)；所以n n 為1，1 1 或 3 3.此時, 冪函數(shù)的解析為yx0(x 0)或y x4，其圖象如圖1所示習題精選精講習題精選精講5二、數(shù)形結(jié)合的思想_ _ 1 1例 2 2 已知點(、2,)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點2,，在冪函數(shù)g(x)的圖象上.4問當 x x 為何值時有：(1)f (x) g(x);(2)f (x) g(x);(3)f (x) g(x).分析：由冪函數(shù)的定義，先求出f (x)與g(x)的解析式，再利用圖象判斷即可.解：設f(x) xm，則由題意，得2 C.2)m,二m 2，即f(x) x2再令g(x) xn，則由

3、題意，得1n4(2)，二n22，即g(x) x (x 0).在同一坐標系中作出f (x)與g(x)的圖象，如圖 2 2 所示由圖象可知：(1 1)當x 1或x 1時，f (x) g(x);(2 2)當x 1時，f(x) g(x);(3 3) 當1 x 1且x 0時，f (x) g(x).小結(jié): 數(shù)形結(jié)合在討論不等式時有著重要的應用，注意本題中g(shù)(x)的隱含條件x 0三、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想例 3 3函數(shù)y(mx24x1m2)4(m2mx1)的定義域是全體實數(shù)，則實數(shù)m m 的取值范圍是().A.(苗1，)B.(5 1,oo )C.(2,2)D.(1 -515)解析:要使函數(shù)y(mx214x m 2)

4、4(m22mx 1)的定義域是全體實數(shù)，可轉(zhuǎn)化為mx 4x m 2 0對一切實數(shù)都成立,即m 0且424m(m 2)0.解得m . 5 1.故選(E)冪函數(shù)中的三類討論題所謂分類討論，實質(zhì)上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.分類討論時應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標準，不重、不漏的分類討論在冪函數(shù)中，分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn)，可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和 性質(zhì)，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類討論，使得結(jié)果得以實現(xiàn).類型一：求參數(shù)的取值范圍例 1 1 已知函數(shù)f (x) x2m m 3(m Z)為偶函數(shù)，且f(3) f(5)，求 m m 的值，并確定f (

5、x)的解析式.2分析：函數(shù)f(x) x2m m 3(m Z)為偶函數(shù)，已限定了論便可求得 m m 的值，從而確定f (x)的解析式.宀2小22m m 3必為偶數(shù)，且m Z，f (3)f(5)，只要根據(jù)條件分類討解：Tf(x)是偶函數(shù),22m m 3應為偶數(shù).又f(3)習題精選精講52m m3 2m2m3 2*m33f (5)，即35，整理，得一12m2m 3 0，習題精選精講又：m Z，二m 0或 1 1 當 m=0m=0 時，2m2m 3 3為奇數(shù)(舍去)；當m 1時，2m2m 3 2為偶數(shù).2故 m m 的值為 1 1,f (x) x.評注：利用分類討論思想解題時，要充分挖掘已知條件中的每

6、一個信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅實的基礎.類型二：求解存在性問題例 2 2 已知函數(shù)f(x) x2，設函數(shù)g(x) qff(x) (2q 1)f (x) 1，問是否存在實數(shù)q(q 0)，使得g(x)在區(qū)間 減函數(shù)，且在區(qū)間(4,0)上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的 取值區(qū)間.解：丁f(x) x2，則g(x) qx4(2q 1)x21.假設存在實數(shù)q(q 0)，使得g(x)滿足題設條件，4242設X1X2，則g(N)g(X2)q% (2q 1)人qx

7、?(2q 1風2 2(x,X2)(x2X1)q(X1X2)(2q 1).若X1,X28，4，易知X1X20，X2X10，要使g(x)在，4上是減函數(shù)，則應有q(x,X2)(2q1)立.2 2：X14，X232q，即q4 4.3上述解法意識到冪函數(shù)y x （0）在第一象限的遞增性，于是巧妙運用轉(zhuǎn)化思想解題，從而避免了分類討論，使同學們的思維又一次得到深化與發(fā)展.解題點悟：通過以上探究我們對冪函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性及圖象又有了較深刻的認識,同時對于形如f （x） g（x）（習題精選精講(1(1 )當1,11-,L-,L，解法同例 1 135(2(2 )當1,3,-,5丄,L,L ，解法同例 2 235(3(3 )當111L,，解法同例 3 3246(4(4 )當2,4,6丄，解法同例 4 4.編者點評：本文通過對一典型例題的多種變換，使我們對冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象都有了較深刻的認