2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明階段通關(guān)訓(xùn)練新人教A版選修2-2

1、第二章推理與證明階段通關(guān)訓(xùn)練(60 分鐘 100 分)一、選擇題(每小題 5 分,共 30 分)1.下面幾種推理是合情推理的是()由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形，等腰三角形，等邊三角形內(nèi)角和是 180歸納出所有 三角形的內(nèi)角和都是 180 ;某次考試張軍成績是 100 分,由此推出全班同學(xué)成績都是 100 分；三角形內(nèi) 角和是 180 ,四邊形內(nèi)角和是 360 ,五邊形內(nèi)角和是 540 ,由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n-2) 180 .A.B.C. D.【解析】選 C合情推理包括歸納推理，類比推理，是類比推理，是歸納推理，是歸納推理2. (2017 綿陽高二檢測)下列關(guān)系式中一定成立的

2、是()A. 若 a0,b0,貝 U a4+b42丿 6cz + b IC. 若 |a|1,|b|1,則 1 +a引 1D. a2+b2+c2 ab+bc+caa + b 【解析】選 C.對(duì)于選項(xiàng) C,1+ Qb|1? |a+b|1+ab| ? (a+b)20,a + b而 |a|1,|b|0 成立，所以】+ 0,貝 N + +的值()A. 一定是正數(shù)B定是負(fù)數(shù)C. 可能是零D. 正、負(fù)不能確定【解析】 選 B.因?yàn)?a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0.2 2 2所以 a +b +c +2(ab+bc+ca)=0,1所以 ab+bc+ca=-二(a2+b2+c2)0,1 1 1ab + b

3、e + ca所以譏+川吃o.4. 下列代數(shù)式(其中 k N)能被 9 整除的是()kk-1A.6+6 7B.2+7k+1kC.2(2+7)D.3(2+7 )【解析】選 D.特殊值法：當(dāng) k=1 時(shí)只有 3(2+7k)能被 9 整除.1115. 已知 f(n )= + 口 + 1+ + ?+ +打,貝 y ()1 12 2A. f(n)中共有 n 項(xiàng)，當(dāng) n=2 時(shí),f(2)= F1 1 1一? 1 dB. f(n)中共有(n+1)項(xiàng)，當(dāng) n=2 時(shí),f(2)= - + +11 1設(shè)首項(xiàng)為 a1 0,則 S4=1-Q=15a1,-3 -C. f(n)中共有(n2-n)項(xiàng)，當(dāng) n=2 時(shí),f(2)

4、= - +111D. f(n)中共有(n2-n+1)項(xiàng)，當(dāng) n=2 時(shí),f(2)=2+1+-4 -Ill【解析】選 D.項(xiàng)數(shù)：看分母,分母有 n,n+1,n2,所以項(xiàng)數(shù)為 n2-n+1,f(2)= 6.對(duì)于等式 sin3x=sin2x+sinx,下列說法中正確的是()A. 對(duì)于任意 x R,等式都成立B. 對(duì)于任意 x R,等式都不成立C. 存在無窮多個(gè) x R 使等式成立D. 等式只對(duì)有限個(gè) x R 成立7T【解析】選 C.當(dāng) x=0 時(shí)，等式顯然成立.又 x=kn(k Z)時(shí)等式也恒成立二、填空題(每小題 5 分,共 20 分)均為實(shí)數(shù)),猜想,a=由 2+,3+4+ 】門，可以求出 3=

5、22-1,8=32-1,15=42-1,故在 6+中,a=6,b=a2-1=62-1=35.-22.2233-東莞高二檢測)當(dāng) n=1 時(shí),有(a-b)(a+b)=a -b ,當(dāng) n=2 時(shí),有(a-b)(a +ab+b )=a -b ,當(dāng) n=3 時(shí)，有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,當(dāng) n N 時(shí)，你能得到的結(jié)論是 _ ._【解析】 根據(jù)題意，由于當(dāng) n=1 時(shí)，有(a-b)(a+b)=a2-b2,當(dāng) n=2 時(shí)，有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,當(dāng) n=3 時(shí)，有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,當(dāng) n N 時(shí)，左邊第二個(gè)因式可知為

6、an+an-1b+abn-1+bn,那么對(duì)應(yīng)的表達(dá)式 為(a-b) (an+an-1b+.n-1 . n、n+1 . n+1+ab +b )=a -b .答案：(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1sin2asin4asinSa【補(bǔ)償訓(xùn)練】 已知等式 cosa=八，,COSa COS2a= ,COSa COS2a COS4a八門，,請(qǐng)你寫出一個(gè)具有一般性的等式，使你寫出的等式包含了已知等式(不要求證明),那么這個(gè)等式,而 x=:時(shí)等式不成立.15 若.,若A=6(a,b【解答案:6358.(2017-5 -【解析】該題通過觀察前幾個(gè)特殊式子的特點(diǎn)，通過歸納推理得出

7、一般規(guī)律 ,寫出結(jié)果即可-6 -sin（2na）答案：cos a cos2 a . cos（2n-1a,n N1T _ T T9. 在厶 ABC 中 ,D 為 BC 的中點(diǎn),則顯（+L）,將上述命題類比到四面體 A BCD 中 ,得到一個(gè)類似的命題:_ .【解析】 線段的中點(diǎn)，類比到三角形中為三角形的重心，由此有在四面體 A BCD 中,G BCD 的重心,則AGJAB+AC+ADY1T _ T T T答案：在四面體 A-BCD 中,GBCD 的重心,則10. 在等差數(shù)列an中,若 aio=0,則有等式 ai+a2+an=ai+a2+ai9-n（n19,且 n N）成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，

8、在等比數(shù)列bn中,若 b9=1,則有等式 _ 成立【解析】 在等差數(shù)列中，若 m+n=2p，則 am+an=2ap,卄諭而在等比數(shù)列中，若 m+n=2p,則 aman=.因?yàn)?b9=1,所以 bn+1 bl7-n= =1.又因?yàn)?bn+1b17-n=bn+27-n-1 丿=1,所以有等式 bbbn=b1b2b3b 仃-n,n17,且 n N.答案：b1b2bn=b1b2b3b17-n,n0,y0,用分析法證明：(x +y 丿(x +y 丿.1123【證明】 要證(x2+y2)(x3+y3),只需證(x2+y2)3(x3+y3)2,即證 x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6,

9、即證 3x4y2+3y4x22x3y3.又因?yàn)?x0,y0,所以 x2y20,故只需證 3x +3y 2xy.而 3x +3y x +y 2xy 成立，1123所以(x2+y2)(x3+y3)成立.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知|x|w1,|y|w1,用分析法證明:|x+y| 0,所以(x2-1)(1-y2)w0,不等式得證.13. (13 分)(2017 臨沂高二檢測)已知 a,b,c (0,1),求證：，點(diǎn) P 是雙曲線上任意一-9 -【證明】 假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于即(1-a)b，(1-b)c J ,(1-c)a 同理 0b(1-b) wl ,0c(1-c)所以(1-a)a (1-b)b (1-c)c

10、J ,與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立(1) 求 a2,a3,a4.(2) 猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.【解題指南】由 a1=f(x),an+1=f(an),依次令 n=1,2,3 可求得 a2,a3,a4；觀察 a2,a3,a4的表達(dá)式的構(gòu)成規(guī)律可猜想出an的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)關(guān)鍵是將ak+1變形為與 an相同的形式.【解析】(1)由 a1=f(x),an+1=f(an)得:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于三式相乘得(1-a)a (1-b)b又因?yàn)?0a1,所以 0嚴(yán) +1 a 1=414.(13 分)(2017 夫方甘一 泰安冋一二檢測

11、)已知函數(shù) f(x)= J 十 J(x0),數(shù)列an滿足 ai=f(x),an+i=f(an).-10 -a2=f(a1)=-11 -X猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an=1iX證明：當(dāng) n=1 時(shí),結(jié)論顯然成立；,即 akJ 一X1 +仇+1)/顯然,當(dāng) n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立.X由可得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an=1【能力挑戰(zhàn)題】_ _ 2已知函數(shù) f(x)=(x-a)(x-b)(a,b R,a 1,k N)時(shí)結(jié)論成立-12 -設(shè) X1,X2是 f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),x3是 f(x)的一個(gè)零點(diǎn),且 X3 X1,X3工 X2.證明：存在實(shí)數(shù) X4,使得 X1,X2,X3,X4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求出 X4.【解題指南】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題.(2)通過求導(dǎo)，找出函數(shù) f(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，因?yàn)?f(X)的零點(diǎn)為 a 或 b,所以適當(dāng)對(duì) f(X)零點(diǎn)和極值點(diǎn)排序后，滿足等差數(shù)列，若解出，則 X4存在，否則 X4不存在.【解析】當(dāng) a=1,b=2 時(shí),因?yàn)?f (x)=(x-1)(3x-5),故 f (2)=1,又 f(2)=0,所以 f(x)在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為 y=x-2.(-屮因?yàn)?f (x)=3(x-a),由于 ab,a + 2ba + 2ba + 2b故