上海碩彥教育代數方程教案

1、一、分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程 分式方程的解法： 1 1）直接去分母法解分式方程的思路:1 1、分子分母能因式分解的先因式分解。2 2、找所有分式的最簡公分母。3 3、方程兩邊都乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程4 4、解整式方程。5 5、 驗根（將根代入到最簡公分母，看最簡公分母是否為0 0） 小秘書：別忘記驗根哦！ ！練兵場：411 1、 分式方程1= -去分母后，得到整式方程是 _x -42 -xx2亠2x亠12 2、 方程2- =0=0 的解是_。x +2x_32x- 33、當x=-時，分式丁與 R 的值相

2、等。x亠a 4 - 3a4 4、 如果關于 x x 的方程 - -1-1 有解 x=3x=3，貝 V V a a 的值為_2a 2x T x - a5 5、 解方程注意：分式的分母不能為 練兵場：1 1、下列方程中，是分式方程的有（）21（A A）二1=0（B B） x-x-x -1218（D D）- -xX）(C)(C)3: (x 1) = 5: (1 -x)2 2、 F F 列方程中,（A）1=8x3 3、當 x x0 0。x 1 x -23_x3不是分式方程的是（1x時，分式方程4 4、分式方程 J J - -x +x=2有意義,p-x3一仁0=0有意乂。則 x x 的取值范圍是(D)(

3、2x 1):3 =5: x亠.丄x2x x 1=26 6、解關于1 1x x 的方程 -x a1Z(a b =0,ab = 0). x - a - b b小秘書：當分母相鄰兩個的差相等，分子可化為相同時，先部分通分會使計算更簡便。1 1、解方程:1 _ 1 11x 1 x 2 x 3 x 411112)2)換兀法解分式方程解題思路：用換元法將原方程變形，然后去分母，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式 子，再求根驗根。練習：2421 1、解方程X1 2 3+1 + =4=4 時，設X2+1 = y，則方程可轉化為 _x +122x22 6x 62x 1 x 1一12153、 用換兀法

4、解方程時，設xy,可將方程6(x2)5x -38 =0轉化為xxx73x 94 4、 用換元法解方程20，下面幾種解法中，正確的是()。x -3772(A)(A)設y，則原方程變?yōu)閥 2y一3 =0 x 3(B)(B)設二y,則原方程變?yōu)?y22y49=0 x 3(C)(C)設-=y,則原方程變?yōu)?y22y一1 =07、解方程x21=X。x x3)3)與增根相關的問題 分式方程的增根同時滿足兩個條件：(1 1)是由分式方程化為整式方程的根。(2 2 )使最簡公分母為 0 0。 小秘書：由增根求方程中參數的思路。2 2將分式方程去化成整式方程(方程兩邊同時乘以最簡公分母)3 3確定增根(題目已知

5、或使分母為零的未知數的值)2 2、解方程- +-=-+-x 7 x 2 x 3 x 62 2、分式方程則原分式變形為整式方程是(D(D )設x -3=y,則原方程變?yōu)? 5、方程2x x二5的解是6 6、解方程1x22x1丄2一 x22x 1 123 3、將可能的增根分別代入整式方程，求出參數的值(增根是由分式方程化成的整式方程的根) 練兵場：2xm1 1、當 m=m=_ 時，分式方程 -3-3 = =-會產生增根。x 6 x 6x32 2、分式方程-2-2 會產生增根 3 3,求 k k 的值為X -kx -kx3 3、關于 x x 的方程一k-2會產生增根，求 k k 的值。x3x -3k

6、x2x(1)當 k k 為何值，解這個方程時會產生增根;(2)k k 為何值時，這個方程只有一個實數解。、無理方程1 1、概念：根號內含有未知數的方程叫做無理方程。 注意：被開方數要為非負數。練習：1 1、下列方程屬于無理方程的是()4 4、方程2xx 12x2鳥十1(B)x 34二-2x丄(D) 一7x 8二-X22 2、 等式4-x2=2+X y/2-X成立的條件是 _。13 3、 方程J5x - 4 + J4 5x =0,貝y x2=_4 4、如果無理方程-X2 .2x9二a有實數根，那么a= =_2 2、無理方程的解法思想：化無理方程為整式方程 無理方程的解法：1 1）直接平方法1 1

7、、將無理方程整理成b .a二c（a_ 0,b,c同號）；由此，可判斷方程是否有根。當c_0,方程有實根；b當cc0,方程無實根。b 2 2、 將等式兩邊平方，將無理方程變?yōu)檎椒匠蹋? 3、 解整式方程；4 4、 驗根（和分式方程一樣，無理方程必須要驗根）。驗根是將根代入原方程，看方程兩邊是否相等。練習：1、 方程Jx+9 4x -3 = 0的實數解是 _。2 2、 下列方程中沒有實數根的是（）（A A）x丁Jx - 3 = 2（B B） - -2x 5 = x（C C）J5 x十Jx 11十3 =0（D D）Jx 1+（1 x） =03 3、已知關于 x x 的方程3x-a二x有一個根是 x

8、=1,x=1,那么方程另一個根是（）。(A)x=-1x=-1(B)x=0(B)x=0 (C(C )x=2)x=2(D)x=3(D)x=34 4、解方程、4x - 3 * 3x * 1 = 35 5、解方程x 6 -.3x -5 -3、.x -1 =02 2）換元法解無理方程：解題思路：用換元法將原方程變形，然后去根號，化為整式方程，求出新方程的解，最后代入換元的式 子，再求根驗根。練習:1 1、 如果用換元法解方程x2-2jx2-1=4,設 y=y=_ _，換元后得到的有理方程是 _。2 2、 用換元法解方程4x2-.、2-x2=3=3，如果設y 2-x2，那么原方程可變形為 _ 。3 3、

9、解方程（x 1 x）25 - 6（x Jx 1）=0。4 4、解方程3x215x 2 x25x 2。3、由無理方程根的情況，求參數的取值（范圍）解題思路：1將原方程化為整式方程；2根據已知條件（根的情況），求出參數的取值（范圍）（注意，考慮方程有增根時的參數值要排除）練習：1、方程J3x -4 = -x的增根是_ ，解無理方程時必須進行 _2、若方程Jx- p=X有兩個不等的正數根，則實數p的取值范圍是 _3 3、如果關于 x x 的方程.x2，2x V 2x 1，有且只有一個實數解時，那么a a 的值是?4 4、無理方程的應用小秘書：應用無理方程解應用題，解無理方程后要驗根。平面內兩點的距離

10、公式：平面內兩點坐標 A A（冷，力），B B（X2,y2），貝 U U A A、B B 兩點間的距離為：AB=AB=_(X1-X2)2(X2-X3)2,特別地，當 A A、B B 都在 x x 軸上時，AB=AB=N X2(1)當 A A、B B 都在 y y 軸時，AB=AB= % % y y2。1 1、 已知點 A A 在 x x 坐標軸上，它與點 B B (-6-6, 8 8)的距離等于 1010,那么點 A A 的坐標是 _已知點 A A 在 y y 坐標軸上，它與點 B B(-6-6，8 8)的距離等于 1010，那么點 A A 的坐標是 _已知點 A A 在坐標軸上，它與點 B

11、B(-6-6，8 8)的距離等于 1010，那么點 A A 的坐標是 _ 。2 2、 點A(4,2)點的距離為8,若直線AE平行與 x x 軸，則E點的坐標為()(A) (2,12)或(4,2)(B) (12,2)或(2,-4)(C) (12,2)或(4,2)(D) (2,12)或(2,-4)三、二元二次方程組概念：二元二次方程：方程中，含有2 2 個未知數，方程的最高次數為2 2。二元二次方程組：含有 2 2 個未知數，且方程組中每個方程的最高次數為2 2 次的方程組。方程組的解：同時滿足方程組中兩個二元方程的的解。練習：1 1、二兀二次方程x22xy y2二9()x y = o(D)有無數

12、解(A)有一個解(B)有兩個解(C)有四個解2 2、二元 一次方程(2x-1)(y-2) =0()(A)有一個解(B)有兩個解(C)有四個解(D)有無數解1 1、當方程組是一個二元一次方程組和一個二元二次方程組成時，將二元一次方程變形后代入二元二次方程,使二元二次方程變?yōu)橐辉畏匠?，求其解，代入原方程組，求出原方程組的解；練習：1 1、解下列方程組特別地，當 A A、B B 都在 x x 軸上時，AB=AB=N X2(1)x2廠2；(刀X2xy=2；( 3 3)XT y-2二xy3y-x=4x-y=4xx 2-4yy-1=2x-2yx2y個一元二次方程為。2 2、解方程組2：一二1x23x2

13、y10 = 03、已知Jy2_4x + x2+y2_5 =0，貝V x y =_2 2、當方程是由兩個二元二次方程（其中一個可以分解為兩個二元一次方程）組成時，先將可以分解為兩個二元一次方程的二元二次方程組組成兩個新方程組，求其解并合在一起，既為原方程組的解。小秘書：如果方程組中含有分式方程或無理方程，則要對方程組進行驗根。練習：1 1、下列方程中，無實數解的是（）22y = 2x(C)(C)x 5=2-x(D)(D)2x2+2x_y _3 = 0I x2- xy = 02 2、方程組可分解成的二元一次方程組有l(wèi)x2- 4xy 4y2= 9,2 24x -y =0i 2x _ xy 4二0fJ

14、-x y , x y =122 2x y -41丄x y二a23 3、形如的方程組，解法：把 x,yx,y 看作是一元二次方程t2-at 0的兩根，化二元二次方程、xy = b組為一元二次方程。練習：Ixy = 81 1、 方程組彳可分解成的二元一次方程組有 _ 。K + y = -6(A)2_ xx -2一x -2(B)3_x=x_43 3、解方程組4 4、解方程組丄x y x - y 155 5、解方程組丄2x - y = 5一2 2、 解方程組時，把2x,- y看成是關于z的一元二次方程的兩個根，這Ixy =7(A)1(A)1(B)(B)1(C)0或1(D)1或一1xy =43 3、 方

15、程組 g g l 的解為_。=34 4、 已知x?+ y?= 13, x十y = 5，那么2x + y =_5 5、用換元法解方程組 冃+滬=5時，設內=a冷尸=b,x + y = 13那么原方程組變形為_的方程組，解法：換元法，化分式方程組為整式方程組。練習:3丄27r =yx61 1 方程組彳,的解是_xy313丄61-十-=4y+3x 3y4x 33 3、解方程組269=33x 4y 3y -4x5 5 由方程組解的情況求方程中參數解題思路：此類題中的方程組一般由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成, 后代入二元二次方程，使二元二次方程變?yōu)橐辉畏匠?，方程組的解的個數和同，由一元二次

16、方程的解的情況，可判定方程中參數的取值(范圍)。練習：2 21 1、若方程x 2y -6和mx y =3只有一個公共實數解，那么 m m 的值為()()2 2、解方程組4 4、形如將二元一次方程變形 .次方程的解的個數相2 2、已知方程組y/mX 2有兩組實數解，求 m m 的取值范圍。y24x2y+1 =0(1)求實數 k k 的取值范圍；1 1(2)如果y1y23，求實數 k k 的值。x1x23 3、已知方程組21kx-x -y0 2y = k(2x-1)(x(x、y y 為未知數) )有兩個不同的實數解x = xx =x2y=yy*24 4、設a、b、c分別是一個三角形的三條邊的長，且關于x、y的方程組12 2x _ax_y+b +ac=ax - y be = 00只有一個解，試判斷這個三角形的形狀。x2z八亠X +2x+1*、/時，分式一2有意義。x +2x3如果方程k - .3x 7-0沒有實數根，那么k的取值范圍是用換元法解方程2X-1_ 9x 78 x +2 2x 1=_2。若設fx- =y,則原方程可化成F x +23x -1 x小 一2 =2 x2-1 x -1x 2 x 3 x 41111、解方程:x21 4xf12x y22x+y4x2_y2=7x2y(y -2x) =9(x y)(x y-3) =102x x7(-)6=01313