平穩(wěn)時間序列模型及其特征

1、平穩(wěn)時間序列模型及其特征第一章平穩(wěn)時間序列模型及其特征第一節(jié)模型類型及其表示 一、自回歸模型AR由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣性的作用,經(jīng)濟時間序列往往存在著前后依存關(guān) 系.最簡單的一種前后依存關(guān)系就是變量當前的取值主要與其前一時 期的取值狀況有關(guān).用數(shù)學模型來描述這種關(guān)系就是如下的一階自回 歸模型：X=|X-1 + & t2.1.1 常記作AR1.其中X為零均值即已中央化處理平穩(wěn)序列, .為X對X1的依賴程度,e t為隨機擾動項序列外部沖擊.如果X與過去時期直到Xt-p的取值相關(guān),那么需要使用包含 X 1 ,X-p在內(nèi)的p階自回歸模型來加以刻畫.P階自回歸模型的一 般形式為：X =|1 Xt 1+|

2、2 Xt 2H+|p Xt p+e t2.1.2 為了簡便運算和行文方便,我們引入滯后算子來簡記模型.設(shè) B為滯后算子,即 BX=X-1,那么 BBk-1X=BkX=X-k BC=CC 為常數(shù).利用這些記號,2.1.2 式可化為：Xt= d 1BX+ d 2E2X+ d 3BX+ d pEX + & t從而有:1-I1B-I2B2-|pBp x=e t記算子多項式0 B1- B-E2-© pBP,那么模型可以表示成6 (B) X=et(2.1.3)例如,二 階自回歸模型 Xt=0.7Xt-i +0.3Xt-2 +0.3Xt-3 + e t可寫成 (1-0.7B-0.3B 2)

3、 X= e t二、滑動平均模型(MA有時,序列X的記憶是關(guān)于過去外部沖擊值的記憶,在這種情 況下,X可以表示成過去沖擊值和現(xiàn)在沖擊值的線性組合,即X= £ t- 0 1 £ t-1 - 0 2 £ t-2 -0 q £ t-q(2.1.4)此模型常稱為序列X的滑動平均模型,記為 MA(q),其中q為滑動 平均的階數(shù),0 1, 0 2-0 q為參滑動平均的權(quán)數(shù).相應的序列Xt稱為 滑動平均序列.使用滯后算子記號,(2.1.4 )可寫成Xt= (1-0 1B- 0 2-0 qZ) qt=0 (B) & t (2.1.5)三、自回歸滑動平均模型如果序列

4、 X的當前值不僅與自身的過去值有關(guān),而且還與其 以前進入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系,那么在用模型刻畫這種動 態(tài)特征時,模型中既包括自身的滯后項,也包括過去的外部沖擊,這 種模型叫做自回歸滑動平均模型,其一般結(jié)構(gòu)為：Xt= (|) 1X-1 + d 2X-2 + (|) pX-P + £ t- 0 1 £ t-1 - 0 2 £ t-2 -9 q £ t-q(2.1.6)簡記為ARMA(p, q).利用滯后算子,此模型可寫為(2.1.7 )0 (B) X=0 (B) £ t第二節(jié)線性時間序列模型的平穩(wěn)性、可逆性和傳遞性首先介紹兩個概念.序列的

5、傳遞形式：設(shè) Yt為隨機序列, & t為白噪聲,假設(shè) Yt 可表不為：Yt= & t+G & t-i +G & t-2 +G & t-k + =G(B) & t且|Gk|,那么稱 Y具有傳遞形式,止匕時 Y是平穩(wěn)的.1系數(shù)G稱為格林函數(shù).它描述了系統(tǒng)對過去沖擊的動態(tài)記憶性強度.序列的逆轉(zhuǎn)形式：假設(shè) Y可表示為：£ t= Yt-兀 1 Y t-1 -兀 2 Y t-2 -兀 k Y t-k - =兀(B) Y t且I k ,那么稱 Y具有逆轉(zhuǎn)形式(或可逆形式). 1一、MMI型1. M隔型本身就是傳遞形式.2. MA(q)總是平穩(wěn)的(由上

6、一章的例),MA(s)在系數(shù)級數(shù)絕對 收斂的條件下平穩(wěn).3. MA(q)模型的可逆性條件.先以MA (1) (Yt=e t- 0 1 et-1)為例進行分析.MA(1)的可逆性條件為：I 1 1.如果引入滯后算子表示 MA(1),那么Yt= (1-OiB) et,可逆條件1 1等價于e(B)=1- 01B=0的根全在單位圓外.對于一般的MA(q)模型,利用滯后算子表示有:Y= (1- 0 1B- 0 2B2-0 qBq) £ t =0 (B) £ t其可逆的充要條件是：0(B) =0的根全在單位圓外(證實見Box-Jenkins , P79).在可逆的情況下,服從 MA(q

7、)模型的序列可以表示成無窮階的 AR模型:-1 _0 (B)Yt= & tMA(q)的可逆域：使0 (B) =0的根全在單位圓之外的系數(shù)向量(01, 8 2,0 q)所形成的集合.例：求MA(2)的可逆域.解：由 Ytt 1 t1 2其特征方程為:(B)11B2B20該方程的兩個根為:1-：/ 14 2由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,有當MA (2)平穩(wěn)時,根的模| 1與2都必須大于1,因此必有:由根與系數(shù)的關(guān)系,可以推出如下式子:211 1 TO -1211211 (1 一)(1 一)12由于1、2是實數(shù),1與2必同為實數(shù)或共鈍復數(shù).又由于| i| 1,因此111 1 一1 一 112反之

8、,如果| 21,且21 1.那么從|2, 1可以推出至1 2少有一個I i 1,例如,假設(shè)11 1,那么根據(jù)1 (1-)(1-) 1可推出12(1 )(1 ) 0,由1 0可以推出1 工 0,從而| 21 1.因止匕, 1212(B) 11B2B2 0的根在單位圓之外.(平穩(wěn)域為一三角形).AR模型1 . AR(P)模型本身就是一種逆轉(zhuǎn)形式2 .平穩(wěn)性.先以 AR(1)( Yt= 1Yt-1 + et),進行分析AR(1)平穩(wěn)的條件為1 ,它等價于 (B)=1- iB=0的根在單位圓外.3、在平穩(wěn)的情況下,AR(1)有傳遞形式：(1- 1B) Yt*t 1 t j1 1Bj 0一般地,對于 A

9、R(P)模型：(B)Y t= £ t,序列 Yt平穩(wěn)的充要 條件是：(B)=0的根全在單位圓外.此時,Yt有傳遞形式：Yt= -1(B)£ tAR(P)的平穩(wěn)域：使(B)=0的根全在單位圓外的AR系數(shù)向量(1, 2, ,P,)的全體形成的集合.練習：求AR(1)與AR(2)的平穩(wěn)域.三、ARMA (p,q)模型1、 平穩(wěn)性與傳遞形式首先考察 ARMA(1 , 1)的平穩(wěn)性:Yt -0 1Yt-1= £ t -0 1 £ t-1Yt平穩(wěn) U" I 0 1 I <1 (與AR (1)的平穩(wěn)域相同)此結(jié)論說明,ARMA (1,1)序列的平穩(wěn)性僅

10、與自回歸系數(shù)有關(guān), 而與滑動平均系數(shù)無關(guān).而且平穩(wěn)條件與AR (1)的平穩(wěn)條件相同.在平穩(wěn)的條件下,Yt有上述形式的傳遞形式.一般地,服從ARMA (p,q)模型的序列Yt平穩(wěn)的充要條件是： 0(B) =0的根全在單位圓外.在平穩(wěn)的條件下,Yt有傳遞形式 Yt = 曠1 (B) 0 ( B) £ t2、可逆性對于ARMA (1,1),假定可逆形式為£ t= x (B) Yt= (1 f iB兀 2B 兀 k B k ) Yt代入ARMA (1,1)的滯后算子表示形式,采用類似前面的方法, 比擬同次冥系數(shù)可得e t= Yt (|)1 -0 1) Yt-1 -0 1 (|)1

11、-0 1) Yt-20 1 k-1 (.10 1) Yt- k ,根據(jù)前面的定義(可逆性定義),應有I.1 | < 1.因此,ARMA (1,1)可逆的條件是I 0 1 I <1,它僅與滑動系數(shù)有關(guān),而與自回歸系數(shù)無關(guān).而且可逆條件與MA (1)的可逆條件相同.一般地,服從ARMA (p,q)模型的序列Yt,其具有可逆性的條 件是：0 (B) =0的根全在單位圓外.在可逆的條件下, Yt的逆轉(zhuǎn) 形式為 £ t=0 -1 (B) 0 ( B) Yt3、傳遞性與可逆性的重要意義第三節(jié)線性時間序列模型的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)1、MA (q)模型的自相關(guān)函數(shù)設(shè)Yt服從

12、:Yt= 0 (B)& t = £ t _0 1 £ t-1-0 q £ t-q =q9 j £ t-j , 0 0=-1j 0那么Yt的s階自協(xié)方差函數(shù)為:*=q e j e s+j(T2 j 02,八、(0 0 0 s+ 0 1 0 s+1+ 0 q-s 0 q)(s< q)( 0 0= -1 )(s>q)由上式,有加=(/ (1 + 012+ 0 q2)故Yt的自相關(guān)函數(shù)(ACF)為:1s 1 s 11 r0上式說明,MA(q)模型的記憶僅有q個時段,Yt的自協(xié)方差函數(shù)或自相關(guān)函數(shù)(ACF) q步截尾.這是 MA (q)模型的典

13、型特征.MA (q)的典型特征：p s在q步截尾.2、AR (p)模型的自相關(guān)函數(shù)首先考察AR (1) (Yt=0 iYt-i+ & t )的自相關(guān)函數(shù)的特征.Yt的自協(xié)方差函數(shù)為:¥=Cov(Yt, Yt+s)= 6 i 辛-i從而 ¥=j 1 辛-1= j 12 U s-2= * * * = j 1S自相關(guān)函數(shù)(ACF)為：p s =竿/ /= j 1S當(|) 1 < 1 , p s >0,即自相關(guān)函數(shù)p S隨S的增大而共 減至零.這種現(xiàn)象稱為拖尾性.對于一般的AR (p),序列的自相關(guān)函數(shù)的特征分析如下：設(shè) Yt=(|)1Yt-1+(|)2Yt-

14、2 + * * * + p) pY t-p+ e t=(|)(B) Yt+ e t那么自協(xié)方差函數(shù)：第=j 1 辛-1+ j 2 芋-2+ +()p 辛-p 這是一個關(guān)于 s 的線性差分方程.上式兩邊同除 州,得關(guān)于自相關(guān)函數(shù)(ACF)的線性差分方程.p s=(I)1 P s-1+ d 2 P s-2+ ,+() p P s-p在AR (p)平穩(wěn)的條件下,0 ( B) =0有p個在單位圓外的根a 1、a2,a p.根據(jù)線性差分方程解的有關(guān)理論,自相關(guān)函數(shù)( ACF： 服從的線性差分方程© (B) p s=0的通解為：p s=C1 a 1-s+ c2 a 2-s + Cp a p-s由

15、于I a j I >1,因此p s將按指數(shù)衰減(實根情形)或正弦振 蕩衰減(復根情形).這種特性稱為AR (p)的拖尾性.AR (p)的典型特征是：p s拖尾(衰減)3、ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)設(shè)ARMA (p,q)的形式為:Yt=(I)lYt-l +(I)2Yt-2 + +(I)pYt-p+ £ t 0 1 £ t-1-0 q & t-q那么Yt的s階自協(xié)方差函數(shù)為：第 =(|)1 辛-l+(|)2 ¥-2+.+(I)p 芋-p+E(Y t £ t+s) -0 lE(Y t £ t+S-1) 一.一 9 qE(Yt &a

16、mp; t+S-q)當0WsW q時, £ t+S, & t+S-1, , & t+S-q中有一局部位于t 時刻以前(t+ s-i <t "=> s-i <0), Yt與這一局部外部沖擊有關(guān),從 而革除了受自回歸系數(shù)的影響外,還受一局部滑動平均系數(shù)的影響.當 s>q 時,s-q>0, t+s-q>t,從而 et+S , & t+S-1,& t+S-q全在t時刻以后,由于Yt與未來的外部沖擊不相關(guān),因此節(jié)中后 面的項全為零.乍=j 1 辛-1+ j 2 竿-2+ + j p 辛-p它只同自回歸系數(shù)有關(guān).兩邊同

17、除 認 得 P s=(I)1 P s-1+ d 2 P s-2+ ,+() p P s-p(s> q)即ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在s>q時,與AR (p) 的自相關(guān)函數(shù)所滿足的線性差分方程完全相同.借用前面關(guān)于AR (p)的自相關(guān)函數(shù)特征的討論可知,ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在q以后隨s的增長按指數(shù)衰減或以 正弦振蕩衰減,即仍表達出拖尾特征.二、偏自相關(guān)函數(shù)從前面的自相關(guān)函數(shù)的討論中可看出,自相關(guān)函數(shù)的截尾性是MA (q)的獨有特征,但自相關(guān)函數(shù)的拖尾性卻是 AR (p)與ARMA(p,q)共有的特征,盡管 ARMA (p,q)的自相關(guān)函數(shù)在q階后

18、開始按指數(shù)衰減或以正弦振蕩衰減,但這還缺乏于區(qū)別AR (p)與ARMA (p,q),由于在實際應用中很難區(qū)分是否是從 q階開始衰減的因此,還需尋找序列的其他統(tǒng)計特征.這就是偏自相關(guān)函數(shù)的特征.設(shè)Yt是一隨機序列,所謂 Yt的s階偏自相關(guān)系數(shù),是指扣出 中間s-1個項的影響之后,Yt與Yt+s的相關(guān)系數(shù).為了考察偏自相關(guān) 函數(shù)的特性,我們分析如下：設(shè)Yt是一零均值平穩(wěn)序列,我們設(shè)想用 Yt-i, Yt-2,Yt- 的s階自回歸模型去擬和 Yt,即建立如下模型：Yt=|siYt-i +|s2Yt-2+ © ssYt-s+ et其中et為誤差項.估計模型的常用方法是最小二乘法,即選擇© si, © s2,©s使模型的殘差方差Q=E (Yt- 0sj Yt- j ) 2=Eet2到達最小.根據(jù)極 j i值條件應有:Q/.sj =0j=i , 2,s據(jù)此,可推出d si, d s2,d ss所滿足的方程為s isiis 2s22ssss其中p k (k=i ,s)為Yt的k階自相關(guān)系數(shù).此方程組稱為 Yule-Walker 方程.可以證實,.ss是在給定Yt-i, Yt-2,Yt-s+i的條件,Yt和Yt- s之間的條件相關(guān)系數(shù),即偏相關(guān)系數(shù).0ss就為Yt的偏相 關(guān)函數(shù).要