整式的乘除與因式分解知識點

1、整式乘除與因式分解一.知識點重點1. 幕的運算性質(zhì)：dm an = am+nm、n 為正整數(shù)同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加 例：一2a2 3a23m n2. a = amnm、n為正整數(shù)幕的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘 例：-a55n 人nn3. ab a b(n為正整數(shù))積的乘方等于各因式乘方的積.例：(一a2b)3練習：,.、_3_ 2一 .2、,一(1) 5x2x y 3ab (4b )(3)3ab 2a(4) yz2y2z2(5)(2x2y)3( 4xy2)(6)- a3b 6a5b2c( ac2)234. aman=amn(aw0,m、n 都是正整數(shù),且m>n)同底數(shù)幕相除,底數(shù)

2、不變,指數(shù)相減.例：(1) x8+x2(2) a4+a(3) ( ab) 5 + ( ab) 2(4) (-a) 7+ (-a) 5(5) (-b) 5+(-b)25 .零指數(shù)幕的概念：a0 = 1aw 0任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于I.例：假設(shè)2a 3b01成立,那么a,b滿足什么條件？6 .負指數(shù)幕的概念：1a-p=ap(aw0, p是正整數(shù))任何一個不等于零的數(shù)的-p (p是正整數(shù))指數(shù)幕,等于這個數(shù)的 p指數(shù) 幕的倒數(shù).ppn m也可表示為： m n (mw0, nw0, p為正整數(shù))7.單項式的乘法法那么：單項式相乘,把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘,作為積的因式；對于只在一個單 項

3、式里含有的字母,那么連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2 121 3 324例：(1) 3a b 2abc -abc (2) ( - m n) ( 2m n)3 28 .單項式與多項式的乘法法那么：單項式與多項式相乘,用單項式和多項式的每一項分別相乘,再把所得的積 相加.例：(1) 2ab(5ab2 3a2b)(2) (- ab2 2ab) 1ab32(3)(-5m2n) (2n 3m n2)(4) 2(x y2z xy2z3) xyz9 .多項式與多項式的乘法法那么：多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相 乘,再把所得的積相加.例：(1) (1 x)(0.6 x)(2

4、) (2xy)( x y) (3) ( 2m n)2練習：1. 計算 2x 3 ( 2xy)( 1 xy) 3 的結(jié)果是22. (3X 10 8)X( 4X 10 4) =3,假設(shè)n為正整數(shù),且x 2n=3,那么(3x3n) 2的值為4. 如果(a nb - ab m) 3=a 9b15,那么 mn 的值是5. a 2(2a 3a) =6. (4x 2+6x 8) (；x 2) =7. 2n(- 1 + 3mn 2) =8. 假設(shè) k(2k5) + 2k(1 k) = 32,貝U k =9. ( 3x 2) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) =10. 在(ax 2+bx3)

5、(x 2gx + 8)的結(jié)果中不含 x 3和 x 項,貝U a=, b=_11. 一個長方體的長為(a+4)cm,寬為(a3)cm,高為(a+5)cm,那么它的外表積 為,體積為.12. 一個長方形的長是10cm,寬比長少6cm,那么它的面積是,假設(shè)將長方 形的長和都擴大了 2cm,那么面積增大了 .10 .單項式的除法法那么：單項式相除,把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除,作為商的因式：對于只在被除式 里含有的字母,那么連同它的指數(shù)作為商的一個因式.例：(1) 28x4y2 + 7x3y (2) -5a5b3c+ 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2) + 14x4y311 .多項式除以

6、單項式的法那么：多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式, 再把所得的 商相加.例：(1) (3x2y 6xy) 6xy (2) (5a3b 10a2b2 15ab3) ( 5ab)練習：1.計算:(1)3 4 2 7xy12 2 yx y ;(2)2 32x2y(3)16 ab(4)3 2n 24x y2xyn 3(5)4 1092 1032.計算:(1)16x3y312xy(2)1一 xy 5(3)1b21 n, 2-a b 43.計算:(1)(2)16a4.假設(shè)(ax3my12) -(3x3y2n)=4x6y8那么a =.易錯點：在幕的運算中,由于法那么掌握不準出現(xiàn)錯誤;

7、有關(guān)多項式的乘法計算出現(xiàn)錯誤； 誤用同底數(shù)幕的除法法那么；用單項式除以單項式法那么或多項式除以單項式法那么出錯;乘除混合運算順序出錯.12 .乘法公式：平方差公式：(a+ b) (a b) =a2 b2文字語言表達：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘,等于這兩個數(shù)的平方差.完全平方公式：(a+ b) 2 = a2+2ab+ b2(a b) 2 = a22ab+b2文字語言表達：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或 減去)這兩個數(shù)的積的2倍.例 1: (1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m +2n)(-m-2n).例 2：(1) (x

8、+6) 2(2) (y-5)2(3) (-2x+5)練習：1、 a5a2 =.x(x222y2)2 2(x2 y)3 ( xy2)3 =2、6a6、多項式 x x ,x 2x 1, x x 2的公因式是 .b3 12a3b4 8a3b2 2a3b2 ()22,、223、x 9y (x ) ； x 2x 35 (x 7) ()213114、 x 5 ,那么 x-=; x 一 =.xxx_2.25、假設(shè)9x mxy 16y是一個完全平方式,那么 m的值是.3 x7、 因式分解： 8 °27一,一 .2128、因式分解：4m 2mn -n.49、計算：0.131 8 0.004 8 0.0

9、02 8 .10、x2 y2 x y (x y) A,貝U A=易錯點：錯誤的運用平方差公式和完全平方公式.13.因式分解(難點)因式分解的定義.把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式 分解.掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：(1)分解對象是多項式,分解結(jié)果必須是積的形式,且積的因式必須是整 式,這三個要素缺一不可；(2)因式分解必須是恒等變形；(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.因式分解與整式乘法是互逆變形,因式分解是把和差化為積的形式,而整式乘法 是把積化為和差的形式.二、熟練掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌

10、握提公因式法的概念；(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式,公因式的構(gòu)成一般情況下有三局部： 系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母一一各項含有的相同字母；指數(shù)一一 相同字母的最低次數(shù)；(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確 定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一個因式的項數(shù)與原多項式的項 數(shù)一致,這一點可用來檢驗是否漏項.(4)注意點：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式,即分解到“底；如果多項式的第一項的系數(shù)是負的,一般要提出“一號,使括號內(nèi)的第一項 的系數(shù)是正的.例：(1) 8a x2 5xy 6y2(4) x4 5x2 36b2 12ab3c(2) 75x3y5

11、35x2y42、公式法運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：平方差公式：a2b2= (a+b) (a-b)完全平方公式：a2+2ab+ b2= ( a+ b) 2a2 2ab+ b2= (a b) 2例：(1) a2b2 0.25c2(2) 9(a b)2 6(b a) 1422222(3) a x 4a x y 4x y22(4) (x y) 12(x y)z 36z3、十字相乘法右邊相乘等于常數(shù)項,交叉相乘再相加等于pq的逆運算.2(2) x2 2x 15十字左邊相乘等于二次項系數(shù), 一次項系數(shù).即公式 (x p)(x q) x2 (p q)x例：(1) x2

12、 x 42練習：1、假設(shè)x2 2(m 3)x 16是完全平方式,那么m的值等于.2、x2 x m (x n)2 貝Um=n =3、2x3y2與12x6y的公因式是4、假設(shè) xm yn = (x y2)(x y2)(x2 y4),貝U m=, n=. 5、在 多項式m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s2 9t4中,可以用平方差公式分解因式的 有,其結(jié)果是6、假設(shè)x2 2(m 3)x 16是完全平方式,那么m=.27、x ()x 2 (x 2)(x )c n 分口 彳220042005 c mt 20068、 1 x x x x 0,那么 x .9、假設(shè)16(a b)2 M25是完全平方

13、式 M=.10、x2 6x _ (x 3)2 , x2 9 (x 3)211、假設(shè)9x2 k y2是完全平方式,那么k=.12、假設(shè)x2 4x 4的值為0,那么3x2 12x 5的值是.13、假設(shè) x2 ax 15 (x 1)(x 15)那么2=.14、假設(shè) x y 4, x2 y2 6 那么 xy .15、方程x2 4x 0,的解是.易錯點：用提公因式法分解因式時易出現(xiàn)漏項,丟系數(shù)或符號錯誤; 分解因式不徹底.中考考點解讀：整式的乘除是初中數(shù)學的根底,是中考的一個重點內(nèi)容.其考點主要涉及以下幾個方面：考點1、哥的有關(guān)運算例1 . 2021年湘西在以下運算中,計算正確的選項是Aa3a2a6B

14、a23a5Ca8a2a4D ab22a2b4分析:哥的運算包括同底數(shù)哥的乘法運算、哥的乘方、積的乘方和同底數(shù)哥的除法運算哥的運算是整式乘除運算的根底,準確解決哥的有關(guān)運算的關(guān)鍵是熟練理解各種運算的法那么.例2. 2021年齊齊哈爾10m 2, 10n 3,那么103m 2n .分析：此題主要考查哥的運算性質(zhì)的靈活應(yīng)用,可先逆用同底數(shù)哥的乘法法那么 am an amn,將指數(shù)相加化為哥相乘的形式 ,再逆用哥的乘方的法那么 amn amn,將指數(shù) 相乘轉(zhuǎn)化為哥的乘方的形式,然后代入求值即可.考點2、整式的乘法運算例 3. 2021 年賀州計算：2a 1a3 1 =.4分析:此題主要考查單項式與多項

15、式的乘法運算.計算時,根據(jù)法那么將其轉(zhuǎn)化為單項式與單項式的乘法運算,注意符號的變化.考點3、乘法公式2例4. 2021年山西省計算：X 3 x 1 x 2分析:運用多項式的乘法法那么以及乘法公式進行運算,然后合并同類項解：3 例5. 2021年寧夏：a b ab 1 ,化簡a 2b 2的結(jié)果是.2分析:此題主要考查多項式與多項式的乘法運算.首先根據(jù)法那么進行計算,然后靈活變形,使其出現(xiàn)a b 與ab ,以便求值.解：考點4、利用整式運算求代數(shù)式的值例6. 2021年長沙先化簡,再求值：a ba b a b2 2a2,其中a 3, b 1 .3分析:此題是一道綜合計算題,主要在于乘法公式的應(yīng)用 解：考點5、整式的除法運算例 7. (2021 年廈門)計算:(2x-y)(2x+y) + y(y-6x) 2x分析:此題的一道綜合計算題,首先要先算中括號內(nèi)的,注意乘法公式的使用,然后再進行 整式的除法運算.解：考點6、定義新運算例8. (2021年定西)在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算": 其法那么為：a b a2 b2,求方程(4 3)x 24的解.分析:此題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運算法那么,觀察的等式aba2 b2可知,在此題中“ 定義的是平方差運算,即用“&qu