已知數(shù)列遞推公式求通項公式的幾種方法

1、、公式法 例1已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 2n, a1 2 ,求數(shù)列 an的通項公式。解：ani2an32n兩邊除以2n1,得券an：，則。|n3 ,故數(shù)列申是以± 2 1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得曳 i (n 1)2 ,21 222n231 °所以數(shù)列an的通項公式為an ( n )2。22a , a3評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 2an 3 2n轉化為上* 鼻 士，說明數(shù)列222an是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an 1 (n 1)1,進而求出數(shù)列 an的通項公式。、累加法1 ,求數(shù)列an的通項公式。例2

2、 已知數(shù)列an滿足an 1 an 2n 1, a1解：由 an 1an 2n 1 得 an1 an2n 1則an (anan1) (an 1 an 2) L(a3a2)(a2a) a12(n 1) 1 2(n 2) 1 L (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1 c(n 1)n2、2 (n 1) 1(n 1)(n 1) 12n所以數(shù)列an的通項公式為ann2o評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 an 2n 1轉化為an1 an 2n 1 ,進而求出(anan 1)(an1an2) L (a3a?)a1)a1，即得數(shù)列an的通項公式。3,求

3、數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an 1 an 2 3n 1, a1解：由 an an 2 3n 1 得 an an 2 3n1則an (an an 1) (an 1(2 3n 1 1) 2(3n 1 3n 2 n 1、2 3(1 3 )(23n323n(n3n所以an3n1.1)31)(n1) 3評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式進而求出 an(an an 1) (an 1 an項公式。例4 已知數(shù)列an滿足an1 3an解：ann3an 2 3an 13nan3n(21)2).一 n 11兩邊除以3an3nan 1)因此a?)32an 13na1)1)an(a31, a1an 13

4、nai(2 312 3n1) 31 轉化為 an 1 an 2 3n 1 ,a2)(a2 4) a，即得數(shù)列%的通3 ,求數(shù)列an的通項公式。an 23n 3(32(n3an7)1)(3,13n(如an 11an 2)獰)(an 2(37Tan 3)*)325) 31a1an3n2(n1)3n3n 113n) (313n 1.)13n32)3n3n 1)2n332)13n評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式ann3an 2 3/an 1an 2 11轉化為尹成-歹,anan1xan 1an 2 xz an 2an 3、I犬22、耳Hn進而求出(于中)(中產)(可中)L(-2-T)-,即得數(shù)列F3

5、333333333的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。三、累乘法例5已知數(shù)列an滿足an i2(n 1)5n an, a1 3,求數(shù)列an的通項公式。解：因為 an 1 2( n 1)5n an, a1a0,則！ 2(n 1)5n ,故 anan an 1a3 a2La1an 1 an2a2 a2(n 1 1)5I 12(n 2 1)5n 2 L 2(2 1) 522(1 1) 51 3 2n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1)(n 2) L 21 3 n (n 1) 3 2n 1 5k n!n(n 1)所以數(shù)列an的通項公式為an3 2n 15n!.評注：本題解題的關鍵是把遞推關

6、系 an2(n 1)5n an轉化為免 an2(n 1)5n,進而求出_a嘰包L a3 a2 a1，即得數(shù)列a的通項公式。 an 1 an 2a2 a1例 6 已知數(shù)列an滿足 a11,ana12a23a3L (n1)an1(n2),求an的通項公式。解：因為 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1(n 2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 nan用式一式得an 1 an nan.故 a1 n 1(n 2) an所以an 旦亙l 曳a2 n(n 1) L 4 3同 n!a2.an 1 an 2a22由 ana12a23a3L (n1)an1(n 2),取

7、n2得22a12a2,貝U a2a1,又知n!al 1,則 a2 1,代入得 an 1 3 4 5 L n o2n!所以，an的通項公式為an .2a評汪：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 (n 1)an(n 2)轉化為 n 1(n 2),an進而求出-a- 皿 L %a2,從而可得當n 2時，an的表達式，最后再求出數(shù)列an的 an 1 an 2a2通項公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n, a1 6 ,求數(shù)列an的通項公式。解：設 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)將an12an35n代入式，得2an 35nx 5n 12an2x5n,等式兩邊消

8、去2an ,得35nx5n1 2x5n,兩邊除以5n,得3 5x2x,則x1,代入式得an 1 5n 1 2(an 5n)1 a5n 1由a1 51 6 5 1 0及式得an 5n 0 ,則an 1 ：2,則數(shù)列an 5n是以nan 5一1n n 1n 1 na1 5 1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an 52 ,故an 25。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式 an 1 2an 3 5n轉化為an 1 5n 1 2(an 5n),從而可知數(shù)列an5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 % 5n的通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足an 1 3an 52n4, 4 1 ,求數(shù)

9、列an的通項公式。解：設an 1 x2n 1ny 3(an x 2y)將 an 1 3an 52n4代入式，得3an 5 2n 42n 1y 3(an x2ny)整理得(5 2x)2ny 3x 2n 3y。2x 3x 皿,則y 3y5，代入式得23(an5 2n 2)an 12n 1由ai211 1213 0及式,得an2n°,則an 1an3,1 12 13為首項，以3為公比的等比數(shù)歹U,因此 an 5 2n 2 13 3n 1 ,貝U an133n 15 2n 2。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 13an 5 2n 4轉化為an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n

10、2),從而可知數(shù)列為5 2n 2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。2例9已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3n 4n 5, a1 1 ,求數(shù)列a。的通項公式。解：設 an 1 x(n 1)故數(shù)列an 5 2n 2是以a1 5 21 y(n 1) z 2(an xn2yn z) 2將ani 2 an 3n4 n 5代入式，得22,2an 3n 4n 5 x(n 1) y(n2、 一1) z 2( an xn yn z),則2 22an (3x)n (2xy 4)n (xy z 5) 2an 2xn2yn 2z等式兩邊消去 2an,得(3 x)n2

11、 (2x y 4) n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z,3 x 2xx 3解方程組2xy 42y ,則y10 ,代入式，得x y z 5 2z z 18222an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由a1_2_3 110 1 18 1 31 322_ 一 一0及式，得an 3n 10n 18 022,故數(shù)列an23n2 10n 18為以則 & 1 3(n 1) 10(n 1) 18、 an 3n2 10n 18一 .2a1 3 1 10 1 18 1 31 32為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此_ 2_n1_n44 2_an3n10n

12、 1832 2，則 an2 3n10n 18。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式an 1 2an 3n2 4n 5轉化為22an 1 3(n 1)10(n 1) 18 2(an 3n 10n 18),從而可知數(shù)列22an 3n 10n 18是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 3n 10n 18的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。五、對數(shù)變換法例10已知數(shù)列an滿足an123na5 ,a17 ,求數(shù)列an的通項公式。n 5n 5解：因為an12 3an,a17 ,所以an0,an10。在an12 3an式兩邊取常用對數(shù)得lg an 1 5lg an n lg3 1g 2設 1g an 1 x(n 1

13、) y5(1g an xny)11將式代入式，得5lg ann lg3lg2 x(n 1)y 5(1g an xn y),兩邊消去5lg an并整理,得(lg3x)n x1g 2 5xn 5y ,1g3 x 5xx y 1g 2 5y'1g341g3161g24代入M式，得lg an1g34(n 1)1g3161g245(1g an%警學迨由iga1g3 141g3161g241g71g341g3 1g2160及式,得 lg an1g3161g240,1g an 1則1g3 /力1)1g3161g24lg an165,所以數(shù)列1g an比數(shù)列，則1gan密4明 41g3161g316竽

14、1g24是以1g 7(1g71g34 1g341g316 1g3 161g2為首項，以5為公比的等)5n 1,因此1g an(1g 7(1g 71g 3411g 341g 3161g2)5n 11g 3n41g 361g(71g(71341 3%13行13而11g 36124 )5n124)5n 111g 24)5nn1g 315 n1g(753一5n1g(75n 4n 135n 1 13b5n 121g(3 4 316 24)n 111g(3" 3而 2")5n 112丁)1j5n 1貝 U an75n 4n 135n 1 12丁。1g 2411g 316 1g 2評注：

15、本題解題的關鍵是通過對數(shù)變換把遞推關系式an 123n a；轉化為lg3 lg3lg2lg3lg31g 2lgan1-g-(n1) ；g-g-5(lgan4 n一),從而可知數(shù)列416441641g an1g3 n lg3 是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)g an lg3 n -lg3 "lgN的通項n 4164n 4164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an 1a3(n 1)2n, &5 ,求數(shù)列an的通項公式。3(n 1)2n3n 2n 13(n 1) 2n 2 3n 2n 1斛：因為an 1an，所以an an 1 an32(n 1)n2(

16、n2) (n1) an 2a3(n 2) 2n 332(n 1) n 2(n 2) (n 1)33( n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1)an 3L3n 1 2 3L L (n 2) (n 1)n 21 2LL (n 3) (n 2) (n 1)an(n 1)3n 1 n! 2 2an(n 1)一一. 一 一 一 3n 1 n!2 2又a15 ,所以數(shù)列an的通項公式為an5。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an 1a：(n 1)2n兩邊取常用對數(shù)得lg an 13(n 1) 2n lg an,即旦a" 3(n 1)2n ,

17、再由累乘法可推知lg anlg anlg anlg an 1 , lg a3 lg aL lg a1lg an 1 lgan 2 lg a? lg a°n1 QnV，3n 1n!2nlg53 n!2 ，從而 an 52七、數(shù)學歸納法例12已知數(shù)列an滿足an 1 an8(n 1)一2 一 一(2n 1) (2n 3)-,求數(shù)列an的通項公式。9解：由 an 1 an 8(n-1)2(2n 1) (2n 3)a2a3a48(1 1)88 224(2 1221)2 (2 1 3)29 9 25258(2 1)248348(2 22 _ 21) (2 2 3)25 2549 498(3 1

18、)488480(2 32 _ 一 - 21) (2 3 3)49 498181aia3a2由此可猜測an_2(2n 1)2 1_2(2n 1),往下用數(shù)學歸納法證明這個結論。(1)當 n 1 時，a1(2 1 1)2 1""2(2 1 1)8 ,所以等式成立。9(2)假設當n k時等式成立，即ak(2k 1)2 1(2k 1)2k 1時,ak 1ak8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)22(2k 1)2 18(k 1)222(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)222(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(k 1) 12由此可知，當n k 1時等式也成立。，一 *根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 n N都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求