最全的圓錐曲線軌跡方程求法

1、最全的圓錐曲線軌跡方程求法圓錐曲線軌跡方程的解法目錄一題多解錯誤！未定義書簽。一.直接法錯誤！未定義書簽。二.相關點法錯誤！未定義書簽。三.幾何法錯誤！未定義書簽。4 .參數(shù)法錯誤！未定義書簽。5 .交軌法錯誤！未定義書簽。6 .定義法錯誤！未定義書簽。一題多解設圓C: (x-1) 2+y2=1,過原點O作圓的任意弦OQ求所對弦 的中點P的軌跡方程。一.直接法設P (x,y ) , O渥圓C的一條弦，P是OQ勺中點，則CPLOQ x?0,設 OC 中點為 M(),則 |MP|=|OC|=,得(x ) 2+y2=(x?0), 即點P的軌跡方程是(x-) 2+y2= (0 <x<1)o

2、二.定義法 /OPC=90 , 動點P在以M()為圓心，OS直徑的圓(除 去原點O)上，|OC|=1,故P點的軌跡方程為(x-) 2+y2=(0<x<1)三.相關點法設 P (x,y ) ,Q(x1,y1),其中 x1-0, .x1=2x,y1=2y,而(x11) 2+y2=1 (2x 1)2+2y2=1，又 x1?0,. .x?0,即(x ) 2+y2=(0<x<1)四.參數(shù)法設動弦PQ的方程為y=kx,代入圓的方程(x1) 2+kx2=1,即(1+k2) x2 2x=0,設點P (x,y ),則消去 k 得(x ) 2+y2=(0<x<1)另解 設 Q點

3、(1+cos 0 ,sin 0 ),其中 cos 0 # 1,P(x,y),則消去 0 得(x ) 2+y2=(0<x<1)課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動點與已知條件 能直接發(fā)生關系，這時，設曲線上動點坐標后，就可根據(jù)命題中的已 知條件研究動點形成的幾何特征，在此基礎上運用幾何或代數(shù)的基本 公式、定理等列出含有、的關系式。從而得到軌跡方程，這種求軌跡 方程的方法稱為直接法。例題1等腰三角形的定點為，底邊一個端點是，求另一個端點的軌跡方 程。練習一1.已知點、，動點滿足。求點的軌跡方程。2 .線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡

4、方程？3 .動點P (x,y )到兩定點和的距離的比等于 2 (即：)求動點P的軌跡方程？4 .動點P到一高為h的等邊 ABC兩頂點A B的距離的xx等于它到頂點C的距離平方，求點P的軌跡?* 5.點與一定點的距離和它到一定直線的距離的比是。求點的軌 跡方程，并說明軌跡是什么圖形。 7.已知是圓內(nèi)的一點，A B是圓上兩動點，且滿足/ APB=90 ,求矩形APBQ勺頂點Q的軌跡方程。8.過原點作直線和拋物線交于 A B兩點，求線段AB的中點M的 軌跡方程。二.相關點法利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋它們 坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解， 就得到原動點的 軌跡。

5、例題2已知一條長為6的線段兩端點A B分別在X、Y軸xx滑動，點M在線段ABxx,且AM : MB=1 : 2 ,求動點M的軌跡方程。練習二1 .已知點在圓上運動，求點 M的軌跡方程。2 .設P為雙曲線上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點。求點M的軌跡方程。3 .設，點在軸上，點在軸上，且，當點P在軸上運動時，求點N的軌跡方程。4 .已知4ABC勺頂點，頂點A在曲線上運動, 求ABC!心G的軌跡方程。5 .已知A、B D三點不在同一條直線上，且、，,求E點的軌跡方程。6. ABC的xxAB BC CA的長成等比數(shù)列，且，點 B、C坐標分別為、，求定點 A的軌跡方程。7 .已知點，P是圓Q

6、上任意一點，P在x軸上的射影為Q ,，動點G的軌跡為C,求軌跡C的方程。8 .已知橢圓xx任意一點P,由點P向x軸作垂線xxPQ垂足為Q，點M在PQxx且，點M的軌跡為C,求曲線C的方程9 .如圖，從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點 的軌跡方程。10 .已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過點的動直線與雙曲線 相交于A B兩點。 若動點M滿足(其中O為坐標原點)，求點M的軌跡方程；(II )在軸上是否存在定點C,使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由三.幾何法求動點軌跡問題時，動點的幾何特征與平面幾何中的定理及有關 平面幾何知識有著直接或間接的聯(lián)系，且利用平面幾何的知識

7、得到包 含已知量和動點坐標的等式，化簡后就可以得到動點的軌跡方程， 這 種求軌跡方程的方程的方法稱為幾何法。例題3已知定點，點P在曲線上運動，/ AOP勺平分線交于Q點，其中 O為原點，求點Q的軌跡方程。練習三1.如圖，在正方體 ABCD-A1B1C1D1xxP是側(cè)面BC1內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，求動點P的軌跡所在的曲線。2.已知點C的坐標是，過點C的直線CA與X軸交于點A,過點C且與直線CA垂直的直線CB與Y軸交于點B。設點M是線段AB的中點，求點M的軌跡方程。3.已知經(jīng)過點的直線，經(jīng)過的直線為，若，求與交點 S的軌跡 方程。4 .求圓心在拋物線()上，并且與拋物線

8、的準線及軸都相切的圓的方程。5 .已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M N兩點，M俎點的橫坐標為，求此雙曲線方程。6 .已知動點P到定點F (1, 0)和直線x=3的距離之和等于4, 求點P的軌跡方程。四.參數(shù)法有時候很難直接找出動點的橫、縱坐標之間關系。如果借助中間 量（參數(shù)），使之間的關系建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參 數(shù)，這便可得動點的軌跡方程。例題4過不在坐標軸上的定點的動直線交兩坐標軸于點A B,過A、B坐標軸的垂線交于點P,求交點P的軌跡方程。練習四1.過點P （2, 4）作兩條互相垂直的直線、，若交 x軸于A6 交八、）y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程

9、。最全的圓錐曲線軌跡方程求法2 .一個動圓的解析式為，求圓心的軌跡方程。3 .過圓Q外一點A (4, 0),作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。4 .點，B、C是圓上的動點，且AB! AC求BC中點P的軌跡方程。五.交軌法求兩條動曲線交點的軌跡方程時，可選擇同一個參數(shù)及動點坐標 X、Y分別表示兩條曲線方程，然后聯(lián)立消去參數(shù)便得到交點的軌跡 方程，這種方法稱為交軌法。例5已知直線過定點，且是曲線的動弦 P1P2的中垂線，求直線與動 弦P1P2交點M的軌跡方程。練習五2.當參數(shù)m隨意變化時，求拋物線的頂點的軌跡方程。3.設A1、A2是橢圓的長軸兩個端點，P1、P2是垂直于A1A2 的

10、弦的端點。求直線 A1P1與A2P2交點的軌跡方程。4 .已知雙曲線=1 (m>0, n>0)的頂點為A1、A2,與y軸平行的直線交雙曲線于點P、Q。求直線A1P與A2Q交點M的軌跡方程。1.求兩條直線與的交點的軌跡方程。最全的圓錐曲線軌跡方程求法5 .已知橢圓，直線l : , P是Lxx一點，射線O汽橢圓于R,有點Q在OPxx且滿足，當P在Lxx移動時，求點Q的軌跡方 程，并說明軌跡是什么曲線。六.定義法求軌跡方程時，若動點軌跡的條件滿足某種已知曲線(圓、橢圓、 雙曲線、拋物線)的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程， 這種求軌跡方程的方法叫定義法。常見已知曲線：(1)圓：

11、到定點的距離等于定長(2)橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)(大于兩定點的距離)最全的圓錐曲線軌跡方程求法(3)雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)(小于兩定點 的距離)(4)拋物線：到定點與定直線距離相等。例題61 .設圓的圓心為A,直線過點且與x軸不重合，交圓A于C、D兩 點，過B作AC的平行線交AD于點E。證明為定值，并寫出點E的軌 跡方程。2 .已知 ABC的頂點A, B的坐標分別為，C為動點，且滿足。求點C的軌跡。練習六構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點的軌跡方程。1 .已知圓M ,圓N:,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓 心P的軌跡為曲線a求C的方程。2 .動點P到直線的距離與它到點(2, 1)的距離之比為，則點P的軌跡是什么？3 .點M到點F (4, 0)的距離比它