2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：多邊形

1、2020年中考數(shù)學(xué)人教版專題復(fù)習(xí)：多邊形、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 . 了解多邊形的有關(guān)概念，了解多邊形的內(nèi)角和與外角和；2 .知道什么樣的圖形可以鑲嵌平面，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和公式與外角和.難點(diǎn)：多邊形能覆蓋平面需要滿足的條件.三、考點(diǎn)分析：本講內(nèi)容在中考試卷中多以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，屬基本內(nèi)容，主要考點(diǎn)有兩個(gè):1 .多邊形的邊數(shù)與角度的換算，對(duì)角線的條數(shù)和邊數(shù)之間的關(guān)系；2 .用一種或幾種正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面，進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).知識(shí)梳理1 .多邊形的有關(guān)概念(1)在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.(2)連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，

2、叫做多邊形的對(duì)角線.(3)各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.2 .多邊形的內(nèi)角和與外角和(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2) - 180° .(2) n邊形的外角和等于 360° .3 .鑲嵌(1)用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌).(2) 一般地，多邊形能覆蓋平面需要滿足兩個(gè)條件：拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和 恰好等于360° (周角)；相鄰的多邊形有公共邊.典型例題知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及其內(nèi)角和例1. 一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線？思路分析：題意分析：本題考查多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線條數(shù)之間的關(guān)系.解題思路：過(guò)十

3、二邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)9條對(duì)角線，但每條對(duì)角線在每個(gè)頂點(diǎn)都重復(fù)計(jì)算了一次，所以實(shí)際對(duì)角線的條數(shù)應(yīng)該為12X9+2=54 (條).解答過(guò)程：十二邊形的對(duì)角線共有 54條.解題后的思考：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律，共有n(n23)條,牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù).例2.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比為7 ： 2,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).思路分析：題意分析：本題考查多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用及外角和.解題思路：由于多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，為 360，,故此題只要根據(jù) 7 : 2的關(guān)系列出 方程，解方程即可.解答過(guò)程：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 n.(

4、n 2)180°7根據(jù)題意，得-Z-= 7.3602解得，n=9.解題后的思考：此類問(wèn)題多是通過(guò)等量關(guān)系建立方程來(lái)求邊數(shù).例3.正五邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 .思路分析：題意分析：本題考查正多邊形的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式.(52) X 180°解題思路：根據(jù)題意得正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 =108。.5解答過(guò)程：108°解題后的思考：n邊形的內(nèi)角和公式為(n-2) - 180° ,正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，如果 設(shè)其內(nèi)角為x ,則5x= (5 2) X 180,可解得x= 108,或利用外角和列方程：180 x = 360 + 5.例4.如圖所示，求/

5、A+ / B+/ C+ / D+ / E+ / F 的度數(shù).思路分析：題意分析：這個(gè)多邊形不是我們通常研究的多邊形類型，需先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其變成凸多邊形，再用多邊形的內(nèi)角和公式求解.解題思路：要求六個(gè)角之和，則需在同一個(gè)多邊形中，故需連接 BF將原多邊形轉(zhuǎn)化為四邊 形.解答過(guò)程：連接BF.因?yàn)?1 = ZC+ZD, /1 = / CB斗 / DFB,所以/ C+ / D= / CBF+ / DFB.所以/ A+ / ABC+ / C+ / D+ / E+ / DFE=Z A+ / ABC+ / CB斗 / DFB+ / E+ / DFE=/ A+ / ABF+ / BF曰 / E = 360&#

6、176; .解題后的思考：多邊形問(wèn)題常通過(guò)連接兩點(diǎn)或?qū)蔷€從而轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的問(wèn)題來(lái)解 決.例5.如圖所示，已知在 ABC中，/ A= 60° , / B=75° ,將 ABC的一角折疊，使 點(diǎn)C落在 ABC內(nèi)，若/ 1=20° , / 2的度數(shù)是多少？這個(gè)結(jié)論是如何得出來(lái)的？思路分析：題意分析：可把/ 2看作四邊形ABED一個(gè)內(nèi)角的一部分.解題思路：解本題的基本思路是：在 ABC中求出/ C,在 CED中求出/ CDE+ / CED在 四邊形 ABED中求出/ 1 + /2,進(jìn)而求出/ 2.解答過(guò)程：72=70° .因?yàn)? A= 60°

7、 , / B= 75° ,所以/ C= 180° (/ A+/B) =45° .所以/ CDE+ Z CED= 180° -Z C= 135° .所以/ 1 + 7 2= 360° (/ A+ / B+ / CD曰 / CED)=90° .又因?yàn)? 1=20。，所以/ 2=70。.解題后的思考：折疊前后/ C的度數(shù)不變，是解此題的關(guān)鍵.例6.如圖所示，已知六邊形ABCDEF中，/A=/B= / C= Z D=Z E=Z F=120° ,邊長(zhǎng)AB=2cm, BC= 8cm, CD= 11cm, DE= 6cm,求這個(gè)

8、六邊形的周長(zhǎng)是多少？AFE思路分析：題意分析：在這個(gè)六邊形中，有四條邊長(zhǎng)已知，求其周長(zhǎng)關(guān)鍵是要求出AF和EF的長(zhǎng).解題思路：由題意中各角都為 120。，想到它的外角為 60。，如果延長(zhǎng)各邊，能得到 4個(gè) 等邊三角形，從而求得 EF AF的長(zhǎng).解答過(guò)程：向兩邊分別延長(zhǎng) AB、CD EF,如圖所示，得 PQR.因?yàn)? PAF= 180° -Z BAF= 180° 120° =60° ,同理/ AFP= 60° ,所以/ P= 60° .所以/ P= / PAF= /AFP.所以 PAF為等邊三角形.同理 BCQ DER均為等邊三角形.所以

9、 PQR也為等邊三角形.所以 CQ= BQ=BC= 8 (cm), DR= ER= DE= 6 (cm).所以 QR= 8+11+6=25 (cm),AF= PA= PQ-AB-BQ=25-2-8=15 (cm),EF= PR- PF- ER= 25156=4 (cm).所以六邊形 ABCDEF的周長(zhǎng)為2 + 8+11+6+4+15=46 (cm).解題后的思考：當(dāng)題中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角時(shí)，應(yīng)想到把它們轉(zhuǎn)到特 殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等.本題就是把AF和EF轉(zhuǎn)化成等邊三角形的邊,利用等邊三角形的性質(zhì)來(lái)求解的.小結(jié)：

10、有關(guān)多邊形的問(wèn)題，?？疾閷?duì)角線的條數(shù)，多邊形的內(nèi)角和，外角和等知識(shí)，熟記其 中蘊(yùn)含的規(guī)律性的東西，遇到這些問(wèn)題時(shí)就能迎刃而解.知識(shí)點(diǎn)二：平面鑲嵌例7.如果限定用一種正多邊形鑲嵌，在下面的正多邊形中，不能鑲嵌成一個(gè)平面的是( )A.正三角形B.正方形C正六邊形D.正八邊形思路分析：題意分析：本題考查用同種正多邊形鑲嵌平面.解題思路：當(dāng)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是360。的約數(shù)時(shí)，用這樣的正多邊形能鑲嵌平面.題目中A、B、C項(xiàng)的內(nèi)角度數(shù)均是 360°的約數(shù)，而只有 D項(xiàng)不符合，因?yàn)檎诉呅蚊?(82) X 180°個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 =135。，顯然135。不是360。的約數(shù)，所以限

11、定用正八8邊形這一種正多邊形來(lái)鑲嵌，不能鑲嵌成一個(gè)平面，故選 D.解答過(guò)程：D解題后的思考：判斷用同種正多邊形能不能進(jìn)行鑲嵌時(shí)，只需用360。除以這個(gè)正多邊形的內(nèi)角.如果能整除，就能進(jìn)行平面鑲嵌；如果不能整除，就不能進(jìn)行平面鑲嵌.例8.我們常見(jiàn)到如圖所示圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的材料鋪成的，這樣的材料能鋪成平整、無(wú)空隙的地面.(1)你能不能另外想出一個(gè)用一種多邊形(不一定是正多邊形)的材料鋪地的方案？ 把你想到的方案畫(huà)成草圖.(2)請(qǐng)你再畫(huà)出一個(gè)用兩種不同的正多邊形材料鋪地的草圖.思路分析：題意分析：這是一道平面鑲嵌的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.解題思路：解答此題時(shí)要注意觀察周圍環(huán)

12、境中的鑲嵌問(wèn)題，從中找到靈感，還要進(jìn)行多次嘗 試，善于創(chuàng)新.解答過(guò)程：(1)符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考.(2)符合要求的鋪地方案很多，下面提供幾例作為參考.解題后的思考：在實(shí)際生活中，鑲嵌平面時(shí)最常用的是四邊形， 有時(shí)也會(huì)用三角形和六邊形, 不管用什么樣的圖形，只要滿足鑲嵌的條件即可.小結(jié)：平面鑲嵌的關(guān)鍵是使拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360。.提分技巧本講我們探索歸納了幾條規(guī)律，正確利用這些規(guī)律可大大加快解題速度和準(zhǔn)確程度:1. n邊形的對(duì)角線條數(shù):n (n 3)2 . n邊形的內(nèi)角和：（n-2） - 180° , n邊形的外角和是 360° ,與

13、邊數(shù)無(wú)關(guān).3 .根據(jù)鑲嵌的定義可知，用一種相同的多邊形能否鑲嵌平面，關(guān)鍵是看這種多邊形的幾個(gè)內(nèi)角之和是否等于 360。（或180。），如圖和所示；用一種相同的正多邊形能否鑲嵌平面，關(guān)鍵是看周角 360。能否被正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)整除，如圖所示.用 多種多邊形鑲嵌平面時(shí)，如圖所示，要看兩點(diǎn)：a.拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360° （周角）；b.相鄰的多邊形有公共邊.同步測(cè)試一、選擇題1. 一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120° ,這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）條A. 5B. 6C.7D. 82.用正四邊形一種圖形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)， 它在一個(gè)頂點(diǎn)周圍的正四邊形的個(gè)數(shù)為 （）A.

14、2個(gè)B. 3個(gè)C4個(gè)D. 5個(gè)3.如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為1260。，那么它的一個(gè)外角為（)A.30°B. 36°C.40 °D, 45°4.多邊形的內(nèi)角和不可能是（）A.810°B. 540°C.1800°D, 180°5 .如果多邊形的邊數(shù)增加1,則多邊形的內(nèi)角和、外角和分別（）A.增加180° ,增加180°B.不變，增加180°C不變，不變D.增加180° ,不變6 .能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（）A.正八邊形和正方形B.正五邊形和正十邊形C正四邊

15、形和正六邊形D.正四邊形和正七邊形*7.在n邊形一邊上取一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連，可得三角形的個(gè)數(shù)為（）A. n 個(gè)B. （n 2）個(gè)C.（n1）個(gè)D.（n+1）個(gè)1 8.過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成9個(gè)三角形，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）條A. 9B. 10C. 11D. 12、填空題9 .在正六邊形 ABCDEF 中，/ A=120° , AB=2cm,則/ D=, DE =10 . 一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都是72° ,則這個(gè)多邊形是 邊形.11 . n （n為整數(shù)，且n>3）邊形的內(nèi)角和比（n+1）邊形的內(nèi)角和小 度.12 .從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共引出了5條對(duì)

16、角線，則這個(gè) n邊形是 邊形,這5條對(duì)角線把n邊形分成了 個(gè)三角形.*13.如果用三種正多邊形地磚鑲嵌地面，一個(gè)頂點(diǎn)處已有一個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形 地磚，則還需一個(gè)正 邊形地磚.*14.用正三角形與正方形兩種圖案作平面鑲嵌，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 a個(gè)正三角形和b個(gè)正方形，則 a =, b =.三、解答題15 .若一個(gè)多邊形的各邊都相等，周長(zhǎng)為 63,且內(nèi)角和為900° ,求它的邊長(zhǎng).16 .如圖所示，(1)四邊形共有 條對(duì)角線，五邊形共有 條對(duì)角線, 六邊形共有 條對(duì)角線；(2)你能說(shuō)出七邊形共有多少條對(duì)角線嗎？(3)由(1)、(2),請(qǐng)猜想n邊形的對(duì)角線的總條數(shù)，說(shuō)說(shuō)你的理由.四邊形

17、五邊形六邊形*17.將五邊形截去一個(gè)角后所得的多邊形有幾條對(duì)角線？*18.小軍在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得的內(nèi)角和為1125。，當(dāng)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了之后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)是少加了一個(gè)內(nèi)角，求：(1)這個(gè)多邊形是幾邊形?(2)這個(gè)內(nèi)角是多少度?四、拓廣探索*19.(1)填表:正多邊形3456n-正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)(2)如果限用一種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形？(3)從正三角形、正四邊(方)形、正六邊形中選一種， 再在其他正多邊形中選一種,并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種請(qǐng)畫(huà)出這兩種不同的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌的草圖, 不同的平面圖形，說(shuō)明你的理由.試題答案一、選擇題1. B

18、2. C3. C解析：因?yàn)椋╪-2） - 180° = 1260° ,解得n=9.這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相 等，每個(gè)外角也都相等.所以它的一個(gè)外角是360。+9=40。.4. A解析：用內(nèi)角和公式驗(yàn)證.5. D 解析：外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，故不變.內(nèi)角和的變化從公式（n-2） - 180°中可以看出，n增加1,內(nèi)角和增加180° .6. A 解析：正八邊形的一個(gè)內(nèi)角是135。.在一個(gè)頂點(diǎn)處，兩個(gè)正八邊形和一個(gè)正方形可拼出135。X2+90。= 360。.所以正八邊形和正方形組合能鋪滿地面.7. C 解析：可采用歸納猜想法，當(dāng) n = 3時(shí)，得三角形2個(gè)；當(dāng)n

19、 = 4時(shí)，得三角形3 個(gè)；n邊形得三角形（n1）個(gè).8. C解析：過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有角線把多邊形分成的9個(gè)三角形中，除去兩端各一個(gè)三角形，中間的7個(gè)三角形分別含有多邊形的一條邊， 兩端的三角形各含有多邊形 的兩條邊.所以多邊形的邊數(shù)是 2+7+2=11 （條）.二、填空題9. 120° , 2cm10. 正五11. 18012. 八,6解析：這5條對(duì)角線是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的，并不是所有的對(duì)角線條數(shù).13. 十二 解析：根據(jù)題意，另一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是360° 90° 120° =150° ,所以（n-2） 180= 150° x n,解得 n=12.14. 3, 2 解析：根據(jù)題意有 60° Xa + 90° x b=360° ,即 2a+3b= 12,且 a、b 為 正整數(shù),解得a=3, b = 2.三、解答題15. 解：設(shè)該多邊形有 n條邊，則（n-2） X 180。= 900° , 解得n=7.因?yàn)?63 + 7= 9,所以這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)為 9.16.