公開課橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、課題 ：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教學(xué)目標(biāo)：1知識與技能目標(biāo)：（ 1）掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.（ 2）能用橢圓的定義解決一些簡單的問題.2過程與方法目標(biāo)：（ 1）通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力 .（ 2）在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法3情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：（ 1）通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.（ 2）通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔 美” .（ 3）通過師生、生生的合作學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)主動與他人合作交流的意識 .二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ：1

2、重點(diǎn)：橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)三、教學(xué)過程（一）認(rèn)識橢圓，探求規(guī)律:1對橢圓的感性認(rèn)識 . 通過演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓 .2 通過動畫設(shè)計(jì)， 展示橢圓的形成過程， 使學(xué)生認(rèn)識到橢圓是點(diǎn)按一定 “規(guī) 律”運(yùn)動的軌跡.點(diǎn)B是線段AC上一動點(diǎn)，分別以三尸2為圓心，|AB|與|BC |為半徑做圓， 觀察兩圓交點(diǎn) M , N 的軌跡 .請同學(xué)們思考：運(yùn)動點(diǎn)I -二（1）在運(yùn)動中，哪些量是不變的，哪些ABC量是變化的？（2）能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達(dá)式/TzMX表達(dá)出來？1 6 J j（3）點(diǎn)M,N （橢圓上的點(diǎn)）是以怎樣J的規(guī)律進(jìn)行

3、運(yùn)動的？（4）用這個規(guī)律能不能畫出一個橢圓？（二）動手實(shí)驗(yàn)，親身體會用上面所總結(jié)的規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生互相合作（主要在于動手），體驗(yàn)畫橢圓的 過程（課前準(zhǔn)備直尺、細(xì)純、釘子、筆、紙板），并以此了解橢圓上的點(diǎn)的特征.請兩名同學(xué)上臺畫在黑板上.在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義， 而是設(shè)計(jì)一個實(shí)驗(yàn)，一來是 為了給學(xué)生一個創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)的機(jī)會， 讓學(xué)生體會橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律；二是通過實(shí) 踐，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備.（三）歸納定義，完善定義我們通過動畫演示，實(shí)踐操作，對橢圓有了一定的認(rèn)識，下面由同學(xué)們歸納 橢圓的定義（學(xué)生分組討論）.橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)Fi, F2的距離的和等于常數(shù)（大于|EF2|

4、二2c） 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓在歸納橢圓定義的過程中，教師根據(jù)學(xué)生回答的情況，不斷引導(dǎo)他們逐步加 深理解并完善橢圓的定義，在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“和”，“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍 等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.如：總結(jié)動畫演示中兩圓半徑之和| MF1 | | MF2 11ABi （常數(shù)）得到橢圓上 點(diǎn)M到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù).通過課件分別演示當(dāng)兩定點(diǎn)間距離等于線段 | AB |長度時的軌跡（為一條線段）和當(dāng)兩定點(diǎn)距離大于線段| AB |長度時的軌跡（不存在），由學(xué)生完善橢圓定 義中常數(shù)的范圍.ACABC運(yùn)動點(diǎn)|教師指出：兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距 .(四)合理建系，推導(dǎo)方程由學(xué)生自主提出建

5、立坐標(biāo)系的不同方法， 教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式, 把學(xué)生分成若干組，分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程，進(jìn)行比較， 從中選擇比 較簡潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程.已知橢圓的焦距IF1F2 | 2c,(c 0),橢圓上的動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)Fi,F2的距離 之和為2a,求橢圓的方程.(1)以兩個定點(diǎn)Fi,F2所在直線為X軸，線段Fl F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè) F1F2I 2c(c 0),點(diǎn)M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則P M|MF111MF2 2a (稱此式為幾何條件)，所以得 Jx c2 y2 Jx c2 y2 2a (實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化)，化簡，得 (a2 c2)x2 a2

6、y2 a2 (a2 c2)注：這是本節(jié)的難點(diǎn)所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點(diǎn)：化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法？對于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平 方？學(xué)生通過實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方， 最后能得到圓滿的結(jié)果.(2)以線段Fi F2中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)i F2所在直線為y軸建立平面直角坐 標(biāo)系，所得橢圓方程為：a2x2 (a2 c2)y2 a2(a2 c2)相比之下，其它的建系方式不夠簡潔同學(xué)們觀察右圖，當(dāng)B運(yùn)動到線段AC中點(diǎn)時，兩圓半徑相等，即| MF1 | | MF2 | a ,因 |OF1 | c ,則a2 c2 |MO|2,不妨令 a2 c

7、2 b2 ,那么(1) (2)所得的橢圓方程可化為:2 y b21, (a b 0)(D運(yùn)動直* A B C2 y_2 ab21 , (a b 0)(2)(在這里教師指出：我們剛才只是從“曲線的方程”的角度推導(dǎo)出了符合定義的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，我們還需要從“方程的曲線”的角度來說明以方程(1)(2)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(橢圓)上，這個問題留給學(xué)生課后完成.)我們稱(1) (2)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.對標(biāo)準(zhǔn)方程的理解：1 .所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo) 原點(diǎn)；2 2222.在今 1與4 三 1這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a b 0的要求，a2 b2a2 b2也就是說，

8、焦點(diǎn)在哪個軸上，哪個對應(yīng)的分式的分母就較大.(五)應(yīng)用舉例，小結(jié)升華.例1.用定義判斷下列動點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓.(1)平面內(nèi),到F1( 2,0), F2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡.(是)(2)平面內(nèi),到B(0, 2), F2(0,2)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.(不是)(3)平面內(nèi)，至I E( 2,0),F2(2,0)的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡.(不是)22例2.方程左 匕 1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a的取值范圍為：(3,) a 322例3.已知橢圓方程為、L 1,則兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（J7,0）,（ ,0）169小結(jié)：由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識和思想方法.1 .知識總結(jié)：橢圓的定義，

9、標(biāo)準(zhǔn)方程2 .思想方法總結(jié)：教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評。（六）、板書設(shè)計(jì)（略）教案的設(shè)計(jì)說明：數(shù)學(xué)教學(xué)是思維過程的教學(xué)，如何引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)過程中來， 尤其是在 思維上深層次的參與，是促進(jìn)學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)能力，全面提高素質(zhì)的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究式對培養(yǎng)和提高學(xué)生的自主性、能動性和創(chuàng)造性有著非 常重要的意義.本節(jié)借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學(xué)走進(jìn) 課堂，喚醒學(xué)生的主體意識，發(fā)展學(xué)生的主體能力，讓學(xué)生在參與中學(xué)會學(xué)習(xí)、 學(xué)會合作、學(xué)會創(chuàng)新.學(xué)生雖然對橢圓圖形有所了解，但只限于感性認(rèn)識，缺少理性的思考、探索 和創(chuàng)新，這與缺乏必要的數(shù)學(xué)思想和方法密切相關(guān) .本節(jié)課從實(shí)例出發(fā)，設(shè)計(jì)了 一對動點(diǎn)有規(guī)律的運(yùn)動作一些理性的探索和研究 .在教材處理上，大膽創(chuàng)新，根據(jù)橢圓定義的特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識能力和思 維習(xí)慣在概念的理解上，先突出“和”，在此基礎(chǔ)上再完善“常數(shù)”取值范圍 . 在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上，并不是直接給出教材中的“建系”