八年級上冊數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)：幾何常用模型

1、八年級幾何模型整理一.幾種常見的三角形角度模型1.8字模型A結(jié)論：N A+N D=N B+N Co模型分析：8字模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到【例1】如圖，線段ABCD相交于點O,連接AD、CB,我們把形如圖的圖形稱之為“8 字形:如圖，在圖的條件下，NDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點P,并且 與CD、AB分別相交于M、N,試解答下列問題：（1）在圖中，請直接寫出NA、NB、NC、ND之間的數(shù)量關(guān)系：（2）應(yīng)用（1）的結(jié)果，猜想NP與ND、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系并予以證明。2.飛鏢模型如圖所示角度結(jié)論：N D=Z A+Z B+Z Co長度結(jié)論：AB+AC >BD+

2、CD模型分析飛鏢模型往往在幾何綜合題目中推導(dǎo)角度時用到L如圖.BE 平分NABD,CF 平分/ACD.BE、CF 交于 G若NBDC=140。，NBGC=U0。，則N2 .如圖NA = 70° ,點P、0分別是NABC、ZACB的三等分線的交點，則NOPC =【例2】（1）如圖，在AABC中，ZA=50° , BP平分NABC, CP平分NACB。求NBPC 的度數(shù)：（2）如圖，若BP、CP分別為aABC的外角NABC、NECB的平分線，且NA=50° , 求NBPC的度數(shù)：（3）如圖，若CP平分NACE, BP是NABC的平分線，ZA=50°求NP?！?/p>

3、方法歸納】涉及到三角形的內(nèi)外角平分線的問題常常可借用如下三個基本圖形和基本結(jié) 論：（1）如圖，若點P是NABC和NACB的平分線的交點（即三角形兩內(nèi)角平分線相交所成的角）,則NP=90° +NA；（2）如圖，若點P是NABC和外角NACE的平分線的交點（即三角形一內(nèi)角平分線和 一外角平分線相交所成的角），則NP=NA：（3）如圖，若點P是/CBF和NBCE的平分線的交點（即三角形兩外角平分線相交所成的角）,則NP=90° -ZA.3 .問題背景：某課外學(xué)習(xí)小組在一次學(xué)習(xí)研討中，得到了如下兩個命題：如圖a,在正三角形ABC中,M、N分別是AC、AB上的點.BM與CN相交于點0

4、,若N BON=60,則 BM=CN；如圖b,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點.BM與CN相交于點0,若N BON=90,則 BM=CN；然后運用類比的思想提出了如下命題：如圖c,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點.BM與CN相交于點O,若N BON=108,則 BM=CN；任務(wù)要求：(1)請你從，,三個命題中選擇一個進行證明；(2)請你繼續(xù)完成下面的探索：i、如圖d,在正n(n> 3)邊形ABCDEF中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于 點0,試問當(dāng)NB0N等于多少度時，結(jié)論BM=CN成立?(不要求證明)ii、如圖e,在正五邊形ABCDE

5、中,M、N分別是DE、AE上的點.BM與CN相交于點O.若 NBONT08時，試問結(jié)論BM=CN是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立。請說 明理由。例1.如圖，ZkABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交于點P,若NBPC=40° ,則NCAP=o2 .如圖，在凸六邊形ABCDEF中，已知NA+NB + NC=ND+NE+NF,試證明: 該六邊形必有兩條對邊是平行的.3 .如圖所示，六邊形 ABCDEF 中，NA=ND, NB = NE, ZC=ZF,求證：AFCD.4 .如圖，求N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7 的度數(shù)。26二.角平分線模型模型1角平

6、分線上的點向兩邊作垂線 如圖，P是NMON的平分線上一點，過點P作PA1OM于點A, PBXON于點B。結(jié)論：PB=PAo模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相 等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口。模型實例1 1).如圖，CP、BP分別平分AABC的外角NBCM、NCBN.求證：點P在NBAC的平分線 上.模型2截取構(gòu)造對稱全等如圖，P是NMON的平分線上一點，點A是射線OM上任意一點，在ON上截取OB=OA,連接 PBo結(jié)論：OPBgZkOPA。M模型分析:利用角平分線圖形的對稱性，在角的兩邊構(gòu)造對稱全等三角形，可以得

7、到對應(yīng)邊、 對應(yīng)角相等。利用對稱性把一些線段或角進行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧模型實例（1）如圖所示，在AABC中，AD是4ABC的外角平分線，P是AD上異于點A的 任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由：（2）如圖所示，AD是AABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB 的大小，并說明理由。例1.如圖，已知在4ABC中，ZC=2ZB, AD平分NBAC交BC于點D, 求證：AB=AC+CDa2 .如圖，在ABC 中，ZBAC=60° , ZACB=40° , P、Q 分別在 BC、AC ±,并且 AP、BQ分別為NBA

8、C、NABC的角平分線上.求證：BQ+AQ = AB + BP模型3角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是NMO的平分線上一點，AP±OP于P點，延長AP于點Bo結(jié)論：AAOB是等腰三角形。模型分析：構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個全等的直角三 角形，進而得到對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這個模型巧妙地把角平分線和三線合一聯(lián)系了起 來模型實例如圖，已知等腰直角三角形ABC中，ZA=90° > AB=AC, BD平分NABC,CEXBD,垂足為 Eo 求證：BD=2CEo模型4角平分線+平行線如圖，P是NMO的平分線上一點，過點P作PQ/7ON,交0M于

9、點Q。結(jié)論：APOQ是等腰三角形。模型實例如圖所示，在4ABC中，EFBC,點D在EF上，BD、CD分別平分NABC、ZACB, 寫出線段EF與BE、CF有什么數(shù)量關(guān)系，三.中點模型模型1倍長中線或類中線(與中點有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形模型分析如圖，AD是4ABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,易證：AADCAEDB (SAS)o如圖，D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD,易證：AFDBAFDC (SAS)o當(dāng)遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進行轉(zhuǎn)移。模型實例如圖，在AABC中，D為BC的中點.求證：AB + AC2AD：(2

10、)若AB=5, AC = 3,求AD的取值范圍.(1).如圖.AD是4ABC的中線,E是AC上的一點,BE交AD于F,已知AC=BF,NDAC=35。，ZEBC=40<> ,則 NC=.(2),已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC,過D作交AE于點F, DF=AC.求證：AE平分(方法1：倍長AE至G,連結(jié)DG方法2：倍長FE至H,連結(jié)CH)(3),已知：如圖3, AD是aABC的中線，NBAC=/ACB,點Q在BC的延長線上，QC=BC,求證：AQ=2AD.(4).如圖，已知在4ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長AC 于點 F, AF=EFO

11、 求證：AC=BEo四.直三角形中點例1.如圖，已知NAOB=90° , OM是NAOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA, 0B交于點C, D.求證：PC=PD.例2.D為等腰斜邊AB的中點，DM1DN,DM.DN分別交BC,CA于點E.F。 當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF.若AB=2,求四邊形DECF的面積.1.已知 RtABC 中，AC=BC, ZC=90° , D 為 AB 邊的中點，ZEDF=90° , NEDF 繞 D 點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB （或延長線）于E、F.當(dāng)NEDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE_LAC于E時（如圖

12、1）,易證.+ SCEF =SABC當(dāng)NEDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否 成立？若成立，請給予證明：若不成立，Sa Scef，S.® 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請寫出你的猜想，不需證明.EI)8)c五.截長補短如圖，若證明線段AB、CD、EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補短法。截長法：如圖，在EF上截取EG=AB,再證明GF=CD即可。補短法：如圖，延長AB至H點，使BH=CD, 再證明AH=EF即可。截長補短(1) .如圖.四邊形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=60° , ZBCD=120° 求證：AC=

13、BC+DC.(2) .如圖，ZABC+ZBCD=180° , BE、CE 分別平分NABC、ZBCDo求證：AB+CD=BCc(3) .如圖，已知AABC為等邊三角形，D為BC延長線上一點，連接AD, E為AD上一點，且滿足AB=AE,連接BE,交AC于點F.求證：AD=AF+CD(4) .已知，AD為AABC的高，點H為AC的垂直平分線與BC的交點，且HC = AB如圖1,求證：ZB=2ZC： 如圖2,若AF平分NBAC,求證：AC=AB + BF： 在(2)問的條件下，求證：AC=FC + 2DF.DHD F H六.三垂直全等模型如圖，ZD=ZBCA=ZE=90° ,

14、BC=ACa 結(jié)論：RtABCDRtACAEo模型分析說到三垂直模型，不得不說一下弦圖，弦圖的運用在初中直角三角形中占有舉足輕重的地位, 很多用垂直倒角，勾股定理求邊長，相似求邊長都會用到從弦圖中支離出來的一部分幾 何圖形去求解。圖和圖就是我們經(jīng)常會見到的兩種弦圖0模型實例1 .在ABC 中，ZACB=90° , AC=BC,直線 MN 經(jīng)過點 C,且 ADLMN 于點 D, BE±MN于點E。（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，求證：DE=AD-BE：（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，線段DE

15、、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接寫出這個數(shù)量關(guān)系，不用證明。2 .如圖，ZBCA= a , CA=CB, C, E, F分別是直線CD上的三點，且NBEC=NCFA =。，請?zhí)岢鰧F, BE, AF三條線段之間數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并證明.3如圖點 C 在線段 AB 上，DA_LAB, EBXAB, FC1AB,且 DA=BC, EB=AC, FC=AB,ZAFB=51° ,則 NDFE=七.手拉手模型模型分析手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合，在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)。通常以兩個等邊三角形、兩個等腰直角三角形或兩個正方形等圖像的形式出現(xiàn)如圖，直線AB的同一側(cè)作4ABD和4BC

16、E都為等邊三角形，連接AE、CD,二者交點為Ho求證：(1) AABEADBC：(2) AE=DC：(3) ZDHA=60° ：(4) AAGBADFB：(5) AEGBACFB：(6)連接 GF, GFAC：(7)連接 HB, HB 平分NAHC“1、由正多邊形的定義知等邊三角形的三條邊都相等，每個內(nèi)角都等于60。如圖,AABC、CDE都等邊三角形。(1)試確定AE、BD之間的大小關(guān)系：(2)若把4CDE繞C點按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，上述結(jié)論仍成立嗎？請說明理由。(2)如圖.D 是aABC 外一點.AB=AC=BD+CD, ZABD=60° 求NACD 的度數(shù).如圖，A

17、 ABC 是正三角形，NADC=120" ,求證：BD=AD+CD.(4)如圖，點是等邊內(nèi)一點,將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，連接.求證：是等邊三角形：當(dāng)時，試判斷的形狀，并說明理由；探究：當(dāng)為多少度時，是等腰三角形？A八.半角模型如圖，已知：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，若NEAF=45°探究圖中 線段BE, EF, FD之間的數(shù)量關(guān)系.(1)如圖，在四邊形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=120° , NB = NADC=900 .E, F 分別 是BC, CD上的點，且NEAF=60° .探究圖中線段BE, EF, FD之間的

18、數(shù)量關(guān)系并證 明.1 .問題：如圖（1）,點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45° ,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請 你利用圖（1）證明上述結(jié)論.【類比引申】如圖（2）,四邊形ABCD中，NBADW90° , AB=AD, ZB+ZD=180° , 點E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)NEAF與NBAD滿足關(guān)系時，仍有EF=BE+FD.【探究應(yīng)用】如圖（3）,在某公園的同一水平而上，四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB =AD=80 米，Z

19、B = 60° , ZADC=120° , ZBAD=150° ,道路 BC、CD 上分別有 景點E、F, ZEAF=75°且AE_LAD, DF=40米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路, 求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：書141, 1.73）構(gòu)造等腰三角形的常用方法角平分線+平行線=等腰三角形角平分線+垂線（或高）=等腰三角形線段中垂線構(gòu)造等腰三角形將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形（1） .等腰三角形一邊上的高等于某邊的一半，則它的頂角度數(shù)為（2） .請你用三種不同的分割方法，將圖中的三個正三角形分別分割成四個等腰三角形（在圖中 畫出分割線，并標出必要的角的度數(shù)）.定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三 角形的“三階等腰線工請你在圖1,圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為36o的等腰三角形的“三階等腰線”， 并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù).（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為 同一種）.如圖3,AABC中,NB=36。.AD和DE是AABC的“三階等腰線”，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD.DE=CE,設(shè)