微分的概念性質(zhì)及應(yīng)用

1、圖2-1設(shè)此薄片的邊長為x,面積為A,則A是x的函數(shù):第二章第6節(jié):函數(shù)的微分教學目的：掌握微分的定義，了解微分的運算法則，會計算函數(shù)的微分，會利用微分作 近似計算教學重點：微分的計算教學難點：微分的定義，利用微分作近似計算教學內(nèi)容：1.微分的定義計算函數(shù)增量 y f xo x f xo是我們非常關(guān)心的。一般說來函數(shù)的增量的計算是比較復雜的，我們希望尋求計算函數(shù)增近似計算方法。先分析一個具體問題，一塊正方形金屬薄片度變化的影響，其邊長由Xo變到Xo X （圖問此薄片的面積改變了多少？A x2。薄片受溫度變化的影響時面積的改變量，可以看成是當自變量x自x°取得增量x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量

2、 A,即222A x0x x0 2x0 x x o從上式可以看出，A分成兩部分，第一部分2x0 A是A的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，而第二部分x 2在圖中是帶有交叉斜線的小正方 形的面積，當 x 0時，第二部分 x2是比x高階的無窮小，即 x2 0 x。由 此可見，如果邊長改變很微小，即 | x很小時，面積的改變量 A可近似地用第一 部分來代替。般地，如果函數(shù)y f x滿足一定條件，則函數(shù)的增量y可表示為 其中A是不依賴于 x的常數(shù)，因此A x是x的線性函數(shù)，且它與 y之差y A x 0 x ,是比x高階的無窮小。所以，當 A 0,且| x很小時，我們就可近似地用 A x來 代

3、替y。定義 設(shè)函數(shù)y fx在某區(qū)間內(nèi)有定義，x° x及x°在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù) 的增量可表示為y A x 0 x ,其中A是不依賴于 x的常數(shù)，而0 x是比x高階的無窮小，那么稱函數(shù) y f x 在點x0是可微的，而A x叫做函數(shù)y f x在點x0相應(yīng)于自變量增量 x的微分， 記作dy ,即dy A x。定理1函數(shù)f x在點x?？晌⒌某浞直匾獥l件是函數(shù) f x在點x?？蓪?，且當f x在點x0可微時，其微分一定是dy f x° x。 設(shè)函數(shù)y f x在點x°可微，則按定義有式成立。式兩邊除以 x ,得/ A 3。 xx于是，當x 0時，由上式就得到A li

4、m y f x0。 x 0 x因此，如果函數(shù)f x在點x0可微，則f x在點x0也一定可導（即f x0存在），且A f x0 o反之，如果y f x在點x0可導，即存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成X其中 0 (當x 0)。由此又有f Xoy f x0 x x o因 x 0 x ,且不依賴于 x,故上式相當于式，所以f x在點x。也是可微的。由此可見，函數(shù)f x在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)f x在點x0可導，且當f x在點x°可微時，其微分一定是dy f x0 x。例 1 設(shè) y ex cosx ,求 dy解：dy ex cosx exsinxdx微分在近似計算中的應(yīng)用：

5、在f x0 0的條件下，以微分dy f x° x近似代替增 量y f x° x f x0時，相對誤差當 x 0時趨于零。因此，在| x很小時，有 精確度較好的近似等式y(tǒng) dy o即 f x0x f x0f x0 x或 f(x) f(x°) f (x°) x特別地，當x° 0, x很小時，有f(x) f (0) f (0)x(3)(3)式是計算零點附近的函數(shù)值當| x很小時，有下列近似計算公式：例證明：% x 1 1x。(當x很小時)n令 f(x) n 1 xr增大x0值，曲增量從圖1 二11因為 f(0)1f(0)-(1 x)n |x0 nn由

6、 f(x) f (0) f (0)x故，當 x很小時，v11 x 1 -x n例2 一個充好氣的氣體，r 4ml升空后，因外面氣壓降低，氣球半徑了 10cm,求體積增加了多少？解：因為V 4 r33所以 V dv (4 r3)x 4 r2 x3例3求J42的近似值.解設(shè) f(x) Jx,取 x。 4, x 0.2 ,則所以.4.2f(4) f (4)(4.2 4) 2.05或者:2 .微分的幾何意義為了對微分有比較直觀的了解，我們來說明微分的幾何意義o在直角坐標系中，函數(shù) y f x的圖形是一條曲線。對于某一固定的線上有一個確定點 M x0, y0當自變量x有微小x時，就得到曲線上另一點 N

7、x0 x, y0y .2-2可知：MQ x ,QN y。過M點作曲線的切線，它的傾角為 ，則QP MQ tan x f x0 ,dy QP 0由此可見，當y是曲線y f x上的M點的縱坐標的增量時，dy就是曲線的切線上M點的縱坐標的相應(yīng)增量。當| x很小時，| y dy比x小得多。因此在點M 的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。3 .微分運算法則及微分公式表由dy f xdx,很容易得到微分的運算法則及微分公式表（當 u、v都可導）：du vdu dv ,d Cu Cdu ,d u vvdu udv ,u vdu udvd -2°v v微分公式表：,i.d x x dx ,d

8、sin x cosxdx ,d cosx sin xdx ,2d tan x sec xdx ,2 d cot x csc xdx ,d secx secx tan xdx ,d cscx csc x cot xdx ,d axax In adx ,d ex exdx ,.1,d log a x dx ,xln a1 d ln x - dx , xd arcsin x1dxJ x2d arccosxd arctanxd arc cotx-dx ,1 x2-dxo1 x2注：上述公式必須記牢，對以后學習積分學很有好處，而且上述公式要從右向左 背。例如:、dx xd1,x.1.dx d ax b

9、, av 1 va dx da。Ina4.復合函數(shù)微分法則與復合函數(shù)的求導法則相應(yīng)的復合函數(shù)的微分法則可推導如下:設(shè)y fu及u x都可導，則復合函數(shù)y f x的微分為dy yxdx f u x dx。由于 xdx du,所以，復合函數(shù)y f x的微分公式也可以寫成dy f u du 或 dy yudu。由此可見，無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù)， 微分形式dy f u du 保持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當變換自變量時（即設(shè) u 為另一變量的任一可微函數(shù)時），微分形式dy f u du并不改變。例4求y與的微分sin x sin xsin x角單 dy d(e ) e d sin x e cosx