2016中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第9講三角形(二)試題

1、第九講二角形（二）9. 1 直角三角形基礎(chǔ)盤點1._有一個內(nèi)角 _ 的三角形是直角三角形，直角三角形兩銳角 .2在直角三角形中，30角對的直角邊等于斜邊的 _.3直角三角形斜邊上的中線等于 _ .4.勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊為 a 和b，斜邊為 c,則，即，直角三角形_ 平方和等于_ .5._ 如果三角形三邊 a、b、c 滿足， 那么這個三角形是直角三角形.考點呈現(xiàn)考點 1 直角三角形兩銳角互余例 1 （2015 常州）如圖 1,BCLAE于點 C, CD/ AB / B= 40，則/ ECD 的度數(shù)是 （）A.70 B.60C.50D.40匚圖 1解析：由題意知， ABC 是直角三

2、角形，且/ B= 40,所以/ A=90-40= 50,再根據(jù)“兩直線平行，同位相等”可得/ ECD=ZA=50 .故選 C.評注：“直角三角形兩銳角互余”揭示了直角三角形兩銳角的關(guān)系，多與平行線的性質(zhì)結(jié)合求角的度數(shù).考點 2 含 30角的直角三角形的性質(zhì)例 2 （2015 青島）如圖 2，在 ABC 中，/ C=9C，/ B=30, ADABC 的角平分 線，DELAB 垂足為 E, DE=1,貝 U BC 等于（）A. ；B.2C.3 D.；+2圖 2解析：在 Rt BDE 中，根據(jù)“直角三角形中，30的角所對的直角邊等于斜邊的一半”， 可求得 BD=2BE=2 再根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，求

3、得CD=ED=1 所以 BC=CD+BD=3 故選 C.評注：含 30角直角三角形的性質(zhì)通常用于求三角形的邊和角，也是證明線段倍分問 題的重要依據(jù).2考點 3 直角三角形斜邊上的中線例 3 （2015 宿遷）如圖 3，在 Rt ABC 中，/ ACB=90，點 D, E, F 分別為 AB, AQ BC 的中點.若 CD=5 貝 U EF 的長為.解析：根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得AB=2BC=10 再根據(jù)三1角形中位線定理，可得 EF=AB=5，故 EF=5.2評注：若題目的條件中給出直角三角形斜邊上的中線，通常利用直角三角形的性質(zhì)求得斜邊長，從而為問題的進一步解決提供

4、必要的條件.考點 4 勾股定理例 4 （2015 西寧）如圖 4, Rt ABC 中，/ B=90 , AB=4, BC=3 AC 的垂直平分線DE 分別交 AB, AC 于 D, E 兩點，貝 U CD 的長為_.圖 4解析：先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD=AD 故 AB=BD+AD=BD+C 設(shè) CD=x 則 BD=4-x，在 Rt BCD 中，根據(jù)勾股定理可得CD2二BC2，BD2,即：=32+（ 4-x）2,解得 x=：25即 CD=.評注：在運用勾股定理解決一些問題時，常需要與方程相結(jié)合.運用方程思想，能使思路開闊，方法簡便.考點 5 勾股定理的逆定理例 5 （2015 -桂林）

5、下 列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A.30,40,50B.7,12,13C.5,9,12（D）3,4,6解析：在 A 選項中，302+402=502，所以這三條線段能組成三角形，故選A.評注：在利用勾股定理的逆定理判斷三條線段能否構(gòu)成直角三角形時，只要看較小兩 邊的平方和是否等于最長邊的平方即可.誤區(qū)點撥1 .受思維定式影響，認為 c 邊一定是斜邊3例 1 在厶 ABC 中，/ A,/ B,ZC的對邊分別是 a,b,c，若a b a_b =c2，則有 （ ）A./A為直角 B./B為直角 C./C為直角 D.不是直角三角形錯解：C剖析：錯解受定式影響，認為/C為直角，事實上，已知條件可

6、轉(zhuǎn)化為b2 c2= a2,所以/A為直角.故正確答案為 A.評注：勾股定理為了表述方便，通常設(shè)/C為直角，具體解題時，應(yīng)根據(jù)題目中給出的條件確定直角.2 .忽視分類討論致錯例 2 直角三角形兩邊長分別是 3 和 4,則第三邊長為（）A.5 B.7C. 、5D.5 或、7錯解：A剖析：條件中并沒有指出已知的兩邊是直角邊，所以應(yīng)利用分類討論的思想：當(dāng)3 和 4是直角邊時，第三邊長為5 ;當(dāng) 3 和 4 中有一邊為斜邊時，第三邊長為7，故應(yīng)選 D.評注：在解涉及直角三角形邊的問題，而題目中沒有給出圖形的情況下，要有分類討論的意識，以免造成漏解.跟蹤訓(xùn)練1.（2015 畢節(jié)）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為

7、三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是()A. .3,4 ,5B.1,、2,. 3C.6,7, 8D.2 ,3 , 42.(2015?宜 昌)如圖，AB/ CD FE1DB垂足為E,/仁 50,則/2的度數(shù)是( )A. 60B.50C.40D.303.(2015 大連)如圖，在ABC中,/C=90,AC=2,點D在BC上,/ADC2/B, AD=、5，貝 UBC的長為()A.3 1 B., 3+1 C., 5 1 D.5+1第 3 題圖44.（2015?棗莊）如圖， ABC 中，CDLAB于 D, E 是 AC 的中點.若 AD=6 DE=5 貝 U CD5.（2014 蘇州）如圖，四邊形AB

8、CD矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E,取BE的中點F，連接DF，DF=4設(shè)ABx，AD=y，貝 Ux2+（y4$的值為_ .6. （2015 -遵義）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1 ）,圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角 形拼接而成記圖中正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 MNKT 勺面積分別為 S, S2, 3若7.如圖，在RtAABC中，/C=30,以直角頂點A為圓心，AB長為半徑畫弧交BC于點D,過D作DEL AC于點E.若DE=a，則ABC的周長用含a的代數(shù)式表示為8. （2015 湘潭

9、）如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 , ACD 沿 AD 折疊，使得點 C 落在 斜邊AB 上的點 E 處.已知 AC=6 BC=8 求線段 AD 的長度.正方形 EFGH 勺邊長為2，貝 V S +S2+S3=圖（1）圖Q）第 6 題圖第 7 題圖第 5 題圖5第 8 題圖69.2 解直角三角形基礎(chǔ)盤點1.在厶 ABC 中，/c=90o 三個內(nèi)角對邊分別為 a,b,c,則有sinA =;cosA =tanA =_.2. 特殊角的三角函數(shù)值.三角函數(shù)304560si notcos atan。3. 視線與水平線方向的夾角中，視線在水平線 _的角叫做仰角，視線在水平線 _的角叫做俯角.4.

10、 如圖，把_ 與_ 的夾角叫做坡角 （如圖中的/ G ）.坡面的_ 與_ 的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示為 i=_ =_ .考點呈現(xiàn)CD Rt ACD 中，cos/ACD=cos=CD，故錯誤的應(yīng)選 C.AC評注：本題考查了銳角余弦的意義，難度不大，關(guān)鍵是弄清各個三角函數(shù)與直角三角形三邊的關(guān)系.考點 2 特殊角三角函數(shù)值例 2 (2015?平?jīng)?已知a,3均為銳角，且滿足|sina-2|+. (ta -1)2= 0,則a + B=_.解析：因為條件中給出了兩個非負數(shù)的和等于零，所以每一個非負數(shù)都等于零， 即|sina*|=0，且.（tan：-1）2=0,由此可得 sin:=1,tan：=

11、1， 故=30: =45，所以a + 3 =75.評注：本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值，求角的度數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是D,)下列用線段比表示 cos a 的A.BDB.BCC.ADD.CDBCABACACX1BCACL BC于點C, CDL AB于值，錯誤的是解析：在 Rt ABC 中,BCcos := ;在 Rt DBC 中,ABcos、: =BD ；易得/ ACD=:，在BC占八、 、考點 1 銳角三角函數(shù)例 1 （2015?麗水）如圖 1,點A為/ 邊上的任意一點，作圖 17解答本題的關(guān)鍵；同時本題也考查了“幾個非負數(shù)之和為零，則每個非負數(shù)都等于零”這一性質(zhì).考點 3 解直角三角

12、形例 3 （2015?襄陽）如圖 2, AD 是厶 ABC 的中線，tan, cosC= ,AC= .求：32BC 的長；sin / ADC 的值. BE=3AE=3 BC=BE+CE=4. / /人。人。是厶 ABC 的中線， CD= BC=2.2 DE=CD CE=1./ AE! CDADC=45 . sin /ADC=.2評注：在利用解直角三角形的知識解決斜三角形的問題時，通常需要作輔助線，構(gòu)造直角三角形，從而將問題解決.考點 4 解直角三角形的應(yīng)用例 4（2015?黔南州）如圖 3 是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是 10 米，CBLDB 坡面 AC的傾斜角為 45.為了方便行人推車

13、過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面 DC的坡度為 i= ： 3 .若新坡角下需留 3 米寬的人行道，問離原坡角（A 點處）10 米的建筑 物是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)： 匚 1.414 , 二 1.732 ）分析：本題條件中給出了一些角的三角函數(shù)值，做可考慮作輔助線，構(gòu)造直角三角形求解，過點 A 作AELBC 于點 E,即可將 ABC 分成兩個直角三角形， 并將題目中的條件充分利用起來；根據(jù) AD ABC 的中線，求出 BD 的長，得到 DE 的長，從而求得 值.sin / ADC 的解：如圖 2，過點 A 作 AELBC 于點 E,皿.，/C=45.在 Rt ACE 中，CE=AC?cos

14、C=1. AE=CE=1.在 Rt ABE中,tanB=：，即;圖 28分析：先根據(jù)題目中給出的條件，求出AB 的長，在 Rt BCD 中，根據(jù)新的坡面坡度的意義，求出 DB 的長，由 AD=DB- AB,求出 AD 的長，由 AD+3 與 10 比較即可得到結(jié)果.解：需要拆除理由如下：/ CBL AB / CAB=45 ,ABC 為等腰直角三角形， AB=BC=10 米.310噺坡面 DC 的坡度為i f；3:3，即 ，解得 DB=1O3,3 DB AD=B- AB= （10 二-10）米 7.32 米./ 3+7.32=10.32 10,.需要拆除.評注：本題考查坡度坡角問題，掌握它們的概

15、念及之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.例 5 （2015?昆明）如圖 4,兩幢建筑物AB和CD AB BD CDL BD AB=15m CD=20mAB和CD之間有一觀景池，小南在A點測得池中 噴泉處E點的俯角為 42,在C點測得E點的俯角為 45（點B、E、D在同一直線上），求兩幢建筑物之間的距離BD（結(jié)果精確到0.1m ,參考數(shù)據(jù)：sin42 0.67 ,cos42 0.74 ,tan42 0.90）.分析：在 Rt ABE 中，根據(jù)正切可求得 BE,在 Rt DEC 中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得 ED,然后根據(jù) BD=BE+ED 求解即可.解：由題意，得/ AEB=42 ,/ DEC=45 .

16、/ AB 丄 BD CDL BD在 RT ABE 中，/ ABE=90 ,AB=15 , / AEB=42 ./ AB1550/ tan / AEB= , BE= 15-0.90=.Cl I I I I ITTC45A/ 2ZI甲42盧圖 49BEtan 42”3在 Rt DEC 中，/ CDE=90,/ DECMDCE=45 ,CD=20,10 ED=CD=20 二 BD=BE+ED= +20 36.7 .3答：兩幢建筑物之間的距離 BD 約為 36.7 m .評注：本題主要考查了利用俯角解直角三角形.在利用解直角三角形的知識解決實際問題時，要借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形.誤區(qū)點撥1 題中無

17、圖漏解致錯例 1 （2015?牡丹江）在厶 ABC 中，AB=12.2 , AC=13 cos/ B=，貝 BC 邊長為（）A.17B.8C.8或 17D.7 或 17錯解：A剖析：由于題目中沒有給出圖形， 所以在解題時只畫出圖甲， 利用解直角三角形的知識 和勾股定理，可得 BD=12, CD=5 所以 BC=BD+CD=17 這便漏下了 ABC 為鈍角三角形這一 情況，正解應(yīng)分圖 6 和圖 7 兩種情況，在圖 7 中，BC=BD-CD=7 故應(yīng)選 D.圖 6圖 72 混淆概念致錯_例 2河堤橫斷面如圖 8 所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比為 1：；，則 AB 的長為（）A.12

18、B.4二米C.5 二米 D.6 二米錯解：D.剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平寬度，即圖中的 BC 與 AC 之比，即等于坡角的正切，本題錯在將坡比誤認為等于坡角的正弦.應(yīng)先根據(jù)坡比的意義，求出坡角為30,進而求得 AB=12 米，應(yīng)選 A.跟蹤訓(xùn)練1. （2015?崇左）如圖，在RtAABC中，/C= 90,AB=13,BC=12,則下列三角函 數(shù)表示正確的是（）11cosA=12C.tanA=122.（2015?慶陽）在厶 ABC 中，若角 A, B 滿足 |cosA -二|+ （1 - tanB ）2=0,則/C的2大小是（）A. 45B. 60C. 75D. 1053.（2015

19、?日照）如圖，在直角厶 BAD 中，延長斜邊 BD 到點 C,使 DC= BD,連接 AC,2若 tanB=:貝 U tan / CAD 的值為()3A.二 B. 一 C. - D. -35354.(2015?廣州)如圖，ABC中,DE是BC的垂直平分線, 若BE=9,BC=12,則 cosC=.5._（ 2015 大連）如圖，從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為 32, 底部C的俯角為 45,觀測點與樓的水平距離AD為 31m 則樓BC的高度約為 _m（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin32 0.5 , cos32 0.8 , tan32 0.6 ）6.（2015?婁底）“為了安全

20、，請勿超速”.如圖，一條公路建成通車，在某直線路段MN 限速 60 千米/小時，為了檢測車輛是否超速，在公路MN 旁設(shè)立了觀測點 C,從觀測點 C測得一小車從點 A 到達點 B 行駛了 5 秒鐘，已知/ CAN=45，/ CBN=60 , BC=200 米，此 車超速了嗎？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：匚 1.41 ,二 1.73 ）7.（2015?廣元）某學(xué)校體育看臺的側(cè)面如圖中陰影部分所示，看臺有四級高度相等的小臺階，已知看臺高為 1.6 米，現(xiàn)要做一個不銹鋼的扶手AB 及兩根與 FG 垂直且長度均為0.8 米的不銹鋼架桿 AD 和 B（桿子的低端分別為 DC）,且/ DAB=66.5 （cos66.5 0.4 ）.（1）求點 D 與點 C 的高度差 DH（2） 求所用不銹鋼材料的總長度 I （即 AD+AB+B 啲長）.第 7 題圖DE交AC于點E,連接BEBC第 5 題圖13理由：如圖