從三個微分中值定理談起

1、從三個微分中值定理談起- 對Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的課堂分析在高等數(shù)學(xué)中有三個著名的中值定理，即Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。這三個中值定理在講解時最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的美。一、三個中值定理Rolle中值定理：條件一：函數(shù)f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可微；條件二：f(a)=f(b)=0;結(jié)論：在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點x0，滿足f(x0)=0.Lagrange中值定理：條件：函數(shù)f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可微；結(jié)論：在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點x0，滿足f(x0)=f(b)-f(a

2、)/(b-a). Cauchy中值定理： 條件一：函數(shù)f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可微； 條件二：函數(shù)g（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，在區(qū)間(a,b)上可微； 條件三：g（x）在區(qū)間(a,b)上不等于零； 結(jié)論：在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在一點x0，滿足f(x0)/ g(x0)=f(b)-f(a)/ g(b)-g(a).二、三個中值定理的關(guān)系這三個定理的關(guān)系：層層遞進(jìn)，步步深入，前者是后者的特殊情形，后者是前者的推廣。1、 當(dāng)f(a)=f(b)時，前兩個中值定理是一致的。2、 當(dāng)g(x)=x時，Cauchy中值定理即為Lagrange中值定理。三、三個中值定理的條件比較三個定理的條件：

3、在開區(qū)間上可微，在閉區(qū)間上連續(xù)（三個中值定理都要求滿足的條件）。這是最本質(zhì)的。對Rolle中值定理，可以舉出一些例子來說明這兩個條件的重要性。（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)，但在開區(qū)間上不可微的例子：f(x)=|x|, a=-1,b=1.（2） 在閉區(qū)間上不連續(xù)，但在開區(qū)間上可微的例子（可以在某些習(xí)題集中找到）利用兩個典型例子來說明這兩個條件是必不可少的。 不同的條件導(dǎo)致結(jié)論的不同。四、三個中值定理的幾何解釋 Rolle中值定理：兩端位于x軸的連續(xù)光滑曲線上至少有一點的切線平行于x軸。Lagrange中值定理：連續(xù)光滑的曲線上至少有一點的切線平行于連接兩個端點的直線。Cauchy中值定理：是參數(shù)方程的

4、Lagrange中值定理。五、三個中值定理的證明Rolle中值定理要利用Format定理。Lagrange中值定理的證明最為精彩，他是典型的構(gòu)造型證明。關(guān)鍵要引出如何來構(gòu)造輔助函數(shù)（此函數(shù)滿足Rolle定理的條件）：本質(zhì)上，輔助函數(shù)是將函數(shù)f(x)減去連接曲線兩個端點的那條直線。Cauchy中值定理的構(gòu)造證明類似。構(gòu)造性證明的幾何解釋比較重要，而且用幾何圖形來解釋學(xué)生比較容易接受。六、三個中值定理的其它說明注意：三個中值定理中的中值點是存在但并不要求唯一。三個中值定理都在不同層面上刻劃了一個函數(shù)跟它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系?；蛘哒f，給出了導(dǎo)函數(shù)的一個簡單估計。三個中值定理的一個應(yīng)用是：證明某些不等式。聽了樂教授的講座以后，給我的最大啟發(fā)是：要真正用心去體會每一個細(xì)節(jié)問題，并細(xì)致地開發(fā)教學(xué)過程。例如，使用典型例子，運用類比法，通過嚴(yán)格細(xì)致的邏輯推理證明，多種教學(xué)方法綜合運用等?？傊?，