高考數(shù)學(xué)壓軸題——圓錐曲線(含詳解)2

1、高考數(shù)學(xué)140分難點(diǎn)突破訓(xùn)練圓錐曲線1. 已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率為。w.w.w.k.s.5.u.c.o.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D的軌跡方程2. 設(shè)直線與雙曲線相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn).（II）是否存在實(shí)數(shù)，使且，若存在，求的值，若不存在，說明理由.3. （理）設(shè)雙曲線C：（a0，b0）的離心率為e，若準(zhǔn)線l與兩條漸近線相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，F(xiàn)PQ為等邊三角形（1）求雙曲線C的離心率e的值；（2）若雙曲線C被直線yaxb截得的

2、弦長為求雙曲線c的方程4. 已知點(diǎn)N（1，2），過點(diǎn)N的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，且 （1）求直線AB的方程； （2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？5. 設(shè)（為常數(shù)），若，且只有唯一實(shí)數(shù)根（1）求的解析式（2）令求數(shù)列的通項(xiàng)公式。6. 已知點(diǎn)C（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）是否存在一個(gè)點(diǎn)H，使得以過H點(diǎn)的動(dòng)直線L被軌跡C截得的線段AB為直徑的圓始終過原點(diǎn)O。若存在，求出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由。7. 設(shè)為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x,y軸正方向上的單位

3、向量，若向量. (1)求點(diǎn)M（x,y）的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)(0,3)作直線與曲線C 的交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.8. 已知傾斜角為的直線過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，。（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；（3）對(duì)于平面上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，稱的最小值為與線段的距離。已知在軸上運(yùn)動(dòng)，寫出點(diǎn)到線段的距離關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。9. 如圖，已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作交x軸于點(diǎn)M，延長MP到N，使求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C的方程；設(shè)直線與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，若若線

4、段AB的長度滿足：，求直線的斜率的取值范圍。10. 在中,點(diǎn)分線段所成的比為,以、所在的直線為漸近線且離心率為的雙曲線恰好經(jīng)過點(diǎn).求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;若直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)、,且、兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.11. 經(jīng)過拋物線y的焦點(diǎn)F的直線L與該拋物線交于A,B兩點(diǎn).（1） 若線段AB的斜率為k，試求中點(diǎn)M的軌跡方程；（2） 若直線的斜率k2，且點(diǎn)M到直線3 x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍。12. 一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后，恰好穿過點(diǎn)（）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓的方程；（）設(shè)直線與橢圓的兩條準(zhǔn)線分別交于、兩點(diǎn)

5、，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) 到的距離與到橢圓右準(zhǔn)線的距離之比的最小值，并求取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)13. 已知橢圓E：，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)。（1）求的最值。（2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形面積的最大值。14. 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率滿足，成等比數(shù)列.(1)求橢圓的方程；(2)試問是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.15. 已知向量.（）求點(diǎn)的軌跡C的方程；（）設(shè)曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。16. 設(shè)直線與橢圓相交于A

6、、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，記O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）證明：； （II）若的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程.17. 如圖，已知：及點(diǎn)A，在 上任取一點(diǎn)A，連AA并作AA的中垂線l，設(shè)l與直線A交于點(diǎn)P，若點(diǎn)A取遍上的點(diǎn).（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn),且,則當(dāng)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.18. 如圖，已知：及點(diǎn) ，在 上任取一點(diǎn)，連，并作的中垂線l，設(shè)l與交于點(diǎn)P， 若點(diǎn)取遍上的點(diǎn).（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線與軌跡C相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)D.若的面積取得最大值時(shí)的橢圓方程19. 點(diǎn)A、B分別是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢

7、圓C長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方， （1）求橢圓C的的方程；（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值。20. 已知正方形的外接圓方程為，A、B、C、D按逆時(shí)針方向排列，正方形一邊CD所在直線的方向向量為(3，1)（1）求正方形對(duì)角線AC與BD所在直線的方程；（2）若頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線E經(jīng)過正方形在x軸上方的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B，求拋物線E的方程答案：1. （1）設(shè)橢圓C的方程為由題意可得：， （2）（1）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為， ， 即， 又， 又點(diǎn)

8、在直線AB上， 把代入得，點(diǎn)D的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，滿足點(diǎn)D的軌跡方程為 2. 解（I）設(shè)由 且，又以AB為直徑的圓過原點(diǎn).既 （II） 右準(zhǔn)線l的方程為：x，兩條漸近線方程為：兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，、，PFQ為等邊三角形，則有（如圖），即解得，c2a（2）由（1）得雙曲線C的方程為把把代入得依題意，且雙曲線C被直線yaxb截得的弦長為 整理得或雙曲線C的方程為：或（文）（1）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）（-31），則BC邊的垂直平分線為y1 由消去，得，故所求的ABC外心的軌跡方程為：（2）將代入得由及，得所以方程在區(qū)間，2有兩個(gè)實(shí)根設(shè)，則方程在，2上有兩個(gè)

9、不等實(shí)根的充要條件是：之得由弦長公式，得又原點(diǎn)到直線l的距離為，當(dāng)，即時(shí)，4. （1）設(shè)直線AB：代入得 （） 令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根 且 N是AB的中點(diǎn) k = 1 AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（）得 或 由得， ， CD垂直平分AB CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點(diǎn) 則， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M距離相等 A、B、C、D四點(diǎn)共圓12分5. （1）直線方程為代入得，設(shè)則 點(diǎn)的坐標(biāo)為在橢圓上即 （2）已知橢圓方程為22（1），又令得當(dāng)時(shí)得方程的實(shí)數(shù)根和 于是當(dāng)時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)根或（

10、2）當(dāng)時(shí)，令則，當(dāng)時(shí)， 為等比數(shù)列，或6. （1）設(shè)M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)則由得3st2=0又由得， 把代入得=0，即y2=4x，又x0點(diǎn)M的軌跡方程為：y2=4x（x0）（2）如圖示，假設(shè)存在點(diǎn)H，滿足題意，則設(shè)，則由可得解得又則直線AB的方程為：即把代入，化簡得令y=0代入得x=4，動(dòng)直線AB過定點(diǎn)（4，0）答，存在點(diǎn)H（4，0），滿足題意。7. (1)即點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(0,-2)、F2(0,2)的距離之和為8,點(diǎn)M（x,y）的軌跡C為以F1(0,-2)、F2(0,2)為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為. (2)由題意可設(shè)直線方程為，由消去y得：(4+3k)x2

11、 +18kx-21=0. 此時(shí)，=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立，且 由知：四邊形OAPB為平行四邊形.假設(shè)存在直線，使得四邊形OAPB為矩形，則 .因?yàn)?，所以，而，故，?所以，存在直線：，使得四邊形OAPB為矩形.8. （1）設(shè)， ， （2）設(shè)由 得， ， （3）設(shè)線段上任意一點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，。 9. (1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)則直線的方程為，令。是MN的中點(diǎn)，故，消去得N的軌跡C的方程為.(2) 直線的方程為，直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,由得， 又由得 由可得，解得的取值范圍是10. (1)由已知得即, (2)當(dāng)時(shí),(3) （

12、）,假設(shè)存在符合條件的使命題成立,則當(dāng)為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù),則,由得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),是偶數(shù),則,由得矛盾.綜合以上知,存在使得.20.解:(1)因?yàn)殡p曲線離心率為,所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程由此可得漸近線的斜率從而,又因?yàn)辄c(diǎn)分線段所成的比為,所以,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程的,所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為.由則且 由韋達(dá)定理的由題意知,所以 由、得 或11. .(1)設(shè)A(直線AB的方程為y=k(x-1) (k0),代入,得 kx-(2k+4)x+k=0設(shè)M(x ,y).則 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(消去k可得M的軌跡方程為 (2)由 d= 得 即 0,得0,即 或 故的取值范圍為 (-12. （）設(shè)的

13、坐標(biāo)為，則且解得， 因此，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 （），根據(jù)橢圓定義，得，所求橢圓方程為 （），橢圓的準(zhǔn)線方程為 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線的距離則， 令，則，當(dāng)， ， 在時(shí)取得最小值 因此，最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得說明：求得的點(diǎn)即為切點(diǎn)，的最小值即為橢圓的離心率13. （1）由得，則 則所以的最大值為25，最小值為16。（2）如圖，由及橢圓方程得A（5，0）。同理C（0，4），設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)，又AC方程為，即。所以B到AC的距離為同理得D到直線AC的距離所以四邊形ABCD最大面積。14. （1）成等比數(shù)列 設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，依

14、橢圓的定義得 即為所求的橢圓方程. （2）假設(shè)存在，因與直線相交，不可能垂直軸因此可設(shè)的方程為：由 方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為線段恰被直線平分 把代入得 解得或直線的傾斜角范圍為 15. 由題意得：（II）由得,由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即 （1）當(dāng)時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則又 .將代入得，解得, 由得 , 故所求的取值范圍是（2）當(dāng)時(shí)，16. 依題意，直線l顯然不平行于坐標(biāo)軸，故將，得 由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得，即 （II）解：設(shè)由，得因?yàn)?，代入上式，?于是，OAB的面積 其中，上式取等號(hào)的條件是由將這兩組值分別代入，均可解出所以，

15、OAB的面積取得最大值的橢圓方程是17. (1)l是線段A的中垂線，,|PA|P|=|P|P|=|=.即點(diǎn)P在以、A為焦點(diǎn)，以4為焦距，以為實(shí)軸長的雙曲線上，故軌跡C的方程為. (2)設(shè),則直線的方程為,則由,得 ,.由,得.,.由, 消去,得.,函數(shù)在上單調(diào)遞增. ,，所以 或. 故斜率的取值范圍為.18. (1)l是線段的中垂線，,|PM|+|P|=|P|+|P|=|=2m.即點(diǎn)P在以、M為焦點(diǎn)，以為焦距，以為長軸長的橢圓上，故軌跡C的方程為，即. （2）由 得將代入消去，得 由直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，得整理得，即 設(shè)由，得.而點(diǎn), ，所以，代入上式，得 于是，OAB的面積 其中，上式取等號(hào)的條件是即由可得.將及這兩組值分別代入，均可解出OAB的面積取得最大值的橢圓方程是19. （1）已知雙曲線實(shí)半軸a1=4，虛半軸b1=2，半焦距c1=，橢圓的長半軸a2=c1=6，橢圓的半焦距c2=a1=4，橢圓的短半軸=，所求的橢圓方程為 （2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由已知得 則，解之得， 由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9分（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是， 又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即 當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離 又 當(dāng)時(shí)，d取最