【T】上海市各區(qū)縣2016屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題匯編：圓錐曲線【教師版本】

1、 上海市市重點(diǎn)中學(xué)講義圓錐曲線一、填空題1、（寶山區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于 2、（崇明縣2016屆高三上學(xué)期期末）在ABC中，AN4，BC，CBA ，.若雙曲線以 AB 為實(shí)軸，且過(guò)點(diǎn)C，則的焦距為3、（奉賢區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則_4、（虹口區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）如圖，已知雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)它的右頂點(diǎn)A 作實(shí)軸的垂線，與其一條漸近線相交于點(diǎn)B ；若雙曲線C的焦距為4，為等邊三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)，即雙曲線C的中心），則雙曲線C的方程為_(kāi).5、（黃浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知，若

2、曲線與曲線無(wú)交點(diǎn)，則 6、（金山區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）以橢圓的中心為頂點(diǎn)，且以該橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是 7、（靜安區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是，則 .8、（閔行區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）點(diǎn)、均在橢圓上運(yùn)動(dòng)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為 .9、（普陀區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）設(shè)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，若到兩條漸近線的距離分別為，則_.10、（松江區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與相交于點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為若，則 11、（楊浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)

3、，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則拋物線的方程為_(kāi).二、選擇題1、（嘉定區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知圓過(guò)定點(diǎn)，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，若軸截圓所得的弦為，則等于（ ）A B C D2、（青浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且軸，若為雙曲線一、三象限的一條漸近線，則的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ）.（A） （B） （C） （D） 3、（松江區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的漸近線方程為 三、解答題1、（寶山區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線對(duì)稱（1）若已知，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，證明：；（

4、2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）2、（奉賢區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）設(shè)三個(gè)數(shù)，2，成等差數(shù)列，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的曲線方程是 (1)、求的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)、直線與曲線C相交于不同兩點(diǎn)，且滿足為鈍角，其中為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，求出的取值范圍3、（虹口區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末） 已知橢圓的左焦點(diǎn)為 短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為且為等邊三角形 . (1) 求橢圓的方程；(2) 如圖，點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi)，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為N； 過(guò)點(diǎn)M 作 軸的垂線，垂足為H，直線NH與橢圓C交于另一點(diǎn)J，若，試求以線段NJ為直徑的圓的方程；（3）已知是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，直線與圓相交

5、于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)；求面積取最大值時(shí)，直線的方程. 4、（黃浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知橢圓：（），過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、，得到平行四邊形 （1）當(dāng)為正方形時(shí)，求該正方形的面積 （2）若直線和關(guān)于軸對(duì)稱，上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和，當(dāng)為定值時(shí)，求此時(shí)直線和的斜率及該定值 （3）當(dāng)為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時(shí)，求，滿足的關(guān)系式5、（嘉定區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若軌跡上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（）的距離的最小值為，求的值（3）設(shè)點(diǎn)、是軌跡上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線、與軌跡的另一交點(diǎn)分別為、，且直線、

6、的斜率之積等于，問(wèn)四邊形的面積是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由6、（金山區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，設(shè)點(diǎn) 是橢圓上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為(1) 若直線互相垂直，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 若直線的斜率都存在，并記為，求證：7、（靜安區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）設(shè)P1和P2是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為M，直線P1P2不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O. (1)若直線P1P2和直線OM的斜率都存在且分別為k1和k2，求證:k1k2=；(2)若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，1) ，直線OM的斜率為，求由四點(diǎn)P1、 F1、P2、F2所圍成四邊形P1 F

7、1P2F2的面積. 8、（閔行區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末） 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合（1）求橢圓的方程；（2）斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，的面積為，求的值； （3）若直線過(guò)點(diǎn)（），且與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的縱截距為，證明：為定值.9、（浦東新區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)、直線，我們稱為點(diǎn)到直線的方向距離。（1）設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)到直線的方向距離分別為，求的取值范圍。（2）設(shè)點(diǎn)、到直線：的方向距離分別為、，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，說(shuō)明理由。（3）已知直線：和

8、橢圓：（），設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為、滿足，且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為，試比較的長(zhǎng)與的大小。10、（普陀區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）如圖，橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且.（1）計(jì)算的值；（2）求的面積.11、（青浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，以為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且橢圓上存在點(diǎn)滿足，求的值12、（松江區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為, 曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足又曲線上的點(diǎn)A、B滿

9、足（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)A在第一象限，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）求證：原點(diǎn)到直線AB的距離為定值13、（徐匯區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）已知直線、與曲線分別相交于點(diǎn)、和、，我們將四邊形稱為曲線的內(nèi)接四邊形（1） 若直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，求的值；（2） 若直線與圓分別交于點(diǎn)、和、，求證：四邊形為正方形；（3） 求證：橢圓的內(nèi)接正方形有且只有一個(gè)，并求該內(nèi)接正方形的面積14、（楊浦區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末）如圖，曲線由兩個(gè)橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，稱曲線為“貓眼曲線”.（1）若貓眼曲線過(guò)點(diǎn)，且的公比為，求貓眼曲線的方程；（2） 對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為

10、且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為，求證：為與無(wú)關(guān)的定值；（3） 若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求面積的最大值.參考答案：填空題參考答案：1、2、83、4、5、6、y2=12x7、18、9、10、11、選擇題參考答案：1、A2、D3、A解答題參考答案1、解：（1）設(shè)則, 于是= -2分 因, 所以，當(dāng)時(shí)，.即 -4分（2）由題意知，可設(shè)直線的方程為. -5分由消去，得. -7分因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以,，即-8分將中點(diǎn) -9分代入直線方程解得由得或 -10分（3）令，即，則 -11分且到直線的距離

11、為 -12分設(shè)的面積為，所以 -14分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故面積的最大值為. -16分2、（1）、依題意： 1分 所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線方程是橢圓 2分 3分 4分 5分 6分（2）、聯(lián)立方程組消去，得 7分 8分 9分設(shè) 得 10分方法一 可計(jì)算 11分由為鈍角，則， 12分所以 13分 14分方法二或者 11分 12分所以 13分 14分3、解：（1）由題意，得 (2分) 故橢圓C的方程為 (4分)（2）設(shè)則由條件，知從而 于是由再由點(diǎn)M在橢圓C上，得所以 (6分)進(jìn)而求得直線NH的方程: 由 (8分)進(jìn)而 因此以線段NJ為直徑的圓的方程為： (10分) （3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與橢圓

12、C相切于點(diǎn)A，不合題意；當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，可以求得 (12分)當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為則點(diǎn)O到直線的距離為從而由幾何意義，得由于故直線的方程為可求得它與橢圓C的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為于是 (15分) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取等號(hào). 因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，；此時(shí)直線的方程為： （也可寫成 ） (18分)4、解（1）因?yàn)闉檎叫危灾本€和的方程為和（1分）點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解，將代入橢圓方程，解得根據(jù)對(duì)稱性，可得正方形的面積（4分）（2）由題設(shè)，不妨設(shè)直線的方程為（），于是直線的方程為設(shè)，于是有，又，（6分），將代入上式，得，（8分）對(duì)于任意，上式為定值，必有，即，（9分）因此，直線和的斜率分

13、別為和，此時(shí)（10分）（3）設(shè)與圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，于是切線的方程為 點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解 當(dāng)或時(shí)，均為正方形，橢圓均過(guò)點(diǎn)，于是有（11分） 當(dāng)且時(shí)，將代入，整理得，于是，（13分）同理可得（15分）因?yàn)闉榱庑危?，得，即，?6分）于是，整理得，由，得，即（18分）綜上，滿足的關(guān)系式為5、（1）設(shè)，由題意， （2分）化簡(jiǎn)得， （3分）所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為 （4分）（2）設(shè)，則， （2分）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，解得，此時(shí)，故舍去 （4分）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，解得，或（舍） （6分）綜上，（3）解法一：設(shè)，則由，得，（1分），因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 （2分）

14、當(dāng)時(shí)，則四邊形為矩形，則，由，得，解得， （3分）當(dāng)時(shí)，直線的方向向量為，直線的方程為，原點(diǎn)到直線的距離為所以，的面積， 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，（4分）所以，所以所以，四邊形的面積為定值 （6分）解法二：設(shè)，則，由，得， （1分）因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 （2分）直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，的面積， （3分）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，（4分）所以， ，所以所以，四邊形的面積為定值 （6分）解法三：設(shè)，則，由，得， （1分）因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)得 （2分）的面積， （3分）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，四邊形的面積，（4分）所以，所以，所以所以，四邊形的面積為定值

15、 （6分）6、解：(1)由題意得：圓的半徑為，因?yàn)橹本€互相垂直，且與圓相切，所以四邊形OPRQ為正方形，故，即 3分又在橢圓C上，所以5分由及在第一象限，解得,7分(2)證明：因?yàn)橹本€OP：y=k1x，OQ：y=k2x均與圓R相切，8分所以，化簡(jiǎn)得同理有10分所以k1、k2是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，11分又因?yàn)樵跈E圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=014分7、(1)解法1：設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線P1P2方程為，代入雙曲線方程得：. 設(shè) P1坐標(biāo)為，P2坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為M (x,y),則， ，所以，k1k2=。另解：設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中點(diǎn)M (x,y),則

16、且（1）-（2）得：。因?yàn)?直線P1P2和直線OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)¹0，等式兩邊同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：即k1k2=。6分（2）由已知得,求得雙曲線方程為， 直線P1 P2斜率為， 直線P1 P2方程為, 代入雙曲線方程可解得 (中點(diǎn)M坐標(biāo)為. 面積. 另解: 線段P1 P2中點(diǎn)M在直線上.所以由中點(diǎn)M(x,y),可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為,代入雙曲線方程可得,即，解得（），所以。面積.8、解（1）設(shè)橢圓的方程為，由題設(shè)得，2分，橢圓的方程是 4分（2）設(shè)直線，由得 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則 6分到的距離，又, ，故 10分（3），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)

17、為，則直線，設(shè)得直線，設(shè)得14分，又，16分9、解答：（1）由點(diǎn)在橢圓上，所以由題意、，于是2分又得，即4分（也可以先求出，再利用基本不等式易得）（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，滿足題設(shè)，由題意，于是6分對(duì)任意的都成立只要即可，所以故存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的都有成立。9分（學(xué)生通過(guò)聯(lián)想，判斷直線是橢圓的切線，又證明從而得到也給分）（3）設(shè)的坐標(biāo)分別為、，于是、于是又，即12分所以綜上14分10、11、解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，即 又橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，所以設(shè)橢圓方程為,且 又以為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切即,所以橢圓的方程是（2）設(shè)， 又， 即在橢圓上,即 12、解（1）由，

18、知，曲線E是以C、D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓， 1分設(shè)其方程為，則有，曲線E的方程為 3分 （2）設(shè)直線OA的方程為，則直線OB的方程為由 得，解得.4分同理，由則 解得. 5分由 知，即 6分解得，因點(diǎn)A在第一象限，故， 7分此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 8分（3）設(shè)，當(dāng)直線AB平行于坐標(biāo)軸時(shí)，由知A、B兩點(diǎn)之一為與橢圓的交點(diǎn)，由解得 此時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為10分當(dāng)直線AB不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程， 由 得 12分由 得即 因 14分代入得 即15分 原點(diǎn)到直線AB的距離 16分13、解：（1）由于直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圓心到直線的距離為，同理，-4分（2）由題知，直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)，所以，故四邊形為平行四邊形.易知，點(diǎn)在對(duì)角線上.聯(lián)立解得，由得，所以，于是，因?yàn)椋运倪呅螢檎叫?-9分（3） 證明：假設(shè)橢圓存在內(nèi)接正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線、的方程為，因?yàn)樵跈E圓上，所以，由四邊形為正方形，易知，直線、的方程為，正方形的面積.-12分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線、的方程分別為，顯然.設(shè)，聯(lián)立得，所以代人，得，同理可得，因?yàn)闉檎叫危越獾靡驗(yàn)?，所以，因此，直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以原點(diǎn)為正方形的