一師一優(yōu)課《反證法》教學設計

1、1反證法教學設計學情分析：綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，是解決數(shù) 學問題時常用的思維方式。反證法是間接證明的一種基本方法，但反證法的應用需要逆向思維，是學習和掌握中的一個難點，所以本節(jié)課的重點是使學生在動腦思考，動手證明的過程中體會這種證明 方法的內涵，建立應用反證法的感覺。教學目的：1 1 知識技能：了解反證法，掌握反證法證題的過程。2 2、過程方法：通過學生裝的獨立思考、交流合作，讓學生經歷問題解決的過程，體驗解決問題策略的多樣性。3 3、情感態(tài)度：讓學生感悟數(shù)學與日常生活的聯(lián)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。重點難點：反證法證明命題的過程教學方法：互動式教學教學過程：（一）

2、情景激疑 理解領會：音頻播放：相傳在古代有一個賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去 對國有功，采用了一個由命運來最后裁定的辦法，用兩張紙片，一張上寫活字， 一張上寫死字，處決前由它來抽，抽到活字可赦免，而奸臣陰險歹毒，命人用兩 張紙片上都寫上死字，湊巧這個詭計被賢臣的朋友知道了， 悲痛地告訴了他，并 表示要和他一起揭露奸臣的陰謀，這個賢臣想了想，高興地說：“我有救了！” 提問：請你們猜猜他的辦法是什么？音頻播放：他叫這個朋友不要聲張，處決前抽紙片時，只見他抽出一張紙 片誰也不讓看就吞了下去，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片是什么字了。 剩下的字無疑 是個“死”字，于2是這個賢臣就被赦免了。提問：賢臣為

3、什么能死里逃生？預設：賢臣反面考慮問題，“死”字的反面是“生”字。導入課題：這就是反面思考問題的威力，能在最后危機時刻挽救一個生命， 這也 是這位賢臣的智慧，智慧的力量是龐大的，在當?shù)厣鐣?，人需要智慧，國家需?智慧，個人的成功和國家的強大都離不開智慧的支撐，這節(jié)課我們就來學習這種反面解決問題的智慧，這就是我們今天要學習的“反證法”。（板書課題） 設計意圖：從小故事入手，不僅能激發(fā)學生的興趣，也能更好的說明反證法的推 理思想。（二）合作探究體驗發(fā)現(xiàn)一一認識反證法問題 1 1:請同學們嘗試證明命題1一個三角形中不可能有兩個直角。2已知：在 ABCABC 中, A A 盼 AC,AC,求證：/ B

4、 B 工/ C C ”。2 2 23在 ABCABC 中, AB=cAB=c BC=aBC=a AC=b,AC=b,ZCM9090 ”，請問結論a+b+b 成 立嗎？請說明理由。（課件演示，學生分組討論交流）問題 2 2：證明一個命題的方法可以正面直接證明，還可以如何證明？小結：沒有從正去證明，而是從結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立， 這樣的證明方法叫做反證法。反證法定義：假設命題結論的反面成立，從這個假設出發(fā)，經過推理得出與已知 事實(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結果，證明結論否定 不成立，間接肯定原命題的結論成立的證明方法叫做反證法。問題 3 3：: :通過以上

5、幾個練習，大家已經初步體會到反證法的作用，小組討論總3結應用反證法的步驟。小結：證明步驟：1反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立。2找矛盾：從假設出發(fā)，經過正確的推理證明，得出矛盾。3結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。設計意圖： 讓學生感受到了反證法處處可在，也從這些具體的例子中更加熟悉反證法的步驟。問題 3 3：這些步驟中，你認為哪個步驟最重要？小結：在這三個步驟中，最重要的是第一步，如果找不到問題的反面，證明就沒 有力度，同學們在運用反證法的時候要注意這個問題。其次是第二步，要從假設出發(fā)找出矛盾。下面我們一起來練習：寫出下列各結論的反面：(1) a/ba/b(

6、2) a a 0 0(3) b b 是正數(shù)(4) 至多有一個(5) 至少有一個設計意圖： 讓學生在體驗、探究中學到了知識，體現(xiàn)了學生的主體地位。(三) 反思提煉 加深認識1典例分析例 1 1:已知：如圖，在 ABCABC 中若/ C C 是直角,求證：/ B B 一定是銳角. .教學活動：學生討論完成。設計意圖： 學生直接證明可能存在困難，但以填空形式出示學生能較好的理解4并完成證明過程。例 2 2:求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于6060 。教學活動：學生獨立思考，在練習本上完成。例 3 3:若 alal、a2a2、a3a3、a4a4、a5a5 都是實數(shù)，且 a1+a2+a3+

7、a4+aa1+a2+a3+a4+a& 1 1 試說明這五個數(shù)中至少有一個大于或等于 1/51/5。教學活動：讓學生分組討論，合作完成第三個命題證明，熟練反證法的證明過程。設計意圖：對不同的形式的命題做反設，進一步熟練反證法證。2、應用反證法的情形：提問： 完成了這么多反證法的練習， 請同學們總結， 哪些命題會用反證法？ 的情形？應用反證法的情形：1直接證明困難；2需分成很多類進行討論.3結論為“至少”、“至多”、“有無窮多個” - -類命題；4結論為“唯一”類，存在性命題；存在無窮多個質數(shù)5否定類命題：設計意圖：對不同的形式的命題做反設，為證明中的反設步驟鋪墊，突破第一個 難點，突出歸

8、謬矛盾的不同種類。53、常用護互為否定的表述形式設計意圖：反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表 述形式是有必要的。（四）舉一反三學以致用諸葛亮與反證法。視頻播放：三國時代，諸葛亮屯兵陽平時，派大將魏延領兵去攻打魏國， 只留下少數(shù)老弱軍士守城，不料魏國大都督司馬懿率大隊兵馬殺來， 諸葛亮冷靜 思考之后，傳令打開城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺 好香案，端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲優(yōu)雅。司馬懿來到城前，見此情景，心中疑 惑，他想：“諸葛亮一生聰明過人，謹慎有余，從不冒險。今天如此這般，與其 一生表現(xiàn)矛盾，恐怕城內必有伏兵，故意誘我入城，決不中計也！ ”于是急

9、令退 兵。這就是家喻戶曉的“空城計”。展開討論：諸葛亮面臨的問題是什么？從正面考慮該如何解決這個問題？諸葛亮是如何考慮的？點評：諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解決用直接或正面的 方法（用少數(shù)老弱軍士去拼殺）很難或根本無法解決的問題，諸葛亮利用了司馬 懿的心理上的矛盾，正面詞等于大于小于是都是至少一個至多 n n 個否定不等于不大于（小于或等于）不不小于（大于或等于）不不是不都是一個也沒有至少（n n+1+1）個教學活動：學生口答完成至6才以“不守城”來達到暫時“守住城”的目的。這就是家喻 戶曉的“空城計”。教學活動：兩位學生講述三國中應用反證法的故事草船借箭、曹操敗走好華容道。

10、設計意圖：學生生動幽默地將講述諸葛亮應用反證法的故事，課堂反應熱烈。（五）矢志不渝一一情系反證法導入：我們在感受反證法的快捷、方便的同時，不能忘記那些利用反證法作出突 出貢獻的科學家，讓我們一起來認識矢志不渝一一情系反證法的俄國科學家 羅巴 切夫斯基。老師講解：非歐幾何是人類認識史上一個富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立帶來了近百年來數(shù)學的巨大進步，對現(xiàn)代物理學、天文學都產生了深遠的影響。 但是，這一重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基在 18151815 年提出后相當長的一段時間 內，不但沒能贏得社會的承認和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，羅巴切 夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者， 就連非歐幾何的另

11、一位發(fā)現(xiàn)者“歐洲數(shù)學 之王”德國的高斯也由于害怕新幾何會激起學術界的不滿和社會的反對，不肯公開支持他的工作。其實，憑高斯在數(shù)學界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切 夫斯基的壓力，促進學術界對非歐幾何的公認。 然而，在頑固的保守勢力面前他 卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴重限制了他在非歐幾何研 究上所能達到的高度，而且客觀上也助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊，晚年的羅巴切夫斯基身體變得越來越多病， 眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見 了，他在苦悶和抑郁中度過生命的最后一段路程。然而，歷史是最公允的，因為 它終將會對各種思想、觀點和見解作出正確的評價。他去世8 8 年后，1868

12、1868 年，非歐幾何得到學術界的高度評價和一致贊美，這時的羅巴切夫斯基則被人們贊譽 為“幾何學中的哥白尼”。提問：通過講述上面的故事，同學們有什么感觸？預設：我們了解了反證法背后的辛酸歷史， 學習數(shù)學家堅持真理畏權勢、 鍥而不 舍的奮7斗精神。小結：在科學探索的征途中，一個人經得住一時的挫折和打擊并不難， 難的是勇 于長期甚至終生在逆境中奮斗。我們在學習數(shù)學知識的同時，更應該學習數(shù)學家 的這種品質，這也是我們學習數(shù)學的真諦。（六）課堂小結知識升華1、 反證法定義2、 反證法步驟（七）走出課堂聯(lián)系生活小結：正難則反，直接的思路較抽象較困難時，其反面就會較具體較容易，它不 僅能體現(xiàn)出證明者的智慧，還能體現(xiàn)出數(shù)學的概括性和美麗！反證法是數(shù)學中一 種應用廣泛的證明方法，它能訓練我們的逆向思維，培養(yǎng)我們思維的嚴密性，促 進我們數(shù)學思維的形成，只要我們正確熟練運用，就能做到精巧、直接、巧解難 題、說理