一師一優(yōu)課《反證法》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1反證法教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析：綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，是解決數(shù) 學(xué)問題時(shí)常用的思維方式。反證法是間接證明的一種基本方法，但反證法的應(yīng)用需要逆向思維，是學(xué)習(xí)和掌握中的一個(gè)難點(diǎn)，所以本節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生在動(dòng)腦思考，動(dòng)手證明的過程中體會(huì)這種證明 方法的內(nèi)涵，建立應(yīng)用反證法的感覺。教學(xué)目的：1 1 知識(shí)技能：了解反證法，掌握反證法證題的過程。2 2、過程方法：通過學(xué)生裝的獨(dú)立思考、交流合作，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性。3 3、情感態(tài)度：讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。重點(diǎn)難點(diǎn)：反證法證明命題的過程教學(xué)方法：互動(dòng)式教學(xué)教學(xué)過程：（一）

2、情景激疑 理解領(lǐng)會(huì)：音頻播放：相傳在古代有一個(gè)賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去 對(duì)國有功，采用了一個(gè)由命運(yùn)來最后裁定的辦法，用兩張紙片，一張上寫活字， 一張上寫死字，處決前由它來抽，抽到活字可赦免，而奸臣陰險(xiǎn)歹毒，命人用兩 張紙片上都寫上死字，湊巧這個(gè)詭計(jì)被賢臣的朋友知道了， 悲痛地告訴了他，并 表示要和他一起揭露奸臣的陰謀，這個(gè)賢臣想了想，高興地說：“我有救了！” 提問：請(qǐng)你們猜猜他的辦法是什么？音頻播放：他叫這個(gè)朋友不要聲張，處決前抽紙片時(shí)，只見他抽出一張紙 片誰也不讓看就吞了下去，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片是什么字了。 剩下的字無疑 是個(gè)“死”字，于2是這個(gè)賢臣就被赦免了。提問：賢臣為

3、什么能死里逃生？預(yù)設(shè)：賢臣反面考慮問題，“死”字的反面是“生”字。導(dǎo)入課題：這就是反面思考問題的威力，能在最后危機(jī)時(shí)刻挽救一個(gè)生命， 這也 是這位賢臣的智慧，智慧的力量是龐大的，在當(dāng)?shù)厣鐣?huì)，人需要智慧，國家需要 智慧，個(gè)人的成功和國家的強(qiáng)大都離不開智慧的支撐，這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)這種反面解決問題的智慧，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的“反證法”。（板書課題） 設(shè)計(jì)意圖：從小故事入手，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，也能更好的說明反證法的推 理思想。（二）合作探究體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)一一認(rèn)識(shí)反證法問題 1 1:請(qǐng)同學(xué)們嘗試證明命題1一個(gè)三角形中不可能有兩個(gè)直角。2已知：在 ABCABC 中, A A 盼 AC,AC,求證：/ B

4、 B 工/ C C ”。2 2 23在 ABCABC 中, AB=cAB=c BC=aBC=a AC=b,AC=b,ZCM9090 ”，請(qǐng)問結(jié)論a+b+b 成 立嗎？請(qǐng)說明理由。（課件演示，學(xué)生分組討論交流）問題 2 2：證明一個(gè)命題的方法可以正面直接證明，還可以如何證明？小結(jié)：沒有從正去證明，而是從結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立， 這樣的證明方法叫做反證法。反證法定義：假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理得出與已知 事實(shí)(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結(jié)果，證明結(jié)論否定 不成立，間接肯定原命題的結(jié)論成立的證明方法叫做反證法。問題 3 3：: :通過以上

5、幾個(gè)練習(xí)，大家已經(jīng)初步體會(huì)到反證法的作用，小組討論總3結(jié)應(yīng)用反證法的步驟。小結(jié)：證明步驟：1反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。2找矛盾：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理證明，得出矛盾。3結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生感受到了反證法處處可在，也從這些具體的例子中更加熟悉反證法的步驟。問題 3 3：這些步驟中，你認(rèn)為哪個(gè)步驟最重要？小結(jié)：在這三個(gè)步驟中，最重要的是第一步，如果找不到問題的反面，證明就沒 有力度，同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用反證法的時(shí)候要注意這個(gè)問題。其次是第二步，要從假設(shè)出發(fā)找出矛盾。下面我們一起來練習(xí)：寫出下列各結(jié)論的反面：(1) a/ba/b(

6、2) a a 0 0(3) b b 是正數(shù)(4) 至多有一個(gè)(5) 至少有一個(gè)設(shè)計(jì)意圖： 讓學(xué)生在體驗(yàn)、探究中學(xué)到了知識(shí)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。(三) 反思提煉 加深認(rèn)識(shí)1典例分析例 1 1:已知：如圖，在 ABCABC 中若/ C C 是直角,求證：/ B B 一定是銳角. .教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生討論完成。設(shè)計(jì)意圖： 學(xué)生直接證明可能存在困難，但以填空形式出示學(xué)生能較好的理解4并完成證明過程。例 2 2:求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060 。教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，在練習(xí)本上完成。例 3 3:若 alal、a2a2、a3a3、a4a4、a5a5 都是實(shí)數(shù)，且 a1+a2+a3+

7、a4+aa1+a2+a3+a4+a& 1 1 試說明這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于 1/51/5。教學(xué)活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論，合作完成第三個(gè)命題證明，熟練反證法的證明過程。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)不同的形式的命題做反設(shè)，進(jìn)一步熟練反證法證。2、應(yīng)用反證法的情形：提問： 完成了這么多反證法的練習(xí)， 請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)， 哪些命題會(huì)用反證法？ 的情形？應(yīng)用反證法的情形：1直接證明困難；2需分成很多類進(jìn)行討論.3結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)” - -類命題；4結(jié)論為“唯一”類，存在性命題；存在無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)5否定類命題：設(shè)計(jì)意圖：對(duì)不同的形式的命題做反設(shè)，為證明中的反設(shè)步驟鋪墊，突破第一個(gè) 難點(diǎn)，突出歸

8、謬矛盾的不同種類。53、常用護(hù)互為否定的表述形式設(shè)計(jì)意圖：反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表 述形式是有必要的。（四）舉一反三學(xué)以致用諸葛亮與反證法。視頻播放：三國時(shí)代，諸葛亮屯兵陽平時(shí)，派大將魏延領(lǐng)兵去攻打魏國， 只留下少數(shù)老弱軍士守城，不料魏國大都督司馬懿率大隊(duì)兵馬殺來， 諸葛亮冷靜 思考之后，傳令打開城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺 好香案，端坐彈琴，態(tài)度從容，琴聲優(yōu)雅。司馬懿來到城前，見此情景，心中疑 惑，他想：“諸葛亮一生聰明過人，謹(jǐn)慎有余，從不冒險(xiǎn)。今天如此這般，與其 一生表現(xiàn)矛盾，恐怕城內(nèi)必有伏兵，故意誘我入城，決不中計(jì)也！ ”于是急

9、令退 兵。這就是家喻戶曉的“空城計(jì)”。展開討論：諸葛亮面臨的問題是什么？從正面考慮該如何解決這個(gè)問題？諸葛亮是如何考慮的？點(diǎn)評(píng)：諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解決用直接或正面的 方法（用少數(shù)老弱軍士去拼殺）很難或根本無法解決的問題，諸葛亮利用了司馬 懿的心理上的矛盾，正面詞等于大于小于是都是至少一個(gè)至多 n n 個(gè)否定不等于不大于（小于或等于）不不小于（大于或等于）不不是不都是一個(gè)也沒有至少（n n+1+1）個(gè)教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生口答完成至6才以“不守城”來達(dá)到暫時(shí)“守住城”的目的。這就是家喻 戶曉的“空城計(jì)”。教學(xué)活動(dòng)：兩位學(xué)生講述三國中應(yīng)用反證法的故事草船借箭、曹操敗走好華容道。

10、設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生生動(dòng)幽默地將講述諸葛亮應(yīng)用反證法的故事，課堂反應(yīng)熱烈。（五）矢志不渝一一情系反證法導(dǎo)入：我們?cè)诟惺芊醋C法的快捷、方便的同時(shí)，不能忘記那些利用反證法作出突 出貢獻(xiàn)的科學(xué)家，讓我們一起來認(rèn)識(shí)矢志不渝一一情系反證法的俄國科學(xué)家 羅巴 切夫斯基。老師講解：非歐幾何是人類認(rèn)識(shí)史上一個(gè)富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立帶來了近百年來數(shù)學(xué)的巨大進(jìn)步，對(duì)現(xiàn)代物理學(xué)、天文學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。 但是，這一重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基在 18151815 年提出后相當(dāng)長的一段時(shí)間 內(nèi)，不但沒能贏得社會(huì)的承認(rèn)和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，羅巴切 夫斯基始終沒能遇到他的公開支持者， 就連非歐幾何的另

11、一位發(fā)現(xiàn)者“歐洲數(shù)學(xué) 之王”德國的高斯也由于害怕新幾何會(huì)激起學(xué)術(shù)界的不滿和社會(huì)的反對(duì)，不肯公開支持他的工作。其實(shí)，憑高斯在數(shù)學(xué)界的聲望和影響，完全有可能減少羅巴切 夫斯基的壓力，促進(jìn)學(xué)術(shù)界對(duì)非歐幾何的公認(rèn)。 然而，在頑固的保守勢(shì)力面前他 卻喪失了斗爭的勇氣。高斯的沉默和軟弱表現(xiàn)，不僅嚴(yán)重限制了他在非歐幾何研 究上所能達(dá)到的高度，而且客觀上也助長了保守勢(shì)力對(duì)羅巴切夫斯基的攻擊，晚年的羅巴切夫斯基身體變得越來越多病， 眼睛逐漸失明，最后終于什么也看不見 了，他在苦悶和抑郁中度過生命的最后一段路程。然而，歷史是最公允的，因?yàn)?它終將會(huì)對(duì)各種思想、觀點(diǎn)和見解作出正確的評(píng)價(jià)。他去世8 8 年后，1868

12、1868 年，非歐幾何得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，這時(shí)的羅巴切夫斯基則被人們贊譽(yù) 為“幾何學(xué)中的哥白尼”。提問：通過講述上面的故事，同學(xué)們有什么感觸？預(yù)設(shè)：我們了解了反證法背后的辛酸歷史， 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家堅(jiān)持真理畏權(quán)勢(shì)、 鍥而不 舍的奮7斗精神。小結(jié)：在科學(xué)探索的征途中，一個(gè)人經(jīng)得住一時(shí)的挫折和打擊并不難， 難的是勇 于長期甚至終生在逆境中奮斗。我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家 的這種品質(zhì)，這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真諦。（六）課堂小結(jié)知識(shí)升華1、 反證法定義2、 反證法步驟（七）走出課堂聯(lián)系生活小結(jié)：正難則反，直接的思路較抽象較困難時(shí)，其反面就會(huì)較具體較容易，它不 僅能體現(xiàn)出證明者的智慧，還能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的概括性和美麗！反證法是數(shù)學(xué)中一 種應(yīng)用廣泛的證明方法，它能訓(xùn)練我們的逆向思維，培養(yǎng)我們思維的嚴(yán)密性，促 進(jìn)我們數(shù)學(xué)思維的形成，只要我們正確熟練運(yùn)用，就能做到精巧、直接、巧解難 題、說理