平面向量知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

1、平面向量一.向量有關(guān)概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示， 注意不能說向量就是有向線段 ，為什么？(向量可以平移)。uuur如:已知A( 1,2 ), B(4,2 ),則把向量AB按向量a = (- 1,3 )平移后得到的向量是 (答：(3,0 )2. 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；uuuuuu3. 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線的單位向量是 AU );|AB|4. 相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量(也叫共線向量)：方向相同或

2、相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a / b , 規(guī)定零向量和任何向量平行 。提醒： 相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線 ，但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性！(因?yàn)橛?)；uuu uUr 三點(diǎn) A B、C共線 AB AC共線；6. 相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如：下列命題：(1)若a b，則a b。(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相uuu uuruuu uiur同。(3若AB DC，則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是

3、平行四邊形，則 AB DC。(5)若 a b, b c，則 a c。(6)若 a/b,b/c，貝U a/ c。其中正確的是 (答：(4) ( 5) 二.向量的表示方法：AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；a , b , c 等；x軸、y軸方向相同的兩個單位向量Fx, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo),i , j為基底，*a = x,y叫做則平面內(nèi)的任一向量 a可表示為a xi yj幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與向量a的坐標(biāo)表示。如果 向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。.平面向量的基本定理 ：

4、如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a= 1 e 1 + 2匕。如(1) 若 a (1,1)b(1, 1),c ( 1,2)，則 c (答：ia爭)；ITururuuA.e(0,0), e2(1, 2)B.e1(1,2),Q(5,7)itururuu1 3C.e(3,5),e2(6,10)D.e1(2, 3)©(2,；UUIT UUU(3)已知AD, BE分別是ABC的邊BC,AC上的中線，(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是表示為uuir 且ADrtuu r uur (答：Ba, BE b ,則BC可用向量a

5、,(答：_a -b)；33(4)已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2 DB , CD r AB sAC，則r s的值是四實(shí)數(shù)與向量的積 ：實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作rr1 a a , 2當(dāng) >0時(shí)，a的方向與a的方向相同,相反，當(dāng)=0時(shí)，a 0 ,注意：a豐0。五.平面向量的數(shù)量積：uuu r uuu1.兩個向量的夾角：對于非零向量a , b，作OA a, OB(答：0)a，它的長度和方向規(guī)定如下：當(dāng) <0時(shí)， a的方向與a的方向AOB0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時(shí)，a , b同向，當(dāng) = 時(shí)，a , b反向，當(dāng) =一2 時(shí)，a , b垂直。-r r2.平面向

6、量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a , b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|cos叫. r r(1) ABC中, | AB | 3 , | AC |4 , | BC |則 AB BC做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a ? b，即a ? b = a b cos 。規(guī)定：零向量與任一向 量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不再是一個向量(答:- 9);已知a(1,扣 (0, 1),c akb,d ac與d的夾角為一，則k等于4(答: 1);(3)已知a2,b 5,ag)3，則a b等于(答: .23 );(4)rrrrabab已知a, b是兩個非零向量，且b的夾角為(答:30°

7、)3. b在a上的投影 為| b| cos ，它是一個實(shí)數(shù)，但不一定大于已知|a| 3 , |b| 5，且a b 12，則向量a在向量b上的投影為(答:a ? b的幾何意義:數(shù)量積a ? b等于a的模|a |與b在a上的投影的積。向量數(shù)量積的性質(zhì)r ra?b 0:設(shè)兩個非零向量 a, b，其夾角為 ，則:當(dāng)a , b同向時(shí)，a?b =rrab，特別地，a2r2raja;當(dāng)a與b反向時(shí),;當(dāng)為銳角時(shí),為鈍角時(shí)，a ? b v 0,且a ?b > 0，且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件b不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件 ；非零向量a , b夾角的計(jì)算公式：cos

8、a?b r r r r |a?b| |a|b|。如(1)已知a ( ,2 ),b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，則(答:的取值范圍是4 、1或 0且);33(2)已知OF , FQ夾角的取值范1V3OFQ的面積為S，且OF FQ 1，若-S石，則圍是(3)已知 a (cosx,sin x),b (cos y,siny), a 與 b 之間有關(guān)系式 ka(答：(一,一)；4 3r ra kb，其中 k 0 ,用k表示a b ；求a b的最小值，并求此時(shí) a與b的夾角 的大小rrk2 11(答：ab-(k0);最小值為一,4k260°)六.向量的運(yùn)算：1 幾何運(yùn)算： 向量加法：利

9、用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如uuu r uuiu ruur r r此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB a,BC b，那么向量AC叫做a與brruuuuuiuuuirabABBCAC;uuu r uuir r r 向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB a, AC b,那么a的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。uultDC :(AB CD) (AC BD)uuu uuu uuu如：(1)化簡：AB BC CDumr uur AB AD的和，即(3)(4)uuu、八丨AP |設(shè) 1 uju 1|PD|(5)若正方形 A

10、BCD的邊長為1,O是VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足D為 ABC的邊BC的中點(diǎn),，則的值為uur若點(diǎn)O是厶ABC的外心，且 OAuuu uuur uuu AB AC CA ,由減向量uuuuuu uuruuirr uuurrrr rb, ACc ,則| ab c1 =UULTuuuuuruuuOCOBOC2OA5uurOB(答: 2遼)；則VABC的形狀uuu r uurAB a, BCUULT uur rAD :CB :0 )；ABC所在平面內(nèi)有uuuOBuur r CO 0 ,占八、(答：直角三角形) uuu UUU -P，滿足PA BPuuu r 'CP 0,(答:2);則 AB

11、C的內(nèi)角C為(答:120°);2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a (x, y1),b (x2, y2)向量的加減法運(yùn)算：a b (x1 x2, 如：(1)已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若 一、三象限的角平分線上則:y1 y2)。uiu AP ABuuuuurAC( R)，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在第1(答: 1 );21 uuu(2)已知 A(2,3), B(1,4),且 AB (sin x,cosy),2x,y(-,-)，則 x y(3)已知作用在點(diǎn) A(1,1)的三個力F1點(diǎn)坐標(biāo)是uu(3,4), F2(2,urr5), F3(3,1)，則合力(答：一或 )；urur uu uU

12、2FF1 F2 F3 的終(答: (9,1 ) 實(shí)數(shù)與向量的積：ax1,y1uuu 若 A(X1,y1), B(X2, y2)，則 ABXi,yiX2%,即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。 如UULT 1 uunUULTUUU設(shè)A(2,3), B( 1,5)，且AC 丄AB , AD 3AB，貝U C、D的坐標(biāo)分別是 311(答：(1),( 7,9);T T 平面向量數(shù)量積：a?b x1x2 yy。女口已知向量 a =( sinx , cosx ) , b =( sinx , sinx ) , c =( 1, 0)。( 1)若 x= ，求向量 a、3-31c的夾

13、角；(2)若x ，函數(shù)f(x) a b的最大值為一，求 的值842A(答：(1)150o;(2)-或.2 1 )；2 向量的模：|a| x2 y ,a|a|2 x2 y。女口T Tur T已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a 3b | =(答：.13); 兩點(diǎn)間的距離：若 Ax1, y-, Bx2, y2，則 |AB|x2y2y1。女口F列命題中：(bc):(bc)(a b)2c :(a b)2|a| |b| |b|2 ；0,則a0 ；若a b|a|2c b,則 a c ； ® a a :(a b)2T 2 T2 a b :(a b)2T2 t t a 2a

14、 bT 2b 。其中正確的是如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xOy中， xOy 60°，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定UULLTuuur uu義的：若OP XG ye2 ,其中,e分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(x, y)。(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,2),求P到0的距離|PO|；(2)求以0為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xOy中的方程。(答:(1) 2 ； (2) x22yxy 1 0)；七.向量的運(yùn)算律：T TT TTTT TT T1.交換律:a bb a ,aa , a ?bb?a ；T TTT TTT T T TTTTTT TTT2.結(jié)合律:a bcab

15、c,a b c a bc ,a ?ba?ba?b ；TTTT TTTTTT T T T T3.分配律:aaa,a ba b,ab ?c a?c b?c。如邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除a(b?c) (a?b)c，為什么？八.向量平行(共線)的充要條件：a/b a(1)若向量 a (x,1),b(4, x)，當(dāng) x =_(答：) 提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平 方、兩邊同乘以一個實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即TT T 2 T 2b(a b)(|a

16、|b|)= 0。女口時(shí)a與b共線且方向相同(答：2)；TTTTTT TTT T(2) 已知 a(1,1),b(4,x) , ua2b,v2ab，且 u/v，則 x=(答: 4)；uuruuduuu(3) 設(shè) PA (k,12),PB(4,5), PC(10,k)，貝U k =時(shí)，A,B,C 共線r r九向量垂直的充要條件a buuuUUuuuuuABAC、/ABAC(-uuu-|tu)(-tuuutu-)。如ABACABACuuuuu(1)已知 OA ( 1,2),OB(3,m)，若a b 0 |a b| |a b |x1x2(答：2 或 11)y20 .特別地uuu uuuOA OB，貝U

17、m3(答：3 )；2(2) 以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(答：(1,3)或(3， 1);rr ur ririr(3) 已知n (a,b),向量n m，且n m，則m的坐標(biāo)是(答:(b, a)或( b,a) 十線段的定比分點(diǎn)：1. 定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線P1 P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個實(shí)數(shù)，使uuuuuuruuuuuunPPPF2，貝y叫做點(diǎn)P分有向線段pp2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段 pp2的以定比為的定比分點(diǎn)；2. 的符號與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段P 1P2上時(shí)>0;當(dāng)P點(diǎn)在線段P1 P2uum 的延

18、長線上時(shí)<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段P2 P的延長線上時(shí)10 ；若點(diǎn)P分有向線段RP2uuur1所成的比為 ，則點(diǎn)p分有向線段P2P所成的比為-。如uuu3uuu若點(diǎn)P分AB所成的比為一，則A分BP所成的比為 4(答：-)ujuu33線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)R(X1,y1)、P2(X2,y2)，P(x,y)分有向線段RP2所成的比為，X1x21，特別地，當(dāng)%y21=1時(shí)，就得到線段P1P2的中點(diǎn)公式X1 X22y1y2。在使用定比分2點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確(x,y)，(心力)、(X2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確

19、定對應(yīng)的定比(1)若 M(-3，-2 )，N (6，-1 )，且 MP13mn，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(答:(6, |);1 UIU1UIIT(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線y ax與線段AB交于M，且AM 2MB，則a等于2(答：2或4)r十一平移公式：如果點(diǎn) P(x, y)按向量a h,k平移至P(x, y )，貝U x x h ；曲線y y kf (x, y) 0按向量a h,k平移得曲線f(x h, y k) 0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白?加右減”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！如(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(diǎn)(7

20、,2)平移到點(diǎn) (答：(8,3);y cos2x 1，貝U a =(2)函數(shù)y sin2x的圖象按向量 a平移后，所得函數(shù)的解析式是(答：(一,1)412、向量中一些常用的結(jié)論 ：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；(2) |a|b| |a b |a|b|，特別地，當(dāng) a、b 同向或有 0rrrrr"r rrrr r|a | |b| |a b| ;當(dāng) a b 反向或有 0 |a b|a| |b |a|b| |； b| |；|b|(這些和實(shí)數(shù)比較類似).|a b| |a| |b|r r|b| |； b|; 當(dāng) a b 不共線,則其重心的坐標(biāo)為X1X2X3%。如

21、3若"ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2, 1)、(-3 , 4)、(-1 , -1 ),則"ABC的重心的坐標(biāo)為 2 4 (答:(2,-)；3 3uuu uuu uuur rG為ABC的重心，特別地 PA PB PC 0 P為uuuPGuuu1(PAuuuPBuuu PC)ABC的重心；uuuPAuuuPCuuurAC )(| |AC|uu uuur ujd uiuuu uuu r|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P uuuuRP2所成的比為，點(diǎn)uuiu uuuuMP1 MP2 .?uuu uuuPB PBuuuA D向量(-AB| AB(3 )若P分有向線段地P為

22、RP2的中點(diǎn)uurMPOCuuuPCPA P為 ABC的垂心;0)所在直線過uuu uuuPB、PC中三終點(diǎn)ABC的內(nèi)心(是 BAC的角平分線所在直線ABC的內(nèi)心;M為平面內(nèi)的任一點(diǎn),uuiuuuuuunr則MP1MPMP2，特別uuu(4)向量PA、1 .如平面直角坐標(biāo)系中，O為A、B、C共線存在實(shí)數(shù)uu使得PAuiuPBuuu PC且坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1) , B( 1,3),若點(diǎn)C滿足1 OA 2 OB ,其中 1, 2 R且 121 ,則點(diǎn)C的軌跡是(3 )在 ABC 中，若 A x1,y1 , B x2, y2 ,C Xs，y3(答：直線AB)平面向量的線性運(yùn)算1 在矩形AB

23、CD中，AB- 3 ,BC 1，則向量(ABAD AC)的長等于()(A) 2(B)2.3(C) 3(D) 42 .下面給出四個命題：對于實(shí)數(shù)m和向量a、b恒有:m(a b) ma mb對于實(shí)數(shù)m、n和向量a，恒有(m n)a ma na若ma mb（m R），則有a b若 ma na(m, n R, a 0)，則 m n其中正確命題的個數(shù)是（）(A) 1( B) 2(C) 3(D) 43 若a與b的方向相反，且b，貝U a+b的方向與a的方向此時(shí)a答案：相同；=;4 .已知D E、F分別是 ABC的邊jjjBC CA AB的中點(diǎn)，且BCjjj式：EF1 -jjj-c -b : BE2 2確的

24、等式的個數(shù)為-jjja -b: CF2jjjjjja ,CAb ,ABc,uurjjjJLU:ADBECF0答案:20,則。是厶ABC的則下列各.其中正-b25 .已知A、BC三點(diǎn)不共線,JJJ0是厶ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OAUJUOBuuuOC（填重心、垂心、內(nèi)心、外心之一）jjj6 若 ABJJIT8, ACjuur5,則BC的取值范圍是答案：重心答案：3,13juur jjj jjit 解析：由結(jié)論 | a|-| b| w | a土 b| < | a|+| b|，因?yàn)?BC = | AB AC | °7 .如圖，D E、F是 ABC的邊AB BC CA的中點(diǎn)，則 AF DB

25、=答案：BEjjj r juur r uuiruurjjjjr r8.在 YABCD 中，AB a, AD b, AN 3NC , M為 BC的中點(diǎn)，貝V MN 。(用 a、b 表示)uuruuur uuir uur rr jjjjr1 r解析：如圖， 由AN3NC得4AN3AC=3(ab), AMab ,2uuu3 rrr 1 r1 r 1 r所以MN-(ab)(ab)ab。4244uuuuuuruur uur9 .化簡：(ABCD)(AC BD)=.答案：010.如圖，ABC是 一個梯形,AB/ CD 且 AB=2CD M N分別是 DC和 AB的中點(diǎn)，已知 AB=a, AD =b,試用a

26、, b表示BC和MN .平面向量基本定理及坐標(biāo)表示A( 4,6)B (-4,-6)C (-26.已知向量a= (x + 乙3) , b = (2 ,yz),-2) D (2,2) 且a丄b, 若 x,滿足不等式|x| + |y| < 1,貝U z的取值1.設(shè)平面向量a：=(1,0),b= (0,2),則 2a 3b=()A.(6,3)B.(-2, 6)C. (2,1)D.(7,2)2.已知平面向量a= (x,1),b= ( x,x ),則向量a + b().A.平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線3.已知平面向量a= (1,2),b= ( 2,m),且 a / b,貝U 2a+ 3b=().A.(2, 4)B.(3, 6)C. ( 4, 8)D.(5, 10)4.設(shè)點(diǎn) A(2,0),B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上,且|AB| =