數(shù)學(xué)實驗報告單

1、數(shù)學(xué)實驗報告單實驗名稱平面鑲嵌設(shè)計人蔣麗亞實驗?zāi)康?.探索平面圖形的密鋪的原理, 探索一種多邊形密鋪的條件。2.探究兩種和多種正多邊形可以密鋪的種類。3.能用紙片剪一些三角形、四邊形、正六邊形等簡單的平面圖形進行簡單的密鋪設(shè)計，拼成美麗的圖案。實驗要求每個成員能了解圖形相嵌的歷史，查找圖形相嵌的圖案，并且4人一組，每小組做成多媒體演示文稿PPT，和全班交流。并完成小組分工合作探究學(xué)習(xí)過程的描述.實驗工具計算機、彩色卡紙、剪刀等工具。實驗步驟實驗步驟實驗步驟課前準備工作，每一組的人分工合作，每個成員能了解圖形相嵌的歷史，查找圖形相嵌的圖案，并且4人一組，每小組做成多媒體演示文稿PPT，和全班交流

2、?；顒右唬河猛环N正多邊形：用同一種正多邊形進行平面鑲嵌，是最常見的一種.那么，如果全用同一種正多邊形，共有幾種正多邊形能夠進行平面鑲嵌呢？通過用不同形狀的小紙片做鑲嵌實驗，我們可以發(fā)現(xiàn)，分別用全等的正三角形、正方形、正六邊形都可以拼成既無縫隙又不重疊的平面，而正五邊形卻不行，圖（1）、（2）、（3）、（4）. （1）正三角形 （2）正方形    （3）正六邊形 （4）正五邊形觀察思考：觀察圖（1）、（2）、（3），可以發(fā)現(xiàn)，在每一個頂點處的正三角形、正方形、正六邊形分別有6、4、3個，它們恰好拼成了一個周角. 由此可見，若能全用同一種正n邊形鑲嵌，則在每一頂點處的所有正n

3、邊形內(nèi)角之和為360°. 設(shè)正n邊形個數(shù)為m，則有=360°，即m(n 2)=2n，所以m =2 +，而m為正整數(shù)，故n = 3，4，6. 也就是說，能夠全用同一種正多邊形進行平面鑲嵌的只有三種，那就是正三角形、正方形和正六邊形. 而正五邊形顯然無法滿足上面的條件，因此不能全用正五邊形進行平面鑲嵌.活動二：用同一種任意多邊形：根據(jù)上面的分析，可以知道，全用同一種多邊形鑲嵌整個平面所滿足的條件也應(yīng)是：在每一頂點處的所有多邊形內(nèi)角之和為360°. 用同一種三角形：因為任意一個三角形的三個內(nèi)角的和均為180°，兩個180°即為360°，所以

4、全用同一種任意三角形都是可以進行平面鑲嵌的，圖（5）、（6）、（7）. （5）等腰三角形 （6）直角三角形 （7）任意三角形 用同一種四邊形：同樣，由于任意四邊形的四個內(nèi)角的和均為360°，所以全用同一種任意四邊形也是可以進行平面鑲嵌的，圖（8）、（9）、（10）、（11）、（12）.（8）矩形 （9）菱形 （10）平行四邊形 （11）等腰梯形 （12）任意四邊形 用其它多邊形：由、我們自然會想到，任意六邊形是否也能進行平面鑲嵌? 答案是否定的，因為六邊形的六個內(nèi)角的和為720°，顯然不能滿足“在每一頂點處的所有內(nèi)角之和為360°”的這個條件.不僅如此，其它的多邊

5、形當然也無法滿足這個條件.但是，這需要指出的是除任意三角形和任意四邊形外，對于某些具有特殊條件的多邊形而言，卻是可以進行平面鑲嵌的，如圖（13）、（14）中的五邊形和圖（15）、（16）中的六邊形.（13） （14） （15） （16）因此，若全用同一種任意多邊形進行平面鑲嵌，只能是任意三角形和任意四邊形.綜上所述,若用同一種多邊形進行平面鑲嵌，只能是任意三角形、任意四邊形和任意正六邊形.活動三： 用兩種或兩種以上多邊形上面介紹的是用同一種多邊形進行的平面鑲嵌，如果并不限于用同一種多邊形，而只要求同一種多邊形是全等的，那么該怎樣尋求其它種類的鑲嵌方案呢？我們已經(jīng)知道，能否用幾種正多邊形進行平面

6、鑲嵌，關(guān)鍵在于是否能滿足條件“在每一頂點處的所有內(nèi)角之和為360°”. 而正n邊形的每一個內(nèi)角為，因此，要進行這樣的鑲嵌，就要找到正整數(shù)n1，n2 ，n3，使，也就是  下面給出該方程的一般解法：現(xiàn)假定該方程有m個正整數(shù)解，并將其記為（n1，n2 ，n3， nm），則.于是有，即 （）.    由于n1，n2 ，n3， nm均不小于3，于是有，可知，所以m6 .    又因為在每一個頂點處至少要有三個角拼在一起，否則必有大于或等于180°的角，這顯然是不可能的，所以m3，故3m6，由此，m =3，4，5，6 .圖（28）、（29）、（30）、（31）. （28）正三角形與正方形 （29）正三角形與正六邊形（30）正三角形、正方形與正六邊形實驗收獲密鋪是一節(jié)平面幾何知識的綜合應(yīng)用課，這一節(jié)是新課標空間與圖形中新增的內(nèi)容，通過鋪一鋪的實踐活動，探索密鋪的奧秘。 通過“觀察思考合作探究美的欣賞自主創(chuàng)作”的活動，可以知道，全用同一種多邊形鑲嵌整個平面所滿足的條件也應(yīng)是：在每一頂點處的所有多邊形內(nèi)角之和為360°. 若用同一種多邊形進行平面鑲嵌，只能是任意三角形、任意四邊形和任意正六邊形。如果能用正多邊形進行平面鑲嵌，則