浙教版初中數(shù)學(xué)初三中考總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)--知識(shí)講解(提高)(1)

1、精品文檔用心整理中考總復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)一知識(shí)講解提身【考綱要求】1 .理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用,特殊角三角函數(shù)值的求法,運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決與直角三 角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.題型有選擇題、填空題、解做題,多以中、低檔題出現(xiàn)；2 .命題的熱點(diǎn)為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形,建立數(shù)學(xué)模型,然后用解直角三角形的知識(shí)解決問(wèn)題勾股定理銳角三角形*1與四邊形結(jié)合4后相似形結(jié)合與圓結(jié)合測(cè)量問(wèn)題 被南鹿 航海問(wèn)題解直角三角形解直角三角形方案設(shè)計(jì)問(wèn)題【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念如下圖,在 RtABC中,/ 0= 90° , / A所對(duì)的邊BC記為a,叫做/ A的對(duì)邊,也叫做/

2、B的鄰 邊,/ B所對(duì)的邊AC記為b,叫做/ B的對(duì)邊,也是/ A的鄰邊,直角C所對(duì)的邊AB記為c,叫做斜邊.銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做/A的正弦,記作sinA ,即 sin A =. A的對(duì)邊斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦,記作cosA,即 cos A =.A的鄰邊斜邊銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正切,記作tanA ,即 tan A =. A的對(duì)邊.A的鄰邊同理sin B =B的對(duì)邊斜邊2； cosB= 一； tanB=、ccB的鄰邊 a要點(diǎn)詮釋:資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的,反映了直角三角形邊與角的關(guān)系,是兩條

3、線 段的比值.角的度數(shù)確定時(shí),其比值不變,角的度數(shù)變化時(shí),比值也隨之變化.(2)sinA , cosA, tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào),是一個(gè)整體,不能寫成 如幺,COS . 兒t如幺,不能理解成sin與/A, cos與/A, tan與/ A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略/ A的角的記號(hào),但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如/AEF),其正切應(yīng)寫成“tan /AEF,不能寫成“tanAEF" ；另外,($山幺/、(tan乂/常寫成幻d幺、cosA、(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值,不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：當(dāng)角度在0.v/Av 90.之間變化

4、時(shí),0<£由*<,0 < COS幺q,tanA >0.考點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義,可求出 0°、30°、45°、60°、三角函鼠0°3."45°6090°sin a0工742 27321cos cr1在 242 2170tan a0在 31春不存在要點(diǎn)詮釋：90°角的各三角函數(shù)值,歸納如下:角的各三角函數(shù)值,它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值,就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù),例如：假設(shè)sin.二絲,那么銳角2(1)通過(guò)該表可以方便地知道0

5、76;、30°、45°、60°、90外4竽(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：s i n©、0血野、血4/、Wf160fr sin90.的值依次為0、業(yè)、皂、立、1,而cos0,2 u 2.£4學(xué)、co£60°、cos90的值的順序正好相反,諭30.、加45°、忸160.的值依次增大,其變化規(guī)律可以總結(jié)為：當(dāng)角度在 0° v/Av90°之間變化時(shí),正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大 (或減小)而增大(或減小)余弦值隨銳角度數(shù)的增大 (或減小)而減小(或增大).考點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系資料來(lái)源于網(wǎng)

6、絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理如下圖,在 RtABC中,/ 0=90°(i)互余關(guān)系:sin A - cos(90* - 4)二 cos 3,cos A - sin(90" - 4)= sin 3 ；(2)平方關(guān)系:sin-4+cor A=;(3)倒數(shù)關(guān)系:(4)商數(shù)關(guān)系:tan A,tan(9(T - 4) = 1 或比 乂二a si 口月tan-4 =.cosJtaiijS要點(diǎn)詮釋：銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出,常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中,計(jì)算 時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.考點(diǎn)四、解直角三角形在直角三角形中,由元素 (直角除外)求未知元素的

7、過(guò)程,叫做解直角三角形在直角三角形中,除直角外,一共有 5個(gè)元素,即三條邊和兩個(gè)銳角 .設(shè)在RtABC中,/ C=90° , / A、/ B、/ 0所對(duì)的邊分別為 a、b、c,那么有:三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).銳角之間的關(guān)系：/ A+Z B=90° .邊角之間的關(guān)系：aia= , cosA = ,=一,ccbb3, 一 ,-.ccaSuBC二一金匕二一匕4,h為斜邊上的局.二 2要點(diǎn)詮釋：(1)直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90.),是的值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式,沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對(duì)這些式子的理解和記憶要

8、結(jié)合圖形,可以更加清楚、直觀地理解 考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法和解法三角脂類$7條件解法步驟Rt AB0兩A兩直角邊(a , b) 邊a由tan月二：求/ a, b/ B=90° / A,c-a +5資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理B一斜邊,一直角邊如c, a.a由=一求/a,c/ B=90° /A,b 二?J - a1一邊一角一直角邊 和一銳角銳角、鄰邊如/ A, bB B=90° /A, b 以二工銳角、對(duì)邊如/ A, a/ B=90° /A, a . a c =-b sin A , tan H斜邊、銳角如c, / A/ B=

9、90° /A,要點(diǎn)詮釋：1 .在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí),最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖,按題意標(biāo)明哪些元素是的,哪些元素是未知的,然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算2 .假設(shè)題中無(wú)特殊說(shuō)明,“解直角三角形即要求出所有的未知元素,條件中至少有一個(gè)條件 為邊.考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛,關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵解這類問(wèn)題的一般過(guò)程是：1弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根據(jù)題意畫出 幾何圖形,建立數(shù)學(xué)模型.2將

10、條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的 問(wèn)題.3根據(jù)直角三角形或通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形 元素邊、角之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形 .4得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義,得出實(shí)際問(wèn)題的解拓展：在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)用到以下概念：1坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角,用字母 &表示.坡度坡比：坡面的鉛直局度 h和水平距離j的比叫做坡度,用子母表不,那么x = ,' = tan叮,如圖, 坡度通常寫成=k 1的形式.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理1 IT(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中,視線中水

11、平線上方的叫做仰角,在水平線下方的叫做 俯角,如圖.(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如圖中,目標(biāo)方 向PA PB, PC的方位角分別為是 40° , 135° , 245° .(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如圖中的目標(biāo)方向線 OA OB, OC OD的方向角分別表示北偏東 30° ,南偏東45° ,南偏西80° ,北偏西60° . 特別如：東南方向指的是南偏東45° ,東北方向指的是北偏東45° ,西南方向

12、指的是南偏西45° ,西北方向指的是北偏西 45.要點(diǎn)詮釋：1 .解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí),通過(guò)數(shù)值計(jì)算,去求出圖形中的某些邊的長(zhǎng)或角的大小,最 好畫出它的示意圖.2 .非直接解直角三角形的問(wèn)題,要觀察圖形特點(diǎn),恰當(dāng)引輔助線,使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形 來(lái)解.例如：資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理3.解直角三角形的應(yīng)用題時(shí),首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語(yǔ)的意義圖,進(jìn)而根據(jù)條件選擇適宜的方法求解.),然后正確畫出示意考點(diǎn)七、解直角三角形相關(guān)的知識(shí)如下圖,在 RtABC中,Z C= 90° ,三邊之間的關(guān)系：a2 +b2 =c2 ；(2) 兩銳角之間的關(guān)系

13、：/ A+/ B=90° ;aab 邊與角 之間的關(guān)系：sin A = cosB = 一 , cosA = cosB = 一 , cosA = sin B =-,ccca 1tan A =.b tanBCDLAB于點(diǎn) D,設(shè) CD= h, AD= q, DB= p,那么(4) 如圖,假設(shè)直角三角形 ABC中, 由 CB8 ABC 彳導(dǎo) a2= pc； 由 CA8 BAC 彳導(dǎo) b2=qc； 由 AC8 CBD 彳導(dǎo) h2= pq；由ACm ABC或由 ABC面積,得 ab = ch. 如下圖,假設(shè) CD是直角三角形 ABC中斜邊上的中線,那么資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心

14、整理小一 一1_ C況 AA BA AB;21點(diǎn)D是RtABC的外心,外接圓半徑 R= - AB.2a b - c ab(6)如下圖,假設(shè)r是直角三角形 ABC的內(nèi)切圓半徑,那么r = ac = 一a2 a b c直角三角形的面積：1.1.1如圖所不,Saabc =ab = ch = acsin B .222h為斜邊上的高)- 一 1 ,、如圖所不,SAabc = -r(a b c).【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)的概念與性質(zhì)：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID : 408468播放點(diǎn)：例2】1. (1)如下圖,在4ABC中,假設(shè)/ C= 90°,/ B=50° , AB= 10,

15、那么 BC的長(zhǎng)為()A . 10 - tan50B . 10 - cos5010 sin50sin 50(2)如下圖,在 ABC中,Z C= 90° , sinA = 3 ,求 cosA+tanB 的值.5資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(3)如下圖的半圓中,AD是直徑,且 AD= 3,AC= 2,貝U sinB【思路點(diǎn)撥】(1)在直角三角形中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,可以用某個(gè)銳角的三角函數(shù)值和一條邊表示其他邊.(2)直角三角形中,某個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)值即為該三角形中兩邊之比.知道了該角的大小,可以用比例系數(shù)k表示各邊.(3)要求sinB的值,可以將/ B轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角

16、三角形中.【答案與解析】(1)選 B.知道某個(gè)銳角的三角函數(shù)值就,BC3(2) 在ABC z C= 90 , =sinA = AB設(shè) BC= 3k,貝U AB= 5k(k >0).由勾股定理可得AC= 4k,4k 4k 32 cosA tan B =-5k 3k 15(3) 由,AD是半圓的直徑,連接AC/ B= / D, 所以 sinB = sinD =ADCD 可彳導(dǎo)/ ACD= 90°2:一.3【總結(jié)升華】一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值,求同角或余角的其他三角函數(shù)值時(shí),常用的方法是：利用定義,根 據(jù)三角函數(shù)值,用比例系數(shù)表示三角形的邊長(zhǎng)；(2) 題求cosA時(shí),還可以直接利用同角

17、三角函數(shù)之間的關(guān)系式sin 2 A+cos2 A = 1,讀者可自己嘗試完成.舉一反三：【變式】(2021?樂(lè)山)如圖, ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,那么 cosA的值為()資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理A.吏B.亞35【答案】D【解析】過(guò)B點(diǎn)作BDLAG如圖, 由勾股定理得,AB=2=JW,類型二、特殊角的三角函數(shù)值【：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)例1】 2.解答以下各題：化簡(jiǎn)求值：tan60tan45.-s +輸30.；sin 60 cos30 cos45(2)在 ABC中,Z C= 90° ,化簡(jiǎn) Ji 2sin Acos A .【思路點(diǎn)撥】第(2)題可以先利用關(guān)系式

18、sin 2 A+cos 2 A = 1對(duì)根號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行變形,配成完全平方的形式.【答案與解析】解(1), 0 , . _tan 60 -tan45.40 Isin 60 cos30sin 45cos 45sin302 3資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(2)、1 -2sin Acos A二,sin2 A cos A -2sin A cos A=J(sin A cosA)2 =| sin A -cosA |,1 -2sin Acos A =cosA-sin A(0 <A<45 ) sin A-cosA(45 < A <90 )【總結(jié)升華】由第(2)題可得到

19、今后常用白一個(gè)關(guān)系式： 1 ± 2sin a cos a =(sin a ± cos a )2.12.例如,右設(shè) sin a+cosa=t,那么 sin a cosa =萬(wàn)(t 1).：銳角三角函數(shù)綜合復(fù)習(xí)ID : 408468播放點(diǎn)：例1】【變式】假設(shè)sin 2a =2cos B = Vsin a ,(2 a2,3為銳角),求tan( P)的值.3為銳角,2 a = 60 , a = 30 .3 =45°1 tan(- :) = tan30 3,33. (2021春?涼州區(qū)校級(jí)月考)如圖,在銳角(1) tanC 的值；(2) sinA 的值.ABC 中,AB=1

20、5, BC=14, Saabc=84 ,求:【思路點(diǎn)撥】資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(1)過(guò)A作AD,BC于點(diǎn)D,利用面積公式求出高 求tanC的值就不那么難了.(2)同理作AC邊上的高,利用面積公式求出高的長(zhǎng), 【答案與解析】解：(1)過(guò)A作AD,BC于點(diǎn)D . saabc=-BC?AD=84 ,24>AD=84 ,2AD=12 .又AB=14 ,bd=/ab2 - AD 2=9 ,CD=14 - 9=5.在 RtAADC 中,AC= AD2+DC2=13,AD的長(zhǎng),從而求出 BD、CD、AC的長(zhǎng),此時(shí)再?gòu)亩蟪鰏inA的值.AE 12.tanC=;DC 5(2)過(guò)B

21、作BEX AC于點(diǎn)E."abc=£aC?EB=84 ,BE=-13168.嘴=噌嚏【總結(jié)升華】 考查了銳角三角函數(shù)的定義,注意輔助線的添法和面積公式,以及解直角三角形公式的靈 活應(yīng)用.舉一反三：【變式】如圖,AB是江北岸濱江路一段,長(zhǎng)為 3千米,C為南岸一渡口,為了解決兩岸交通困難,擬在 渡口 C處架橋.經(jīng)測(cè)量得A在C北偏西30°方向,B在C的東北方向,從 C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)為 多少千米？(精確到0.1千米)AB【答案】過(guò)點(diǎn)C作CDL AB于點(diǎn)D.D R資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理CD就是連接兩岸最短的橋.設(shè)CD=x (千米).在直角三角形

22、 BCD43, / BCD=45,所以 BD=CD=x.在直角三角形 ACD43, / ACD=30,所以 AD=CDC tan / ACD=x, tan30 ° =,x.3由于 AD+DB=AB所以x+立 x=3, 3x= 9 - §出=1.9千米. 2答：從C處連接兩岸的最短的橋長(zhǎng)約為1.9千米.類型三、解直角三角形及應(yīng)用4 4.如圖所小,D是 AB上一點(diǎn),且 CD£AC于 C, SA ACD ： SACDB =2:3, COS/DCB =, ACD CDB5AC+CD-18,求tanA的值和AB的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】解題的根本思路是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題

23、,轉(zhuǎn)化的目標(biāo)主要有兩個(gè),一是構(gòu)造可解的直 角三角形；二是利用條件通過(guò)設(shè)參數(shù)列方程.【答案與解析】解：作 DE/ AC 交 CB 于 E,貝U/ EDC= /ACD- 90° .CE5設(shè)CD- 4k(k >0),那么CE= 5k,由勾股定理得 DE= 3k.,ACM口ACDB AB邊上的高相同, AD:DB= Saacd : SaCDB= 2:3.一 55即 AC = DE = M3k=5k.33八CD tanA =AC4k5k. AC+CD 18,5k+4k= 18,解得 k=2.ad = Jac2 +cd2 =V41k =2 屈.AB= AD+DB= AD+3 AD- 5.4

24、1 .2資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【總結(jié)升華】在解直角三角形時(shí),常用的等量關(guān)系是：勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系式、相等的線段、面積關(guān)系等.C5.如下圖,山腳下有一棵樹 AB,小華從點(diǎn)B沿山坡向上走50 m到達(dá)點(diǎn)D,用高為1.5m的測(cè)角 儀CD1I得樹頂?shù)难鼋菫?10° ,山坡的坡角為 15° ,求樹AB的高(精確到0.1m).(參考數(shù)據(jù)：sin10 ° = 0.17, cos10° =0.98, tan10 ° =0.18, sin15 ° =0.26, cos15° =0.97, tan15 ° =

25、0.27).【思路點(diǎn)撥】此題是求四邊形一邊長(zhǎng)的問(wèn)題,可以通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解.【答案與解析】解：如下圖,延長(zhǎng) CD交PB于F,那么DF± PB. .DF= DB- sinl5 -50X 0.26 = 13.0,CE =BF= DB- cos15° = 50X0.97 =48.5. .AE= CE- tan10 ° =48.5 X0.18 =8.73 .AB= AE+CD+DF 8.734+1.54+13.0 =23.2(m).答：樹高約為23.2 m .【總結(jié)升華】一些特殊的四邊形,可以通過(guò)切割補(bǔ)圖形的方法將其轉(zhuǎn)化為假設(shè)干個(gè)直角三角形來(lái)解.舉一反三：【

26、變式】如下圖,正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,CD= 3.(1) 動(dòng)點(diǎn)P在AB上由A向B移動(dòng),設(shè)AP= t, 4PCD的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變 量t的取值范圍；(2)在(1)的條件下,設(shè) PC= z,求z與t之間的函數(shù)關(guān)系式.資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【答案】解： 作 P已 BC于 E,那么 B之AB-AP= 2-t(0 <t <2).A1,1-3- -3 SAPCD= CDPE= CDLBP sin B = (2-1)22-22口r 3.33 3即 y = 1 +(0 <t <2).42(2)由(1)不難得出,P

27、E = (2 -t), BE=)(2t). 22EC =BC -BE =2 -(2 t)=22PC2 =PE2 +EC2 =3(2 -t)2 +44z = /2 -2t+4(0 <t m2). 6 .如圖(1)所不,一架長(zhǎng)4米的梯子 為 60° .(1) 求AO BO的長(zhǎng).(2) 假設(shè)梯子頂端A沿NO下滑,同時(shí)底端 如圖(2)所示,設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn),沿NOT滑了多少米；如圖所示,當(dāng)A點(diǎn)下滑到A'點(diǎn), 點(diǎn),假設(shè)/ POP =15° ,試求AA'的長(zhǎng).|K<1>【思路點(diǎn)撥】(2+t).(2 +t)2 =t2 -2t +4 .AB斜罪在與地面OM垂直白墻ONLh,梯子與地面的傾斜角aB沿.喇右滑行.B點(diǎn)向右滑行到 D點(diǎn),并且AC:BA 2:3 ,試計(jì)算梯子頂端 AB點(diǎn)向右滑行到 B'點(diǎn)時(shí),梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到P',川4月吊、(3)11資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理(1)在直角 AOB中,斜邊 AB,和銳角/