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1、不等式及其解法【學(xué)習(xí)內(nèi)容】一. 不等式、不等式的解: 現(xiàn)實(shí)世界中,有很多等量關(guān)系,但是不等的關(guān)系更多,例如:兩個(gè)同學(xué)的身高有高有矮,表示不等量關(guān)系,我們常用、等不等號(hào),連接兩個(gè)式子,如: 的值,就叫做這個(gè)不等式的解。 例如x5能使x13成立,所以x5是不等式x13的一個(gè)解,一個(gè)不等式可能有無數(shù)個(gè)解,也可能有有限個(gè)解,還可能無解。 例1. 用不等式表示下列關(guān)系,并寫出兩個(gè)滿足各不等式的數(shù): 解: 例2. 用不等式表示: (1)a與b的和不是負(fù)數(shù)。 (2)x的2倍與3的差小于4。 (3)x的4倍與y的一半的差是負(fù)數(shù)。 (4)a與b的和的絕對(duì)值不大于a與b的絕對(duì)值的和。 思路分析:較難的不等式與列代
2、數(shù)式一樣,只是注意分清大于、小于、不大于、不小于的區(qū)別。 解: 例3. 分析:把數(shù)集中各數(shù)分別代入不等式,看不等式是否成立,能成立的,就是不等式的解。否則,就不是。 解: 同樣,可以驗(yàn)證x2,1,0,1,2是已知不等式的解,但x3不是已知不等式的解。二. 不等式的簡(jiǎn)單變形: 不等式的性質(zhì)1: 這就是說,不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。 不等式的性質(zhì)2: 不等式的性質(zhì)3: 這就是說,不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。 這里注意:c既可以是整數(shù),也可以是分?jǐn)?shù),故|ac|可以增大,也可減
3、小,與解方程一樣,解不等式的過程,就是將不等式變形為x>a或x<a(或xa或xa)的形式。 例4. 解下列不等式: 解:(1)不等式的兩邊都加上7,不等號(hào)的方向不變,所以 小結(jié):這里解不等式的過程中,兩邊同時(shí)加、減很像在解方程時(shí)中的移項(xiàng)一樣,在移項(xiàng)時(shí)移動(dòng)到方程的另一邊,項(xiàng)要變號(hào),這里不等式中的移項(xiàng)也要變號(hào)。 例5. 解下列不等式: 解:(1)不等式的兩邊都乘以2,不等號(hào)的方向不變,所以 這里的變形,與方程變形中的“將未知數(shù)系數(shù)化為1”相類似,它依據(jù)的是不等式的性質(zhì)2或性質(zhì)3,切記注意不等式兩邊乘以(或除以)的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),確定變形時(shí)不等號(hào)的方向是否需要改變。 例6. 判斷正誤:
4、 分析:對(duì)照不等式的基本性質(zhì),觀察和分析從條件到結(jié)論是運(yùn)用的不等式的哪一條性質(zhì),運(yùn)用不等式性質(zhì)的條件是否具備。 解:(1)中是在a>b兩邊同乘以c,而c是正是負(fù)并不知道,因此(1)不一定成立。 三. 解一元一次不等式: 前面遇到的不等式有一個(gè)共同特點(diǎn):都只含有一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的式子是整式,未知數(shù)的次數(shù)是1,像這樣的不等式叫做一元一次不等式。 例7. 將下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來。 解:(1)不等式兩邊都減去3x,得 將其解集在數(shù)軸上表示如下圖: 解集在數(shù)軸上表示如下圖所示: 注意:在數(shù)軸上表示數(shù)集時(shí),要注意方向,大于向右,小于向左,而且如果是大于等于或小于等于,則表示為實(shí)心小
5、圓,如果是大于或小于則表示為空心小圓。 例8. 解下列不等式: 分析:觀察不等式的特點(diǎn),按一元一次不等式的解法的一般思路進(jìn)行變形,在(1)中先去括號(hào),再移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1,在(2)中,要先去分母,在不等式兩邊同乘以公分母4,化為與(1)類似的情形。 解: 小結(jié):解一元一次不等式的一般步驟以及技巧與解一元一次方程類似,但是要注意在不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號(hào)的方向要改變。 解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母;(2)去括號(hào);(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)系數(shù)化為1。 例9. 解: 例10. 分析:自然數(shù)解是原不等式的特殊解,要求特殊解,先求一般解。 解: 例
6、11. 解: 所以<2>式成立 <4>和<3>的內(nèi)容基本一致,因此<4>也不成立。 例12. 解: 本課小結(jié): 1. 本課主要內(nèi)容是理解不等式解集的意義,會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出來它的解集。 2. 本課應(yīng)著重體會(huì)一元一次不等式和一元一次方程的解法,從中領(lǐng)會(huì)類比、化歸的思想?!灸M試題】一. 用不等式表示: (1)a與1的差是正數(shù)。 (2)x與的和是負(fù)數(shù)。 (3)x的與y的3倍的差是非正數(shù)。 (4)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)。 (5)a的2倍與b的二分之一的差不小于1。二. 下列x的取值中,_是不等式的解;_不是它的解。 三. 請(qǐng)把下列不等式的解集在數(shù)軸上表示出來: 四. 解下列不等式: 五. x取何值時(shí),代數(shù)式的值不小于的值?六. 已知正整數(shù)x滿足,求代數(shù)式的值。七. 已知,當(dāng)時(shí),求m的取值范圍?!驹囶}答案】一. (1)(2) (3)(4) (5)二.
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