放縮法在導數(shù)壓軸題中的應用-鄭州第四十四中學

1、恰當采用放縮法巧證導數(shù)不等式鄭州市第四十四中學蘇明亮放縮法是高中數(shù)學中一種重要的數(shù)學方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到.由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應用重點也逐漸從證明數(shù)列不等式轉移到導數(shù)壓軸 題中，尤其是在導數(shù)不等式證明中更是大放異彩下面試舉幾例，以供大家參考.、利用基本不等式放縮，化曲為直例1 (2012年高考遼寧卷理科第 21題(n)設f(x)=ln(x 1) X 1 -1.證明：當0 ： x ： 2 時,f (x):9xx 6._._ x證明：由基本不等式，當 x 0時，2 (x 1) x 2，故 x 11.xf (x) = In(x 1). x 1 -1 ： In(x

2、 1)石xh(x) =1 n(x 1)9xx 61 1則 h'(x)=x +1254 x(x215x -36)(x 6)2 一 2(x 1)(x 6)2當 0 ：x ：2時，h'(x) <0，所以 h(x)在(0, 2)內(nèi)是減函數(shù).故又由 h(x) ： h(0) = 0 ,所以 In(x 1) x : -9，即 In(x 1)、x 1 -1 ： -9 ,2 x+6x+69x故當 0 ： x ： 2 時，f (x).x+69x評注：本題第(n )問若直接構造函數(shù)h(x) = f(x)，對h(x)進行求導，由于x +6h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x

3、)的零點及相應區(qū)間上的符號很難確定，而通過對.x 1進行放縮處理，使問題得到解決.上面的解法中，難點在用基本不等式證明廠1 ： x 1，亦即是將拋物線弧 y = '、廠放大化簡為直線段 y = x 1，而該線段正是2 2拋物線弧y =.廠在左端點(0,1)處的切線，這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮，化動為靜例2 (2013年新課標全國n卷第 21題(n)已知函數(shù)f (x)二ex - In(x m).當m乞2時，證明f(x) 0.證法1函數(shù)f(x)的定義域為(_m,=)，貝y f'(x)二ex(x m)ex -1x m設 g (x)

4、=(x m)ex -1，因為 g '(x) = (x m 1)ex 0 ,所以g(x)在(-m, ：)上單調(diào)遞增.又 g(_m) = _1 ： 0 , g(2m) =2e2jm-1 2 1-10 ,故g(x)=0在(_m, ：)上有唯一實根xo.當 x (m,x。)時，g(x) <0，f'(x) ： 0 ； 當 x (x。，：)時，g(x) 0，f'(x) 0，由方程g(x) =0的根為X。，得ex0In(X0 m) _ -X0，故 f(X°)二1X0mX0-X0 m-(X0 m) - m _2 - m (當且僅當從而當X =X0時，f (x)取得最小值

5、為f(x).又因為m乞2時，所以f (x0) _0.取等號的f(x。)_0條件是x°，m=1，及m = 2同時成立，這是不可能X0m的，所以 f(x0)0，故 f(x) 0.證法2：因y =ln x在定義域上是增函數(shù)，而m乞2，所以In(x 2) _ In(x m)，故只需證明當m=2時，f(x) 0即可.1當m=2時，f'(x)=eX-在(-2,=)上單調(diào)遞增x+2又 f '(-1) <0, f '(0) 0，故 f'(x)=0 在(-2,二)上有唯一實根 X0，且 X0 (-1,0).當 X (2,X0)時，f '(x) ： 0 ；當

6、 X (X0,-:)時，f '(X)- 0，從而當 X = X0 時，f(X)取得最小值1由 f '(x) = 0 得 e"，ln( X0 2) = -x°，x° +2故 f(x) f(X0)二1X02X 1)2X020.綜上，當m空2時，f(x) .0.評注：借助導數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法證法1直接求導證明，由于其含有參數(shù) m，因而在判斷g(x)的零點和求f (x)取得最小值f(x0)顯得較為麻 煩；證法2利用對數(shù)函數(shù)y =ln x的單調(diào)性化動為靜，證法顯得簡單明了 此外，本題也是 處理函數(shù)隱零點問題的一個經(jīng)典范例 三、活用

7、函數(shù)不等式放縮，化繁為簡兩個常用的函數(shù)不等式：eX_x、1(x2R)Inx 二 x _1(x0)兩個常用的函數(shù)不等式源于高中教材(人教出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章例3 ( 2014年高考新課標I卷理科第21A版選修2-2 , P32)的一組習題，曾多次1、,bex_1題)設函數(shù) f (x)二aex In x ，曲線xy = f(x)在點(1,f (1)處的切線方程為 y =e(x -1)2.求a,b(II)證明:f (x)1.分析：本題以曲線的切線為背景，考查導數(shù)的幾何意義，用導數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第(I)問較容易，一般學生都能做出來，只需求出

8、函數(shù)f(x)的導數(shù)，易得a =1,b =2.第(II)問難度較大，主要考查考生運用導數(shù)知識證明不等 式的能力及運算求解能力，是近年來高考壓軸題的熱點問題.本題第(II)問證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來進行證明.證明：由ex亠x 1，得ex 4亠x，即ex亠ex,1 亠故 e (當且僅當x =1時取等號) ex又由ex - x ,1 1-11得e1，故e ex - ex，兩邊取自然對數(shù)得ln(ex) - 1 -xex11即lnx0 (當且僅當x 時取等號)exe2由于、式等號不能同時成立，兩式相加得Inxex，兩邊同乘以ex，得f (X 1ex評注：本題證明中利用函數(shù)不等式ex _ x 1，

9、并進行適當變形，結合不等式性質進行證明，從而避免了繁雜的計算，過程簡潔自然，易于理解例4(2016年高考山東卷理科第20題(n)已知f (x) = a(x -1n x )+ 2x2 1, r .x3當a =：1時，證明f (x) f (x)-對于任意的x 1,2 成立2證明：f(x)的定義域為(0, ：), f'(x)=a_a_$ 三二念-挈-1)七胡時,x x xx2x _1122f(x) _ f '(x) =x _lnx _(1 _ -p r)xx xx312=x -In x23 -1 , x 1,2,x xx312312由 In xZx1 得 f (x) - f'

10、(x) =x l nx23-123 x 1,2 xx xx x x ,3123即只需證_ . 飛.x1,2x x x2 ,2123x 2x 6令 h(x)2，x 1,2，則 h'(x)4.x x xx設(xH -3x2x 6：(x)在 1,2單調(diào)遞減，因為(1)=1, (2) =10 ,所以在1,2上存在 X。使得(1,x。)時，(x) 0, (Xo,2)時，(x)：0,所以函數(shù)h(x)在(1,x。)上單調(diào)遞增，在(,2)上單調(diào)遞減，33由于h(1)=2,h(2)，因此當1,2時，h(x)h(2)，當且僅當x = 2時取得等號,2 23所以 f (x) - f '(x) h二

11、3 ,23 即f(x) f '(x)對于任意的1,2恒成立.23123評注：要證明 f (x) - f'(x) = x-I nx23-1，比較麻煩的是式子中有xxx2Inx，如果能讓它消失，問題勢必會簡單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式Inx乞x-1進行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個常用函數(shù)不等式的變式:e"x（x 三 R）宀&& 一1）In xx< x -1(x . 0)四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5（2016年高考新課標川卷文科 21題）設函數(shù)f（X）=1 n XX 1.x -1°）證明當XO時，1 Vx ；(

12、II )設 c 1，證明當 (0,1)時，1 (c-1)x cx.證明：（I ）易證當x1,壯小時，In x ： x-1 , In丄xX 1X.In x(II )由題設 c 1，設 g(x)=1c-1x-cx，則 g,x)=c-1-cfnx,令，g，xi=o.c-1In解得X0當X：X0時，g' x 0, g X單調(diào)遞增；當X X0時,Incg x <0, g x單調(diào)遞減由 （ I ）知，1 ： :c ,In c故 0 d，又 g(0) =g(1) = 0.故當0 x ： 1時,x.c-1InX及X0血巧妙In cg x0所以當 x 0,1 時，1 c-1 X c x 1評注：本

13、題第（II ）問利用第（I ）中已證明的不等式1 <In x地求出0<：怡£1 進而利用g（x ）在0cxc1單調(diào)性及端點值 g（0） = g（1） = 0證明出 g x 0 利用已證不等式（或結論）服務后面問題的情況，在高考和?？荚囶}中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務意識”不僅可以避開復雜的計算，往往也為解題思路指明了方向.下面再看一例：例6 （2013年高考遼寧卷理科 21題）已知函數(shù)3,f x = 1 x e°x,g x 二ax -1 2xcosx.當 x 0,1 】時，2（I）證明：1 X _ f X1；V ' 1+x5(Il )確定a的所有可能取值

14、，使得f x _g x 恒成立證明：(I )證明：要證x：= 10,11時，1 x e-x,只需證明1 x e必_ (1-x)ex.記 h(x) = 1 x-(1 -x)ex，則 h'(x) = x(ex _e»).當 x ：= (0,1)時，h'(x) . 0 ,因此h(x)在0,11上是增函數(shù)，故h(x) _h(0)=0 所以f x _1_x ,x：= 0,11.要證0,1 1時，1x y丄，只需證明ex _x1 .、丿 1 +x1綜上，-x- x豈廠3(II )解：f x x = 1 x e?x _(ax1 2xcosx) _ 1 一 x一 ax31 -2xco

15、sx22X=-x(1 a 2cos x).225X'設 G(x)2cos x，貝U G (x) = x -2sin x .記 H (x) = x -2sin x ,2則 H'(x) =1-2cosx 當 x (0,1)時，H ' (x) : 0，于是 G'(x)在 1.0,11 上是減函數(shù),從而當x (0,1)時，G'(x) :：: G'(0) =0,故G(x)在0,1上是減函數(shù).于是 G(x)空G(0) =2，從而 a 1 G(x)空 a 3 .所以，當a空-3時，f x _g x在1.0,1 上恒成立.F面證明，當a -3時，f x _g x

16、在0,11上不恒成立.f x -g x <3xTax 2x cos x2-x1 x3xax2xcosx2=-x(2.x 丄a 2cos x)2記 l(x)二 1x21_1_a xr 2cosx=a G(x)，則(x"L g(x)，當x (0,1)(1 x)時，l'(x) ：0，故I (x)在0,11上是減函數(shù)，于是I(x)在1.0,1上的值域a 1 2cos1,a 3.因為當a *3時，a 3 0 ,所以存在x (0,1),使得I (x0) 0，此時f冷:g x0 , 即f x _g x 在1.0,11上不恒成立.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(：,3.評注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學知識無法解決(筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了 “0型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學中的洛必達法則)；0若直接構造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結論，通過分類討論和假設反正，使問題得到解決.上述幾道導數(shù)不等式都不是考查某個單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)