簡明微積分微分方程基本概念ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的根本概念微分方程的根本概念一、引例一、引例二、微分方程的普通概念二、微分方程的普通概念例1 一曲線經(jīng)過點 (1,2),且該曲線上恣意點P(x,y)處的切線斜率等于該點的橫坐標(biāo)平方的3倍,求此曲線的方程. 一、引例(2) ).2) 1 ( 2| )()2 , 1 (1yyxyyx或記作應(yīng)滿足條件：，故又因曲線通過點(1) d3d 2xxy 即(3) ).( d3 ) 1 (32為任意常數(shù)式兩端求不定積分，得把CCxxxy ,3dd2xxy由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得設(shè)所求曲線的方程為. )(xyy 解，即式，有代入把條件112 )3()2(3CC(4) 1 3 xy于是，所求曲線方

2、程為例2 設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，從空中某處，不計空氣阻力而只受重力作用由靜止形狀自在降落.試求物體的運(yùn)動規(guī)律(即物體在自在降落過程中，所經(jīng)過的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系).速度的乘積，于是得與加應(yīng)等于物體的質(zhì)量重力物體上的外力第二定律可知，作用在根據(jù)牛頓路程為所經(jīng)過的設(shè)物體在時刻 )(),( mmgtsst解.(5) dd dd 2222是重力加速度其中，即ggtsmgtsm，將上式改寫為gtstdddd ，因此可得tgtsdddd (6) . 0dd 0 :)(00tttsstss，滿足條件還應(yīng)由降落，所以由于物體由靜止?fàn)顟B(tài)自(7) ddd )5(1，式兩端積分一次，得對Cgttgts，式，可

3、得式和入式中的兩個條件分別代把00 )7()8()6(21CC. ,(8) 21d)( 212121是兩個任意常數(shù)其中，再對上式兩端積分，得CCCtCgttCgts21 . (9)2sgt于 是 ， 所 求 的 自 由 落 體 的 運(yùn) 動 規(guī) 律 為 二、微分方程的普通概念1.微分方程及微分方程的階含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程；(5) dd22gts，(1) d3d2xxy (1)和(5)式均是微分方程. 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.微分方程(1)是一階的，微分

4、方程(5)是二階的. 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.2.微分方程的解、通解與特解 3Cxy例如 1 3 xy和.d3d2的解都是xxy .dd22的解都是gts 21212CtCgts又如221gts 和不包含恣意常數(shù)的解為微分方程特解. 假設(shè)微分方程的解中含恣意常數(shù),且獨立的(即不可合并而使個數(shù)減少的)恣意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)一樣，這樣的解為微分方程的通解.dd22的通解是gts 21212CtCgts又如 3Cxy例如.d3d2的通解是xxy 13 xy例如.d3d2的特解是xxy 221gts 又如.dd22的特解是gts3.微分方程的初值條件及其提法 用以確定微

5、分方程解中恣意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件.初值條件的提法：,00yyxx時，當(dāng).,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或記作yyxyxyyyyxyyyxxxx.)(,)( )()1(00)1(0000nnyxyyxyyxynn，個初值條件：階微分方程需給出一般地，對于 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線.通解的圖形是一族積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族.微分方程的某個特解的圖形就是積分曲線族中滿足給定初值條件的某一特定的積分曲線.4.微分方程的解的幾何意義.)11( 1 , 0 )10( 04 )(ee 00212221的特解程滿足初值條件：的通解，并求此微分方二階微分方程是為任意常數(shù)，驗證函數(shù)xxxxyyyyCCCCy，xxCCy2221e4e4例3，得，分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)將函數(shù)xxxxCCyCCy22212221e2e2 ee解0e4e4e4e44 )10(22212221xxxxCCCCyy的左端，得把它們代入微分方程.)10(.)10(ee2221程的通解該方的階數(shù)相同，所以它是的個數(shù)與微分方程常數(shù)獨立的任意常數(shù)，任意又因這個解中含有兩個的解是所給微分方程所以函數(shù)xxCCy中，得及代入”分別”及“式中的條件把xxxxxx