圓錐曲線綜合計(jì)算

1、圓錐曲線計(jì)算能力專項(xiàng)訓(xùn)練求f(m)的最值.2x1. P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓1 上, F為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn).已知 PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF ?MF 0求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.22.如圖，設(shè)拋物線C : y x的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)P在直線! : x y 2 0上運(yùn)動,過P作拋物線C26.如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線y8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)。的兩條切線PA、PB,且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn). (1 )求 APB的重心G的軌跡方程.(2)證明/ PFA=/ PFB.2 x(I)求拋物線的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線I的方程；(n)若a為銳角，作

2、線段 AB的垂直平分線 m交x軸于點(diǎn)a為定值，并求此定值。|FP|-|F P|cos22x27.設(shè)橢圓a2b2 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,3.已知方向向量為v=(1,J3)的直線l過點(diǎn)(0， 23 )和橢圓C:2 y b21(ab 0)的焦橢圓上的一點(diǎn),AF2吋2，原點(diǎn)O到直線AF1的距離為(I)證明 a db ；(n)求點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓 C的右準(zhǔn)線上.(I)求橢圓C的方程；t (°，b)使得下述命題成立:2設(shè)圓 xM (x0，y。)處的切線交橢圓于Q, Q2兩(n)是否存在過點(diǎn)E (- 2, °)的直線 m交橢圓C于點(diǎn)M、N,滿足

3、0MONV6, cot3點(diǎn)，則 OQ1OQ2/ MON豐° (0為原點(diǎn))若存在，求直線 m的方程；若不存在，請說明理由2x24.已知橢圓C： a +2L2b = 1 (a>b>0)的左.右焦點(diǎn)為 F1、F2,離心率為e.直線I:y= ex+ a與x軸.y軸分別交于點(diǎn) A、B, M是直線I與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn),P是點(diǎn)F1關(guān)于直線I的對稱點(diǎn),設(shè) AM =入 AB .(證明：入=1 - e2; (n )確定入的值，使得PF1F2是等腰三角形.x25.如圖，已知橢圓m左到右的順序?yàn)锳、B、(1)求f(m)的解析式;2一=1(2< mW 5),過其左焦點(diǎn)且斜率為1m 1C、D

4、，設(shè) f(m)=|AB| |CD|的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從42y（2）設(shè)p是“果圓”的半橢圓 b務(wù)1c2 （X w 0）上任意一點(diǎn)求證：當(dāng)PM取得最小值時(shí),P在點(diǎn)Bl, B2或A處；（3）若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求29.已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 y2x上，其中PM取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo).0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的13.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在第二象限、半徑為212的圓C與直線y X相切于坐標(biāo)2原點(diǎn)O .橢圓Aa2y91與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為（1）求圓C的方程；（2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn) Q，使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段 O

5、F的 長.若存在，請求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.24 7cos ） （yP分別作圓C的兩條切線PE, PF，切點(diǎn)為E, F ,求自啟的最大值和最內(nèi)接圓（點(diǎn)C為圓心）（I）求圓C的方程；（II）設(shè)圓M的方程（X過圓M上任意一點(diǎn)小值.210.過雙曲線x的值為7cos )214的右焦點(diǎn)F作傾斜角為1050的直線，交雙曲線于PQ兩點(diǎn)，貝y |FP|FQ|11.設(shè)動點(diǎn)P到點(diǎn)F1（ 1,0）和F2（1,0）的距離分別為d1和d2，/ F1PF22 ，且存在常數(shù)(01)，使得 ddsin2（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出 C的方程；（2）如圖，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線 C的右支交于A,

6、B兩點(diǎn).問：是否存在，使 F1AB是以點(diǎn)B14.艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動 物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈 設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為；20電1千米/秒，炮彈的速度是Y 3 千米/秒，其中g(shù)為重力加速度,A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？ C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線I分別重合，試（2）若M（m,0）是X軸上的一定點(diǎn)，Q是（1）所求軌 若沒有，說明理由.若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦15.已知拋物線C: y2=4x.（1）若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線 求橢圓短軸端點(diǎn) B與焦點(diǎn)F連線中

7、點(diǎn)P的軌跡方程； 跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形? 值；若不存在，說明理由.若存在，求出2X216.已知A,B為橢圓a22乞1丄J2b(a>b>0)和雙曲線a21 的公共頂點(diǎn) ,P,Q分別為雙曲線和橢圓上不同于 A,B 的動點(diǎn) 且有 AP+BP = (AQ+BQ)( R,| |>1),設(shè) AP,BP,AQ,BQ斜率分別為 ki,k2,k3,k4,求證:k1+k2+k3+k4為一個(gè)定值.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過y軸正方向上一點(diǎn) C（0,c）任作一直線，與拋物線1 117 如圖，直線y= 2 X與拋物線y= 8 X2

8、 4交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線 y= 5交于相交于AB兩點(diǎn)，一條垂直于X軸的直線,分別與線段 AB和直線l : yc交于P,Q ,2，求c的值；（5 分）若Q點(diǎn).（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段 AB下方（含點(diǎn)A、B）的動點(diǎn)時(shí)，求OPQ面積 的最大值.(2)線；(3)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切（5分）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）A218.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,過定點(diǎn)C（0, P）作直線與拋物線x 2 Py （ P點(diǎn).（I）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)，求 ANB面積的最小值;于y軸的直線l，使得I被以AC為直徑的

9、圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出在，說明理由.0）相交于A, B兩（II）是否存在垂直l的方程；若不存1. ( 05全國卷2)2.解：（i）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為2 2(X,Xo)和(Xi, Xi )(Xi Xo),所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：d2切線AP的方程為:2x0 x yx00；2 i xi xi|(Xi 匸) 匸f)2 (Xi)24(x2 i)|Xi|(Xi 4三i4|Xi |切線BP的方程為:2xix yXi20；所以di=d2,即得/ AFP=/PFB.解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為:XpXo 2 為，ypXoXi當(dāng)XiXo 0時(shí)，直線AF的方程:Xo4 (x 0),即(X02Xi所以 AP

10、B的重心G的坐標(biāo)為XG Xo Xi XP直線2 yo yi yp x。 yG2XiXoXi3(XoXi)2XoXi4xp2 yp3所以2i xiBF的方程：y丄 4 XiP點(diǎn)到直線AF的距離為:i4(xi0),即(Xi2 Nx Xiyi4Xi所以yp4xG，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動,從而得到重心 G的軌跡方程為:di2 i x0 xi2 i(Xo 雜 V Xo Xi - Xo |x ( 3y4x2)（2）方法i:因?yàn)閕 220,即 y (4x232 i FA (Xo,Xoi),FP42).產(chǎn),XoXi i),FB24(Xi, Xi由于P點(diǎn)在拋物線外，則|FP| 0. cos AFP 4P4A-|F

11、P |FA|XoXiTX0i)(xo2 ；)44"' 22 i 2冋|%0(Xo -)2(XoXiXoXi4|FP|同理有cos BFPFP FB寸）/ AFP=/ PFB.方法2:當(dāng)xiXo1 FP | FB |FP |fxi2(Xi2丄4|FP|XoXi0時(shí)，由于XiXo,不妨設(shè)Xo0,則yoP點(diǎn)坐標(biāo)為（今，0），則P點(diǎn)到直線AF的距離為：di兇h而直線BF的方程:y2Xi一4 X,XiI 2|(Xo2XoI Xo Xi 2 一)(Xo2Xo到直線BF的距離d2|Xi Xo |'i 2'，因此由3.（I）解法一：直線I : y3解得X -. V橢圓中心2&

12、#163;)即(X： i)x Xiy Xi44i7)Xxoy0,| XoXi |di=d2，可得到/ AFP=/PFB.v 3x 3 , 過原點(diǎn)垂直I的直線方程為y（o, o）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)在橢圓 C的右準(zhǔn)線上,直線I過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0） . c 2, a26, b22.故橢圓X2<3，同理可得到P點(diǎn)C的方程為2y273i.解法二：直線I : y <3x 3 .設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線I對稱點(diǎn)為（p, q）,則衛(wèi)2門2 解得p=3.v橢圓中心（0, 0）關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上,i.240.23. c2直線l過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2, 0） . c 2,a

13、26,b2.故橢圓C解法二：設(shè) M ( Xi,yi), N ( X2,y2).當(dāng)直線m不垂直X軸時(shí)，直線m: k（x2）代入,2的方程為£_6(3k21)x212k2x12k260,XiX212k23k21（II）解法一:設(shè) M ( X1,y1), N( X2,y2).當(dāng)直線m不垂直X軸時(shí)，直線m :y k（X 2）代入，整理得(3k22 2 21)X212k2x 12k260,X1X212k2LX1 X212k23k2 E (- 2, 0)是橢圓 |MN|=|ME|+|NE|2=e( x1)c以下與解法一相同.C的左焦點(diǎn),2ace( X2) (X1caX2)12k23k21)2j6

14、2'(k21)3k21| MN |J1 k,''(x1X2)24x1x2<12M(1k2)解法三：設(shè)M( Xi, yi)，N( X2, y2).3k21設(shè)直線X ty 2，代入，整理得(t23)y24ty2 0.點(diǎn)0到直線MN的距離d|2k|<1 k2yiy24tt23,yiy2'4'OM ON 寸6 cot3MON ,即|0M| ON | cos4島衛(wèi)空0,3 sin MON| y1 y21、心1 y2）l( 4t|OM | |ON |sin MONS OMN即 4(6 |k Wk24 L 2r6(3k231).整理得k23,J33當(dāng)直線m

15、垂直X軸時(shí),也滿足S OMN故直線m的方程為y2J3，或X2.MON靜.-V6.3OM ON4廠朮 6 cot3MON ,即|OM |經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足OMON0.所以所求直線方程為2代卡或y|OM | |ON |sinS OMN S OEM24t2解得tMONS OENJ3,或 t0.4y6,OMN3)2|ON | cos訐.MON2I 24t24<6cos MON 0,3 sin MON1-|OE|整理得t4| y1y211' 24t2243t2.込,或X 2.故直線m的方程為經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為OM ON 0.33所以所求直線方程為y牛竽1 e2,e.If ,2得叩e21

16、 十a(chǎn)e ,于疋 所以 34. (I)證法一： 因?yàn)锳、B分別是直線I：y exa與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別即當(dāng)扌寸, PF1F2為等腰三角形.(汕。耳由所以點(diǎn)eb2y2x2aex a,y2 1得孑1,M的坐標(biāo)是(b2c,a ).證法二：因?yàn)閍,0),(0,a).eXoa(e所以yoa.e4解得 1 e2A、B分別是直線I:-(e1)2a2c,_b2 這里 cv'a2b解法二：因?yàn)镻F,丄I，所以/P FiF2=90°+/BAFi為鈍角，要使 PFi巨為等腰三角形，必有|P Fi|=|F1F2I,AM由y ex設(shè)M的坐標(biāo)是(x0,y0),由AM1)(a)2b2因

17、為點(diǎn)M在橢圓上,設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(xo, yo)，22(1 )e(1)2 0,解得e2(n)解法一：因?yàn)镻F1 丄 l,所以/AB得(c -2)e aa與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以AB 得(Xoa,yo)e所以2Xo2a2 yo b21,1e21.e2.yo 0XocXoA、B的坐標(biāo)分別是(a,a),ePF1F2=9o° +/ BAF1為鈍角，要使 PF1F2為等腰三角形，必解得yo 0則 2xoc2a.yoe237 c,e 12(1 e2)ae21有|PF1|=|F1F2|，即 1|PF1|C.設(shè)點(diǎn)F1到I的距離為d ,1-| PF1|由|e( c) 0 a | a ec|f 2<

18、1 e1 2c,V1 e(e2由 |PF1|=|F 1F2| 得兩邊同時(shí)除以4a2,3)c e21c22(1e2)214c2,/2八2(e 1)2化簡得 ee2.2e從而于是11 e21即當(dāng)23時(shí)，PF1F2為等腰三角形.5.(1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為橢圓的焦點(diǎn)為 F1( 1,O),F2(1,O).a、b、c,貝y a2=m,b2=m 1,c2=a2 b2=1故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為/ A( m, m+1),D(m,m+1)y考慮方程組 x2a2X= ±，即 X=± m.cX 1y2,消去 y 得：(m 1)x2+m(x+1)2=m(m

19、1)m 1整理得：(2 m 1)x2+2mx+2m m2=0A =4m2 4(2m 1)(2m m2)=8m(m 1)22W mW 5,.A > 0 恒成立，xb+xc=.2m 1又 A、B、C、D都在直線y=x+1上 |AB|=|xb xa|= 2 =(xB XA) U2 ,|CD|=v2 (xD xc)- |AB| |CD|''2 |xB XA+XD Xc|=2 |(xb+xc)(xa+xd)|10 k2又xa= m,xD=m,. xA+xD=0/. |AB| |CD|=XB+xcr ；5=2mr <2=2Im (2 w mW 5)1 2m2m令y=0,得 P的

20、橫坐標(biāo)xp2k24nk故 f(m)= 2勺亦,m 2,5：.2mIFPI Xp 2 心k4sin2 a從而 |FP| |FP |cos2a由£口)=竽衛(wèi)，可知f(m)= “22m-4(1 cos 2 a)sin a7. (I)證法一：由題設(shè) AF2 F1F2及F1(8為定值。sin ac,0) , F2(c,0)，不妨設(shè)點(diǎn) A(c, y)，其中1 11又 2 -< 2 <2-2 mf(m) 也9故f(m)的最大值為4、；2 :住，此時(shí)3(21)圖作2 c y 0，由于點(diǎn)A在橢圓上，有 a1,2.2a b2am=2;f(m)的最小值為10、' 2，此時(shí)m=5.6.(

21、n)解法一：如圖| FA|=| FC,| FB=| BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為XxXz,貝yAC 丄 I,BD丄I,垂足為9C D,則由拋物線的定義知|FA| = |AC = Xx p | FA | cosa 號| FA | cos a4解得| FA |cos a類似地有| FB | 4 | FB|cosa，解得| FB |4o1 cosa記直線m與AB的交點(diǎn)為E,貝U|FA| |FB|2|FE| |FA| |AE| |FA|1-(| FA| |FB |)cosa41 cosa4 cosa.2 sin a以|FP| ifeicosa4.2sin a故 |FP | FP |cos2a解法二：

22、設(shè) A(xa, yA),4(1 cos2a)sin aB(XB,yB)，直線24 2sin a2sin aAB的斜率為k tana將此式代入y2 8x ,得k2x24(k22)x4k20，故 xa xb，則直線方程為k(k22)k2k(x 2)。記直線m與AB的交點(diǎn)為22(k22)E(Xe, yE),則XaXbXeyEk(XE2)故直線m的方程為y 42k2解得y 一,從而得到ab2x2acyb2c 0 .cb2c，將2b2A c,，直線AF?的方程為ay (x c)，整理得2ac1由題設(shè)，原點(diǎn)0到直線AF1的距離為-l0F1，即,224a cc2a2 b2代入原式并化簡得a2 2b2，即 a

23、 J2b .證法二：同證法一，得到點(diǎn)過點(diǎn)0作0BBOF2AOF1F1A由橢圓定義得F2AAF1I |afAF1，垂足為b?A的坐標(biāo)為c, ,rA 2a |f2A(n)解法一：圓 x2當(dāng)t (0, b)時(shí)，圓x2o，解得f2a ，而F2A2，得a a-，即 a 72b .2y2 t2上的任意點(diǎn)M(X0, y。)處的切線方程為X0X %申t2 .y2 t2上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，故此圓在點(diǎn)不同的點(diǎn)Q1和Q2，因此點(diǎn)Q1(X1, yj , Q2(X2, y2)的坐標(biāo)是方程組A處的切線必交橢圓于兩個(gè)X12 k2.2X0X 、込 t2c 2“2X 2y 2b 的解.當(dāng)y。0時(shí)，由式得b2X2(a c)x

24、(a_b2,4t2y t一泌代入式,t2X0X 2222222b , (2x0 y0 )x 4t X0X42 22t 2b y00 ,y。b2c|PM|2的最小值只能在x 0或xc處取到.于是xiX24t2X02x22y。XX22t4 2b2yo2x22y0yiy2t2X0Xijt2X1X2即當(dāng)PM取得最小值時(shí),P在點(diǎn)Bi, B2或Ai處.y。yi|AiM | IMA2I，且Bi和B2同時(shí)位于“果圓”的半橢圓X0t2(xiX2)2X0XiX2i2y0t44t2X0心_ 222x0 y02t4 2b2y22X0_ 222X0*t4 2b2x22x2 y .2yb21 (x > 0)和半橢若

25、OQiOQ2，則XiX2yiy22t42X22b2 y22y0t4 2b2x222-2x0 y3t4 2b2(X2 yf)/s222x0 y0所以，3t4 2b2 (x： yf) 0 .由 x：y t2，得 3t4 2b2t20 在區(qū)間(0,b）內(nèi)此方程的解2圓爲(wèi)b上的情形即可.2| PM |2(xw 0)上,所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓y00時(shí)，必有X00,同理求得在區(qū)間（0, b）內(nèi)的解為t鳥.32c2aa2(a c)2c2b2(a c)24a2(a c)24c2另一方面,4632, 當(dāng)X旦至綜上所述,8.解：（i)F0F2b 時(shí)，可推出 xix2 yiy2 0 ,從而

26、 OQ, OQ2 .76 亍(0,F0(c, 0),Jb22c2此時(shí)P的橫坐標(biāo)是a2(ab）使得所述命題成立.Fi0,c2 , F2 0,b當(dāng)X d2c2c)I FFI 2jb2即 a w 2c 時(shí)，|PM|2的最小值在于是c23,4所求“果圓”方程為(X> 0) , y2i (Xw 0).(2)設(shè) P(x, y)，則| PM |2c)2c2a，即a 2c時(shí)，由于|PM |2在x a時(shí)是遞減的，| PM |2X a時(shí)取到，此時(shí)P的橫坐標(biāo)是a .綜上所述，若a w 2c，當(dāng)|PM |取得最小值時(shí)，點(diǎn)|PM |取得最小值時(shí)，點(diǎn) P的橫坐標(biāo)是a或 c .9. （ I）解法一：設(shè) A B兩點(diǎn)坐標(biāo)

27、分別為22yi , yi,的最小值在P的橫坐標(biāo)是 a 巴 c）;若a 2c，當(dāng)2c2,y2 ，由題設(shè)知2 2_y_22(yi 亦.解得 yi2 y；12,4 d2 d2 2d id 2 cos 2(di d?)2 4did2S in2所以 A(6,273) , B(6, 273)或 A(6,273), B(6,273).(di d2)2 4 42設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r ,0），則r 2 63所以圓C的方程為di d22ji (小于2的常數(shù))22(x 4) y 分故動點(diǎn)P的軌跡C是以Fi , F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a 2 的雙曲線.解法二：設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(Xi,yi),（x2, y2 ），由

28、題設(shè)知2 2 2XyiX22y2.(2)方法一：在 AFiB 中，設(shè) AFi di , AF2 dBFi da,又因?yàn)閥； 2Xi , y； 2X2，可得2Xi2X2 2x2 .即BFd4.假設(shè) AFiB為等腰直角三角形，則(Xi X2)(Xi X22)0 .由 X10 , X20 ,可知 X1X2 ,A B兩點(diǎn)關(guān)于X軸對稱，所以圓心C在X軸上.didad2d4設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（r,0），貝y a點(diǎn)坐標(biāo)為予孕，于是有73一r23 -r2，解得r 4，所以圓C的方程為(x 4)2 y2 16 . 分2a II1(®2adl 層3| d3d4si n2 亍dad4diIII(II)解：設(shè)

29、ECF, 2a，則cE|cF |CE|CF|2cos2 16cos 2 32cos16 .-分由與得d22a ,di在 RtA PCE 中，cos，由圓的幾何性質(zhì)得|PC| |PC|則da4a242d4d3 2a 2(72 i)a|PC |<I MC Ii所以一< cospT8 < ce|cf' <則cE|cF的最大值為2w 2，1698 , I PC |>|MC | 17 16 ,由此可得，最小值為 8 .ii.解：（i ）在卩 FiF2 中，F(xiàn)iF2 2由得d3d42,(8472)(1) 2 ,12 22 一（0，）916 k故存在 122&滿足題設(shè)條件.17(2)設(shè)過Q的切線為yy1k1 xxi2x，所以k12x1，即方法二：(1 )設(shè) AFiB為等腰直角三角形，依題設(shè)可得2