2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案雙曲線

1、雙_曲_線知識(shí)能否憶起1雙曲線的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)f1、f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xaya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它

2、的長(zhǎng)|b1b2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)通徑過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)為a、b、c的關(guān)系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)假設(shè)雙曲線方程為x22y21，那么它的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為()a.b.c.d.解析：選c雙曲線方程可化為x21，a21，b2.c2a2b2，c.左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.2(教材習(xí)題改編)假設(shè)雙曲線y21的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，那么它的離心率為()a.b.c.d2解析：選c依題意得a214，a23，故e.3設(shè)f1，f2是雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是雙曲線上的一點(diǎn)，且3|pf1|4|pf2|，那么pf1

3、f2的面積等于()a4b8c24d48解析：選c由p是雙曲線上的一點(diǎn)和3|pf1|4|pf2|可知，|pf1|pf2|2，解得|pf1|8，|pf2|6.又|f1f2|2c10，所以pf1f2為直角三角形，所以pf1f2的面積s×6×824.4雙曲線y21(a0)的離心率為2，那么該雙曲線的漸近線方程為_解析：由題意知2，解得a，故該雙曲線的漸近線方程是x±y0，即y±x.答案：y±x5f1(0，5)，f2(0,5)，一曲線上任意一點(diǎn)m滿足|mf1|mf2|8，假設(shè)該曲線的一條漸近線的斜率為k，該曲線的離心率為e，那么|k|·e_.解

4、析：根據(jù)雙曲線的定義可知，該曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的上支，c5，a4，b3，e，|k|.|k|·e×.答案：1.區(qū)分雙曲線與橢圓中a、b、c的關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.雙曲線的離心率e1；橢圓的離心率e(0,1)2漸近線與離心率：1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為 .可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小注意當(dāng)a>b>0時(shí)，雙曲線的離心率滿足1<e<；當(dāng)ab>0時(shí)，e(亦稱為等軸雙曲線)；當(dāng)b>a>0時(shí)，e>.3直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)

5、直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程典題導(dǎo)入例1(1)(2022·湖南高考)雙曲線c：1的焦距為10，點(diǎn)p(2,1)在c的漸近線上，那么c的方程為()a.1b.1c.1d.1(2)(2022·遼寧高考)雙曲線x2y21，點(diǎn)f1，f2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p為雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)pf1pf2，那么|pf1|pf2|的值為_自主解答(1)1的焦距為10，c5.又雙曲線漸近線方程為y±x，且p(2,1)在漸近線上，1，即a2b.由解得a2，b.(2)不妨設(shè)點(diǎn)p在雙曲線的右支上，

6、因?yàn)閜f1pf2，所以(2)2|pf1|2|pf2|2，又因?yàn)閨pf1|pf2|2，所以(|pf1|pf2|)24，可得2|pf1|·|pf2|4，那么(|pf1|pf2|)2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|12，所以|pf1|pf2|2.答案(1)a(2)2由題悟法1應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問題在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離假設(shè)定義中的“絕對(duì)值去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支2雙曲線方程的求法(1)假設(shè)不能明確焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，設(shè)雙曲線方程為mx2ny21

7、(mn<0)(2)與雙曲線1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)(3)假設(shè)漸近線方程為mxny0，那么雙曲線方程可設(shè)為m2x2n2y2(0)以題試法1(2022·大連模擬)設(shè)p是雙曲線1上一點(diǎn)，f1，f2分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)|pf1|9，那么|pf2|()a1b17c1或17d以上答案均不對(duì)解析：選b由雙曲線定義|pf1|pf2|8，又|pf1|9，|pf2|1或17，但雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為ca6421，|pf2|17.雙曲線的幾何性質(zhì)典題導(dǎo)入例2(2022·浙江高考)如圖，f1，f2分別是雙曲線c：1(a，b0)的左、右焦點(diǎn)，b是虛軸的端點(diǎn)，直

8、線f1b與c的兩條漸近線分別交于p，q兩點(diǎn)，線段pq的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)m.假設(shè)|mf2|f1f2|，那么c的離心率是()a.b.c.d.自主解答設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1(c,0)，f2(c,0)b(0，b)，f1b所在的直線為1.雙曲線漸近線為y±x，由得q.由得p，pq的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由a2b2c2得，pq的中點(diǎn)坐標(biāo)可化為.直線f1b的斜率為k，pq的垂直平分線為y.令y0，得xc，m，|f2m|.由|mf2|f1f2|得2c，即3a22c2，e2，e.答案b假設(shè)本例條件變?yōu)椤按穗p曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，且，求雙曲線的離心率的取值范圍解：根據(jù)題意知1，即1.所以e2.即

9、離心率的取值范圍為( ，2)由題悟法1漸近線方程ymx，求離心率時(shí)，假設(shè)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，m(m0)或m，故離心率有兩種可能2解決與雙曲線幾何性質(zhì)相關(guān)的問題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以題試法2(1)(2022·福建高考)雙曲線1的右焦點(diǎn)為(3,0)，那么該雙曲線的離心率等于()a.b.c.d.解析：選c由題意知c3，故a259，解得a2，故該雙曲線的離心率e.(2)(2022·大同模擬)雙曲線1(a0，b0)與拋物線y28x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)f，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為p，假設(shè)|pf|5，那么雙曲線的漸近線方程為()ay±xby±xcy±xdy&#

10、177;x解析：選b設(shè)點(diǎn)p(m，n)，依題意得，點(diǎn)f(2,0)，由點(diǎn)p在拋物線y28x上，且|pf|5得由此解得m3，n224.于是有由此解得a21，b23，該雙曲線的漸近線方程為y±x±x.直線與雙曲線的位置關(guān)系典題導(dǎo)入例3(2022·南昌模擬)雙曲線1(b>a>0)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e2，點(diǎn)m(，)在雙曲線上(1)求雙曲線的方程；(2)假設(shè)直線l與雙曲線交于p，q兩點(diǎn)，且·0.求的值自主解答(1)e2，c2a，b2c2a23a2，雙曲線方程為1，即3x2y23a2.點(diǎn)m(，)在雙曲線上，1533a2.a24.所求雙曲線的方程為1.(2

11、)設(shè)直線op的方程為ykx(k0)，聯(lián)立1，得|op|2x2y2.那么oq的方程為yx，同理有|oq|2，.由題悟法1解決此類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入2與中點(diǎn)有關(guān)的問題常用點(diǎn)差法注意根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系以題試法3(2022·長(zhǎng)春模擬)f1，f2分別為雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)f2作此雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為m，滿足|,|3|,|，那么此雙曲線的漸近線方程為_解析：由雙曲線的性質(zhì)可得|,|b，那么|,

12、|3b.在mf1o中，|,|a，|,|c，cosf1om，由余弦定理可知，又c2a2b2，所以a22b2，即，故此雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x1(2022·唐山模擬)雙曲線的漸近線為y±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(4,0)，那么雙曲線方程為()a.1b.1c.1d.1解析：選a由題意可設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，由條件可得即解得故雙曲線方程為1.2假設(shè)雙曲線過點(diǎn)(m，n)(mn0)，且漸近線方程為y±x，那么雙曲線的焦點(diǎn)()a在x軸上b在y軸上c在x軸或y軸上d無法判斷是否在坐標(biāo)軸上解析：選amn0，點(diǎn)(m，n)在第一象限且在直

13、線yx的下方，故焦點(diǎn)在x軸上3(2022·華南師大附中模擬)m是兩個(gè)正數(shù)2,8的等比中項(xiàng)，那么圓錐曲線x21的離心率為()a.或b.c.d.或解析：選dm216，m±4，故該曲線為橢圓或雙曲線當(dāng)m4時(shí)，e.當(dāng)m4時(shí)，e.4.(2022·浙江高考)如圖，中心均為原點(diǎn)o的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，m，n是雙曲線的兩頂點(diǎn)假設(shè)m，o，n將橢圓長(zhǎng)軸四等分，那么雙曲線與橢圓的離心率的比值是()a3b2c.d.解析：選b設(shè)焦點(diǎn)為f(±c,0)，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，那么雙曲線的離心率e1，橢圓的離心率e2，所以2.5(2022·哈爾濱模擬)p是雙曲線1(a0，

14、b0)上的點(diǎn)，f1，f2是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是，且,·,0，假設(shè)pf1f2的面積為9，那么ab的值為()a5b6c7d8解析：選c由,·,0得,，設(shè)|,|m，|,|n，不妨設(shè)mn，那么m2n24c2，mn2a，mn9，解得b3，ab7.6(2022·浙江模擬)平面內(nèi)有一固定線段ab，|ab|4，動(dòng)點(diǎn)p滿足|pa|pb|3，o為ab中點(diǎn)，那么|op|的最小值為()a3b2c.d1解析：選c依題意得，動(dòng)點(diǎn)p位于以點(diǎn)a，b為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為3的雙曲線的一支上，結(jié)合圖形可知，該曲線上與點(diǎn)o距離最近的點(diǎn)是該雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，因此|op|的最小值等于.7(2022·

15、;西城模擬)假設(shè)雙曲線x2ky21的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0)，那么實(shí)數(shù)k_.解析：雙曲線x2ky21的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0)，1329，可得k.答案：8(2022·天津高考)雙曲線c1：1(a>0，b>0)與雙曲線c2：1有相同的漸近線，且c1的右焦點(diǎn)為f(，0)，那么a_，b_.解析：雙曲線1的漸近線為y±2x，那么2，即b2a，又因?yàn)閏，a2b2c2，所以a1，b2.答案：129(2022·濟(jì)南模擬)過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)f作圓x2y2的切線，切點(diǎn)為e，延長(zhǎng)fe交雙曲線右支于點(diǎn)p，假設(shè)e為pf的中點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為_解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)

16、為f.由于e為pf的中點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)o為ff的中點(diǎn)，所以eopf，又eopf，所以pfpf，且|pf|2×a，故|pf|3a，根據(jù)勾股定理得|ff|a.所以雙曲線的離心率為.答案：10(2022·宿州模擬)雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)(4，)點(diǎn)m(3，m)在雙曲線上(1)求雙曲線方程；(2)求證：·0.解：(1)e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2(0)過點(diǎn)(4，)，1610，即6.雙曲線方程為1.(2)證明：由(1)可知，雙曲線中ab，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2，kmf1·kmf2.點(diǎn)(3，m)在雙

17、曲線上，9m26，m23，故kmf1·kmf21，mf1mf2.·0.11(2022·廣東名校質(zhì)檢)雙曲線的方程是16x29y2144.(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)f1和f2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上，且|pf1|·|pf2|32，求f1pf2的大小解：(1)由16x29y2144得1，所以a3，b4，c5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)f1(5,0)，f2(5,0)，離心率e，漸近線方程為y±x.(2)由雙曲線的定義可知|pf1|pf2|6，cosf1pf20，那么f1pf290°.12如圖，p是以f1、f2為焦點(diǎn)

18、的雙曲線c：1上的一點(diǎn)，1·20，且|1|2|2|.(1)求雙曲線的離心率e；(2)過點(diǎn)p作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于p1，p2兩點(diǎn)，假設(shè)1·2，2120.求雙曲線c的方程解：(1)由1·20，得12，即f1pf2為直角三角形設(shè)|2|r，|1|2r，所以(2r)2r24c2，2rr2a，即5×(2a)24c2.所以e.(2)2，可設(shè)p1(x1,2x1)，p2(x2，2x2)，p(x，y)，那么1·2x1x24x1x2，所以x1x2.由2120，得即x，y.又因?yàn)辄c(diǎn)p在雙曲線1上，所以1.又b24a2，代入上式整理得x1x2a2.由得a22

19、，b28.故所求雙曲線方程為1.1(2022·長(zhǎng)春模擬)設(shè)e1、e2分別為具有公共焦點(diǎn)f1、f2的橢圓和雙曲線的離心率，p是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足|,|,|，那么的值為()a.b2c.d1解析：選a依題意，設(shè)|pf1|m，|pf2|n，|f1f2|2c，不妨設(shè)mn.那么由|,|,|得|,|,|,|，即|,|2|,|2，所以,·,0，所以m2n24c2.又e1，e2，所以2，所以.2雙曲線1(a1，b0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(1,0)到直線l的距離之和sc，那么雙曲線的離心率e的取值范圍為_解析：由題意知直線l的方

20、程為1，即bxayab0.由點(diǎn)到直線的距離公式得，點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1，同理得，點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.所以52e2，即4e425e2250，解得e25.由于e1，所以e的取值范圍為.答案：3設(shè)a，b分別為雙曲線1(a0，b0)的左，右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)直線yx2與雙曲線的右支交于m、n兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)d，使,t,，求t的值及點(diǎn)d的坐標(biāo)解：(1)由題意知a2，故一條漸近線為yx，即bx2y0，那么，得b23，故雙曲線的方程為1.(2)設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，那么x1x2tx0，y1y2ty0，將直線方程代入雙曲線方程得x216x840，那么x1x216，y1y212