2019-2020學(xué)年新教材人教B版第三冊(cè)學(xué)案：第7章7.17.1.2弧度制及其與角度制的換算

1、7.1.2 弧度制及其與角度制的換算學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .了解弧度制，能熟練地進(jìn)行弧度制與角度制之間的換算（重點(diǎn)）2 .掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式（難點(diǎn)）核心素養(yǎng)1 .通過(guò)弧度制概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)2 .借助角度與弧度的互化、扇形的弧長(zhǎng)與面積的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng) .1 .角度制與弧度制的定義（1）角度制：用度作單位來(lái)度量角的制度稱(chēng)為角度制角度制規(guī)定60 分等于1 度， 60 秒等于 1 分(2)弧度制：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角為1 弧度的角，記作1rad.2 .角的弧度數(shù)的計(jì)算在半徑為r 的圓中，若弧長(zhǎng)為l 的弧所對(duì)圓心角為 rad，則 rl .3 .

2、角度與弧度的互化4 一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系角度0153045607590120135150弧度0126435122233456角度180210225240270300315330360弧度7654433253741162思考1： 某同學(xué)表示與30角終邊相同的角的集合時(shí)寫(xiě)成S | 2k 30，k Z，這種表示正確嗎？為什么？提示 這種表示不正確，同一個(gè)式子中，角度、弧度不能混用，否則產(chǎn)生混亂，正確的表示方法應(yīng)為 2k6，kZ 或|k36030，kZ5 扇形的弧長(zhǎng)與面積公式設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l， 為其圓心角，則 為度數(shù) 為弧度數(shù)扇形的弧長(zhǎng) rl 180l r扇形的面積2S r S 36

3、0S1lr1r2221思考2： 在弧度制下的扇形面積公式S12lr 可類(lèi)比哪種圖形的面積公式加以記憶？提示 此公式可類(lèi)比三角形的面積公式來(lái)記憶1.1 080 等于 ()A 1 080B 103C 10D 6D 1 080 180 6，所以 1 080 化為弧度是6 .22.與角2 終邊相同的角是()3A11B2k 2( k Z)33C2k 130( kZ)D(2k1) 32( kZ)11 552C 選項(xiàng) A 中113253， 與角53終邊相同，故 A 項(xiàng)錯(cuò)；2k32，kZ，k1 時(shí)，得 0,2 )之間的角為4，故與4有相同的終邊，B 項(xiàng)錯(cuò)；2k10，333kZ，當(dāng)k 2時(shí)，得 0,2 )之間的

4、角為2 ，與2 有相同的終邊，故C 項(xiàng)對(duì)； (2k33 1)2 ， k Z，當(dāng)k 0 時(shí)，得 0,2 )之間的角為5 ，故 D 項(xiàng)錯(cuò) 333.圓心角為 弧度，半徑為6 的扇形的面積為316扇形的面積為 6 6.23弧度制的概念【 例 1】 下列命題中，假命題是()A“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位8 1的角是周角的1 ， 1 rad的角是周角的13602C1 rad的角比 1的角要大D用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)思路探究 由題目可獲取以下主要信息：各選項(xiàng)中均涉及到角度與弧度，解答本題可從角度和弧度的定義著手D 根據(jù)角度和弧度的定義，可知無(wú)論是角度制還是弧度制，角的大小與

5、圓的半徑長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，而是與弧長(zhǎng)與半徑的比值有關(guān)，所以D 項(xiàng)是假命題，A、 B、C 項(xiàng)均為真命題弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系 單位不同，弧度制以“ 弧度 ” 為度量單位，角度制以“ 度 ” 為度量單區(qū)別 位； 定義不同不管以 “ 弧度 ” 還是以 “ 度 ” 為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大聯(lián)系小無(wú)關(guān)的定值1.下列各說(shuō)法中，錯(cuò)誤的說(shuō)法是()A半圓所對(duì)的圓心角是 radB周角的大小等于2C 1 弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1 弧度答案 D角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換37【 例2】設(shè)角1570，2750，15，23.(1)將1， 2用弧度制表示出來(lái)，并指出它們各

6、自所在的象限；(2)將1， 2用角度制表示出來(lái)，并在720 0之間找出與它們終邊相同的所有角思路探究 由題目可獲取以下主要信息：37(1)用角度制給出的兩個(gè)角570， 750，用弧度制給出的兩個(gè)角35 ，73 ；53(2)終邊相同的角的表示解 答 本 題 (1)可 先 將 570 ， 750 化 為 弧 度 角 再 將 其 寫(xiě) 成 2k (k Z,0 2) 的形式，解答(2)可先將1、 2用角度制表示，再將其寫(xiě)成k360(k Z)的形式解 (1)要確定角 所在的象限，只要把 表示為 2k 0(k Z,0 02)0 所在象限即可判定出 所在的象限1570 1956 4 6 ，25 2 750 6

7、 4 6. 1 在第二象限，2 在第一象限3(2) 1 108，設(shè) 1 k 360 (k Z)，5720 0，得720 108 k3600，k2 或 k1，在720 0間與1 有相同終邊的角是612和252.2420且在720 0間與 2有相同終邊的角是60.角度制與弧度制的轉(zhuǎn)換中的注意點(diǎn)1 在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad 180是關(guān)鍵 .由它可以得：度數(shù) 弧度數(shù)，弧度數(shù) 180 度數(shù) .1802 特殊角的弧度數(shù)與度數(shù)對(duì)應(yīng)值今后常用，應(yīng)該熟記3 在同一個(gè)式子中，角度與弧度不能混合用，必須保持單位統(tǒng)一，如 2k30，k Z 是不正確的寫(xiě)法.4 判斷角 終邊所在的象限時(shí)，若 2 ，2

8、 ，應(yīng)首先把 表示成終邊2k ， 2 ， 2 的形式，然后利用角 終邊所在的象限來(lái)確定角所在的象限.2.用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角 的集合7解 因?yàn)?0 6 rad,210 6 rad，這兩個(gè)角的終邊所在的直線(xiàn)相同，因?yàn)榻K邊在直線(xiàn)AB 上的角為 k ，6k Z，而終邊在y 軸上的角為 k 2， k Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為 k 6 k 2， k Z .弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用探究問(wèn)題1.用公式| rl求圓心角時(shí)，應(yīng)注意什么問(wèn)題？提示 應(yīng)注意結(jié)果是圓心角的絕對(duì)值，具體應(yīng)用時(shí)既要注意其大小，又要注意其正負(fù)2.在使用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及面積公式時(shí)，若已知

9、的角是以“ 度 ” 為單位，需注意什么問(wèn)題？提示 若已知的角是以“ 度 ” 為單位，則必須先把它化成弧度后再計(jì)算，否則結(jié)果出錯(cuò)【例3】 (1)設(shè)扇形的周長(zhǎng)為8 cm，面積為4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A 1 radB 2 radC 3 radD 4 rad(2)已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm， 當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？思路探究(1)可由扇形周長(zhǎng)和面積建立方程組，通過(guò)解方程組求得(2)可通過(guò)建立扇形面積的目標(biāo)函數(shù)來(lái)求解(1)B 設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，由題意得l 4，解得r 2，2r l 8，12l r 4，則圓心角 r 2 rad.(2)

10、解 設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S.11則 l202r， S2lr2（202r） rr(變條件)用 30 cm 長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)扇形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解 設(shè)扇形的圓心角為， 半徑為r， 面積為S， 弧長(zhǎng)為 l， 則有l(wèi) 2r 30， 12152 2252（30 2r） rr 15r r 2 4 .10r（r5）225（0r10）當(dāng)半徑r 5 cm 時(shí)，扇形的面積最大，為25 cm2.l20 2 5此時(shí) 2 rad.r51l 30 2r，從而S 2l r當(dāng)它的半徑為5 cm， 圓心角為2 rad時(shí)， 扇形面積最大，最大面積為25 cm21515225當(dāng)半徑r

11、125cm 時(shí)，l30212515cm，扇形面積的最大值是2425cm2，這時(shí) 2 rad.r當(dāng)扇形的圓心角為2 rad，半徑為125 cm 時(shí)，面積最大，為2425 cm2.弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟：11(1)明確弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：l| |r，S2r2和S2lr；(這里 必須是弧度制下的角)；(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式；(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.1.釋疑弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式(1)公式中共四個(gè)量分別為， l， r， S， 由其中的兩個(gè)量可以求出另外的兩個(gè)量，即知二求二(2)運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡(jiǎn)單得多

12、，但要注意它的前提是 為弧度制(3)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用： l r， rl，rl；S21r 2， 2r2S.2.角度制與弧度制的比較角度制用度作為單位來(lái)度 量角的單位制角的大小與 半徑無(wú)關(guān)單位“”不能省略角的正負(fù) 與方向有關(guān)六十 進(jìn)制弧度制用弧度作為單位來(lái) 度量角的單位制角的大小與 半徑無(wú)關(guān)單位 “ rad” 可 以省略角的正負(fù) 與方向有關(guān)十進(jìn)制1.把 56 1化為弧度是5()5AB54C56D51656 1556.25 225 54 180 16.2.在半徑為10的圓中，240的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為()A40320B 3C2003400D 3240 240 180 rad 3 得 r 1， l 2， rl 2 rad.扇形的圓心角