2022年中考數(shù)學復(fù)習專題講座二新概念型問題(含答案)

1、2022年中考數(shù)學專題講座二：新概念型問題一、中考專題詮釋所謂“新概念型問題，主要是指在問題中概念了中學數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新概念進行運算、推理、遷移的一種題型.“新概念型問題成為近年來中考數(shù)學壓軸題的新亮點.在復(fù)習中應(yīng)重視學生應(yīng)用新的知識解決問題的能力二、解題策略和解法精講“新概念型專題關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移三、中考典例剖析考點一：規(guī)律題型中的新概念例1 2022永州我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1，3，9，1

2、9，33，就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差如2，4，6，8，10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，那么稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列例如數(shù)列1，3，9，19，33，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2，6，10，14，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列1，3，9，19，33，是一個二階等差數(shù)列那么，請問二階等差數(shù)列1，3，7，13，的第五個數(shù)應(yīng)是21思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，由此得出相鄰兩數(shù)之差依次大2，

3、故13的后一個數(shù)比13大8解答：解：由數(shù)字規(guī)律可知，第四個數(shù)13，設(shè)第五個數(shù)為x，那么x-13=8，解得x=21，即第五個數(shù)為21，故答案為：21點評：此題考查了數(shù)字變化規(guī)律類問題關(guān)鍵是確定二階等差數(shù)列的公差為2對應(yīng)訓練12022自貢假設(shè)x是不等于1的實數(shù)，我們把稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是=-1，-1的差倒數(shù)為= ，現(xiàn)x1=- ，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4是x3的差倒數(shù)，依次類推，那么x2022=考點二：運算題型中的新概念例2 2022菏澤將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，概念=ad-bc，上述記號就叫做2階行列式假設(shè)=8，那么x= 2思路分析

4、：根據(jù)題中的新概念將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值解：根據(jù)題意化簡=8，得：x+12-1-x2=8，整理得：x2+2x+1-1-2x+x2-8=0，即4x=8，解得：x=2故答案為：2點評：此題考查了整式的混合運算，屬于新概念的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法那么，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解此題的關(guān)鍵對應(yīng)訓練22022株洲假設(shè)x1，y1x2，y2=x1x2+y1y2，那么4，56，8=考點三：探索題型中的新概念例3 2022南京如圖，a、b是o上的兩個定點，p是o上的動點p不與a、b重合、我們稱apb是o上關(guān)于點a、b的滑動角1apb

5、是o上關(guān)于點a、b的滑動角，假設(shè)ab是o的直徑，那么apb=°；假設(shè)o的半徑是1，ab=，求apb的度數(shù)；2o2是o1外一點，以o2為圓心作一個圓與o1相交于a、b兩點，apb是o1上關(guān)于點a、b的滑動角，直線pa、pb分別交o2于m、n點m與點a、點n與點b均不重合，連接an，試探索apb與man、anb之間的數(shù)量關(guān)系思路分析：1根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°即可求解；根據(jù)勾股定理的逆定理可得aob=90°，再分點p在優(yōu)弧上；點p在劣弧上兩種情況討論求解；2根據(jù)點p在o1上的位置分為四種情況得到apb與man、anb之間的數(shù)量關(guān)系解：1假設(shè)ab是o的直徑，那么a

6、pb=90如圖，連接ab、oa、ob在aob中，oa=ob=1ab=，oa2+ob2=ab2aob=90°當點p在優(yōu)弧上時，ap1b=aob=45°；2根據(jù)點p在o1上的位置分為以下四種情況第一種情況：點p在o2外，且點a在點p與點m之間，點b在點p與點n之間，如圖man=apb+anb，apb=mananb；第二種情況：點p在o2外，且點a在點p與點m之間，點n在點p與點b之間，如圖man=apb+anp=apb+180°anb，apb=man+anb180°；第三種情況：點p在o2外，且點m在點p與點a之間，點b在點p與點n之間，如圖apb+anb+

7、man=180°，apb=180°mananb，第四種情況：點p在o2內(nèi)，如圖，apb=man+anb點評：綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的位置關(guān)系，此題難度較大，注意分類思想的運用對應(yīng)訓練32022陜西如果一條拋物線y=ax2+bx+ca0與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形1“拋物線三角形一定是等腰三角形；2假設(shè)拋物線y=-x2+bxb0的“拋物線三角形是等腰直角三角形，求b的值；3如圖，oab是拋物線y=-x2+bxb0的“拋物線三角形，是否存在以原點o為對稱中心的矩形abcd假設(shè)存在，求出過o

8、、c、d三點的拋物線的表達式；假設(shè)不存在，說明理由考點四：開放題型中的新概念例4 2022北京在平面直角坐標系xoy中，對于任意兩點p1x1，y1與p2x2，y2的“非常距離，給出如下概念：假設(shè)|x1-x2|y1-y2|，那么點p1與點p2的“非常距離為|x1-x2|；假設(shè)|x1-x2|y1-y2|，那么點p1與點p2的“非常距離為|y1-y2|例如：點p11，2，點p23，5，因為|1-3|2-5|，所以點p1與點p2的“非常距離為|2-5|=3，也就是圖1中線段p1q與線段p2q長度的較大值點q為垂直于y軸的直線p1q與垂直于x軸的直線p2q交點1點a-，0，b為y軸上的一個動點，假設(shè)點a

9、與點b的“非常距離為2，寫出一個滿足條件的點b的坐標；直接寫出點a與點b的“非常距離的最小值；2c是直線y=x+3上的一個動點，如圖2，點d的坐標是0，1，求點c與點d的“非常距離的最小值及相應(yīng)的點c的坐標；如圖3，e是以原點o為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點c與點e的“非常距離的最小值及相應(yīng)的點e與點c的坐標思路分析：1根據(jù)點b位于y軸上，可以設(shè)點b的坐標為0，y由“非常距離的概念可以確定|0-y|=2，據(jù)此可以求得y的值；設(shè)點b的坐標為0，y因為|-0|0-y|，所以點a與點b的“非常距離最小值為|-0|=；2設(shè)點c的坐標為x0，x0+3根據(jù)材料“假設(shè)|x1-x2|y1-y2|，那么

10、點p1與點p2的“非常距離為|x1-x2|知，c、d兩點的“非常距離的最小值為-x0=x0+2，據(jù)此可以求得點c的坐標；當點e在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時，點c與點e的“非常距離最小，即e-，解答思路同上解：1b為y軸上的一個動點，設(shè)點b的坐標為0，y|-0|=2，|0-y|=2，解得，y=2或y=-2；點b的坐標是0，2或0，-2；點a與點b的“非常距離的最小值為；2c是直線y=x+3上的一個動點，設(shè)點c的坐標為x0，x0+3，-x0=x0+2，此時，x0=-，點c與點d的“非常距離的最小值為：，此時c-，；e-，-x0=x0+3-，解得，x0=-，那么點c的坐標為-，最小值為1

11、點評：此題考查了一次函數(shù)綜合題對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的條件此題中的“非常距離的概念是正確解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓練42022臺州請你規(guī)定一種適合任意非零實數(shù)a，b的新運算“ab，使得以下算式成立：12=21=3，-3-4=-4-3=-，-35=5-3=-，你規(guī)定的新運算ab=用a，b的一個代數(shù)式表示考點五：閱讀材料題型中的新概念例5 2022常州平面上有兩條直線ab、cd相交于點o，且bod=150°如圖，現(xiàn)按如下要求規(guī)定此平面上點的“距離坐標：1點o的“距離坐標為0，0；2在直線cd上，且到直線ab的距離為pp0的點的“距離坐標為p，0；在直線ab上，且到直線cd的距離為qq0

12、的點的“距離坐標為0，q；3到直線ab、cd的距離分別為p，qp0，q0的點的“距離坐標為p，q設(shè)m為此平面上的點，其“距離坐標為m，n，根據(jù)上述對點的“距離坐標的規(guī)定，解決以下問題：1畫出圖形保存畫圖痕跡：滿足m=1，且n=0的點m的集合；滿足m=n的點m的集合；2假設(shè)點m在過點o且與直線cd垂直的直線l上，求m與n所滿足的關(guān)系式說明：圖中oi長為一個單位長思路分析：1以o為圓心，以2為半徑作圓，交cd于兩點，那么此兩點為所求；分別作boc和bod的角平分線并且反向延長，即可求出答案；2過m作mnab于n，根據(jù)得出om=n，mn=m，求出nom=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出sin6

13、0°=，求出即可解：1如下列圖：點m1和m2為所求；如下列圖：直線mn和直線efo除外為所求；2如圖：過m作mnab于n，m的“距離坐標為m，n，om=n，mn=m，bod=150°，直線lcd，mon=150°-90°=60°，在rtmon中，sin60°=，即m與n所滿足的關(guān)系式是：m=n點評：此題考查了銳角三角函數(shù)值，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形的應(yīng)用，主要考查學生的動手操作能力和計算能力，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等對應(yīng)訓練52022欽州在平面直角坐標系中，對于平面內(nèi)任意一點x，y，假設(shè)規(guī)定以下兩種變換：fx

14、，y=y，x如f2，3=3，2；gx，y=-x，-y，如g2，3=-2，-3按照以上變換有：fg2，3=f-2，-3=-3，-2，那么gf-6，7等于a7，6b7，-6c-7，6d-7，-6四、中考真題演練一、選擇題12022六盤水概念：fa，b=b，a，gm，n=-m，-n例如f2，3=3，2，g-1，-4=1，4那么gf-5，6等于a-6，5b-5，-6c6，-5d-5，622022湘潭文文設(shè)計了一個關(guān)于實數(shù)運算的程序，按此程序，輸入一個數(shù)后，輸出的數(shù)比輸入的數(shù)的平方小1，假設(shè)輸入，那么輸出的結(jié)果為a5b6c7d8點評：此題考查的是實數(shù)的運算，根據(jù)題意得出輸出數(shù)的式子是解答此題的關(guān)鍵3 2

15、022麗水小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)3，6，9，12，稱為三角形數(shù)類似地，圖2中的4，8，12，16，稱為正方形數(shù)以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是a2022b2022c2022d2022二、填空題42022常德規(guī)定用符號m表示一個實數(shù)m的整數(shù)局部，例如：=0，3.14=3按此規(guī)定的值為52022隨州概念：平面內(nèi)的直線與相交于點o，對于該平面內(nèi)任意一點m，點m到直線、的距離分別為a、b，那么稱有序非實數(shù)對a，b是點m的“距離坐標，根據(jù)上述概念，距離坐標為2，3的點的個數(shù)是a2b1c4d362022荊門新概念：a，b為一次函數(shù)y=ax+ba0，a，b為實數(shù)的“

16、關(guān)聯(lián)數(shù)假設(shè)“關(guān)聯(lián)數(shù)1，m-2的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，那么關(guān)于x的方程+=1的解為x=372022自貢如圖，abc是正三角形，曲線cdef叫做正三角形的漸開線，其中弧cd、弧de、弧ef的圓心依次是a、b、c，如果ab=1，那么曲線cdef的長是482022泉州在abc中，p是ab上的動點p異于a、b，過點p的直線截abc，使截得的三角形與abc相似，我們不妨稱這種直線為過點p的abc的相似線，簡記為plxx為自然數(shù)1如圖，a=90°，b=c，當bp=2pa時，pl1、pl2都是過點p的abc的相似線其中l(wèi)1bc，l2ac，此外，還有1條；2如圖，c=90°，b=30

17、6;，當=時，plx截得的三角形面積為abc面積的三、解答題92022銅仁地區(qū)如圖，概念：在直角三角形abc中，銳角的鄰邊與對邊的比叫做角的余切，記作ctan，即ctan=，根據(jù)上述角的余切概念，解以下問題：1ctan30°=；2如圖，tana=，其中a為銳角，試求ctana的值102022無錫對于平面直角坐標系中的任意兩點p1x1，y1，p2x2，y2，我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做p1、p2兩點間的直角距離，記作dp1，p21o為坐標原點，動點px，y滿足do，p=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點p所組成的圖形；2設(shè)p0x0，

18、y0是一定點，qx，y是直線y=ax+b上的動點，我們把dp0，q的最小值叫做p0到直線y=ax+b的直角距離試求點m2，1到直線y=x+2的直角距離112022廈門如圖，在平面直角坐標系中，點a2，3、b6，3，連接ab如果點p在直線y=x-1上，且點p到直線ab的距離小于1，那么稱點p是線段ab的“臨近點1判斷點c是否是線段ab的“臨近點，并說明理由；2假設(shè)點qm，n是線段ab的“臨近點，求m的取值范圍122022蘭州如圖，概念：假設(shè)雙曲線y=k0與它的其中一條對稱軸y=x相交于a、b兩點，那么線段ab的長度為雙曲線y=k0的對徑1求雙曲線y=的對徑2假設(shè)雙曲線y=k0的對徑是10，求k的

19、值3仿照上述概念，概念雙曲線y=k0的對徑132022紹興聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念概念：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心舉例：如圖1，假設(shè)pa=pb，那么點p為abc的準外心應(yīng)用：如圖2，cd為等邊三角形abc的高，準外心p在高cd上，且pd=ab，求apb的度數(shù)探究：abc為直角三角形，斜邊bc=5，ab=3，準外心p在ac邊上，試探究pa的長142022嘉興將abc繞點a按逆時針方向旋轉(zhuǎn)度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得abc，即如圖，我們將這種變換記為，n1如圖，對abc作變換60°，得abc，那么sabc：sabc= 3；直線bc與直線bc所

20、夾的銳角為60度；2如圖，abc中，bac=30°，acb=90°，對abc 作變換，n得ab'c'，使點b、c、c在同一直線上，且四邊形abb'c'為矩形，求和n的值；3如圖，abc中，ab=ac，bac=36°，bc=l，對abc作變換，n得abc，使點b、c、b在同一直線上，且四邊形abb'c'為平行四邊形，求和n的值152022臺州概念：p、q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段pq長度的最小值叫做線段a與線段b的距離o0，0，a4，0，bm，n，cm+4，n是平面直角坐標系中四點1根據(jù)上述概念，當

21、m=2，n=2時，如圖1，線段bc與線段oa的距離是2；當m=5，n=2時，如圖2，線段bc與線段oa的距離即線段ab長為；2如圖3，假設(shè)點b落在圓心為a，半徑為2的圓上，線段bc與線段oa的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式3當m的值變化時，動線段bc與線段oa的距離始終為2，線段bc的中點為m，求出點m隨線段bc運動所圍成的封閉圖形的周長；點d的坐標為0，2，m0，n0，作mnx軸，垂足為h，是否存在m的值使以a、m、h為頂點的三角形與aod相似假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在，請說明理由專題講座二：新概念型問題參考答案三、中考典例剖析對應(yīng)訓練1解：x1=-，x2=，x3=4，x4=，差倒

22、數(shù)為3個循環(huán)的數(shù)，2022=670×3+2，x2022=x2=，故答案為：264解：x1，y1x2，y2=x1x2+y1y2，4，56，8=4×6+5×8=64，故答案為643解：1如圖；根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點a必在o、b的垂直平分線上，所以oa=ab，即：“拋物線三角形必為等腰三角形故填：等腰2拋物線y=-x2+bxb0的“拋物線三角形是等腰直角三角形，該拋物線的頂點滿足b0b=23存在如圖，作ocd與oab關(guān)于原點o中心對稱，那么四邊形abcd為平行四邊形當oa=ob時，平行四邊形abcd是矩形，又ao=ab，oab為等邊三角形作aeob，垂足為e，

23、ae=oe=b0b=2a，3，b2，0c-，-3，d-2，0設(shè)過點o、c、d的拋物線為y=mx2+nx，那么，解得故所求拋物線的表達式為y=x2+2x4解：根據(jù)題意可得：12=21=3=，-3-4=-4-3=-=，-35=5-3=-=，那么ab=故答案為：5c解：f-6，7=7，-6，gf-6，7=g7，-6=-7，6應(yīng)選c四、中考真題演練一、選擇題1a2b3d解：3，6，9，12，稱為三角形數(shù)，三角數(shù)都是3的倍數(shù)，4，8，12，16，稱為正方形數(shù)，正方形數(shù)都是4的倍數(shù)，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是12的倍數(shù)，2022÷12=1676，2022÷12=1678，2022&#

24、247;12=16710，2022÷12=168，2022既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)應(yīng)選d二、填空題44解：34，3+1+14+1，4+15，+1=4，故答案為：45c解：如下列圖，所求的點有4個，應(yīng)選c6x=3解：根據(jù)題意可得：y=x+m-2，“關(guān)聯(lián)數(shù)1，m-2的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，m-2=0，解得：m=2，那么關(guān)于x的方程+=1變?yōu)?=1，解得：x=3，檢驗：把x=3代入最簡公分母2x-1=40，故x=3是原分式方程的解，故答案為：x=374解：弧cd的長是=，弧de的長是：=，弧ef的長是：=2，那么曲線cdef的長是：+2=4故答案是：4811；2或或解：1存在另外 1 條相

25、似線如圖1所示，過點p作l3bc交ac于q，那么apqabc；故答案為：1；2設(shè)plx截得的三角形面積為s，s=sabc，那么相似比為1：2如圖2所示，共有4條相似線：第1條l1，此時p為斜邊ab中點，l1ac，=；第2條l2，此時p為斜邊ab中點，l2ac，=；第3條l3，此時bp與bc為對應(yīng)邊，且=，=；第4條l4，此時ap與ac為對應(yīng)邊，且=，=故答案為：或或三、解答題9解：1rtabc中，=30°，bc=ab，ac=ab，ctan30°=故答案為：；2tana=，設(shè)bc=3，ac=4，那么ab=5，ctana=10解：1由題意，得|x|+|y|=1，所有符合條件的點

26、p組成的圖形如下列圖。2dm，q=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，又x可取一切實數(shù)，|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上實數(shù)x所對應(yīng)的點到數(shù)2和-1所對應(yīng)的點的距離之和，其最小值為3點m2，1到直線y=x+2的直角距離為3。11解：1點c是線段ab的“臨近點理由是：點p到直線ab的距離小于1，a、b的縱坐標都是3，abx軸，3-1=2，3+1=4，當縱坐標y在2y4范圍內(nèi)時，點是線段ab的“臨近點，點c的坐標是，y=2，且小于4，c在直線y=x-1上，點c是線段ab的“臨近點2由1知：線段ab的“臨近點的縱坐標的范圍是2y4，把y=2代入y=x-1得：x

27、=3，把y=4代入y=x-1得：x=5，3x5，點qm，n是線段ab的“臨近點，m的取值范圍是3m512解：過a點作acx軸于c，如圖，1解方程組，得，a點坐標為1，1，b點坐標為-1，-1，oc=ac=1，oa=oc=，ab=2oa=2，雙曲線y=的對徑是2；2雙曲線的對徑為10，即ab=10，oa=5，oa=oc=ac，oc=ac=5，點a坐標為5，5，把a5，5代入雙曲線y=k0得k=5×5=25，即k的值為25；3假設(shè)雙曲線y=k0與它的其中一條對稱軸y=-x相交于a、b兩點，那么線段ab的長稱為雙曲線y=k0的對徑13解：假設(shè)pb=pc，連接pb，那么pcb=pbc，cd為

28、等邊三角形的高，ad=bd，pcb=30°，pbd=pbc=30°，pd=db=ab，與pd=ab矛盾，pbpc，假設(shè)pa=pc，連接pa，同理可得papc，假設(shè)pa=pb，由pd=ab，得pd=bd，apd=45°，故apb=90°；探究：解：bc=5，ab=3，ac=4，假設(shè)pb=pc，設(shè)pa=x，那么x2+32=4-x2，x=，即pa=，假設(shè)pa=pc，那么pa=2，假設(shè)pa=pb，由圖知，在rtpab中，不可能故pa=2或14解：1根據(jù)題意得：abcabc，sabc：sabc=2=2=3，b=b，anb=bnm，bmb=bab=60°；故答案為：3，60；2四邊形 abbc是矩形，bac=90°=cac=bac-bac=90°-30°=60°在 rtabc 中，abb'=90°，bab=60°，abb=30°，n=2；3四邊形abbc是平行四邊形，acbb，又bac=36°，=cac