(八年級數(shù)學(xué)教案)第三冊分式方程的應(yīng)用

1、 第三冊分式方程的應(yīng)用 八年級數(shù)學(xué)教案 教學(xué)目標(biāo) 1.使學(xué)生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力； 2.通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。 教學(xué)重點和難點 重點：列分式方程解應(yīng)用題 . 難點：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程 . 教學(xué)過程設(shè)計 ? 一、復(fù)習(xí) 例 解方程： (1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12; (3)2(1x+1x+3)+x2x+3=1. 解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母，得 2(x+3)+x2=x2+3x,即2x3x=6 所以 x=6. 檢驗：當(dāng) x=6時，x(

2、x+3)=6(6+3)0，所以x=6是原分式方程的根. (2)方程兩邊都乘以x(x+12)，約去分母，得 15(x+12)=30x. 解這個整式方程，得 x=12. 檢驗：當(dāng) x=12時,x(x+12)=12(12+12)0,所以x=12是原分式方程的根. (3)整理，得 2x+2x+3+x2x+3=1,即2x+2+x2 x+3=1, 即 2x+xx+3=1. 方程兩邊都乘以 x(x+3)，去分母，得 2(x+3)+x2=x(x+3), 即 2x+6+x2=x2+3x, 亦即 2x3x=6. 解這個整式方程，得 x=6. 檢驗：當(dāng) x=6時，x(x+3)=6(6+3)0，所以x=6是原分式方程

3、的根. ? 二、新課 例 1 一隊學(xué)生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間? 請同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系 . 答：騎車行進路程 =隊伍行進路程=15(千米)； 騎車的速度 =步行速度的2倍； 騎車所用的時間 =步行的時間0.5小時. 請同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程 . 答案： 方法 1 設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為 15x=2×15 x+12. 方法 2 設(shè)步行速度為x

4、千米時，騎車速度為2x千米時，依題意列方程為 15x15 2x=12. 解 由方法 1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程. 方程兩邊都乘以 2x，去分母，得 3015=x， 所以 x=15. 檢驗：當(dāng) x=15時，2x=2×150，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意. 所以騎車追上隊伍所用的時間為 15千米 30千米時=12小時. 答：騎車追上隊伍所用的時間為 30分鐘. 指出：在例 1中我們運用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間. 如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按 速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方

5、程都是分式方程 . 例 2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天? 分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為 s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是 s=mt,或t=sm，或m=st. 請同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程 . 答案： 方法 1 工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依題意，列方程為 2(1x

6、+1x3)+x2xx+3=1. 指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量 . 方法 2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程 2x+xx+3=1. 方法 3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程 12x=2x+3+x2x+3. 用方法 1方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了.重點是找等量關(guān)系列方程. ? 三、課堂練習(xí) 1.甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù). 2.A，

7、B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度. 答案： 1.甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件. 2.大，小汽車的速度分別為18千米時和45千米時. ? 四、小結(jié) 1.列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去. 2.列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù).但有時

8、可根據(jù)題目特點不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù).在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需(x+512)小時，依題意，列方程 135 x+512：135x=2：5. 解這個分式方程，運算較繁瑣.如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了. ? 五、作業(yè) 1.填空： (1)一件工

9、作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是_小時； (2)某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是_; (3)把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為_千克. 2.列方程解應(yīng)用題. (1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當(dāng)?shù)诙渭庸r，他革新了工具，改進了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件? (2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行4

10、0千米用多少小時? (3)已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米? (4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度. 答案： 1.(1)mn m+n; (2)m abma; (3)ma a+b. 2.(1)第二次加工時，每小時加工125個零件. (2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時).答步行40千米用了10小時. (3)江水的流速為4千米時. 課堂教學(xué)設(shè)計說明 1.教

11、學(xué)設(shè)計中，對于例1，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程.這種安排，意在啟發(fā)學(xué)生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學(xué)生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習(xí)慣.這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間. 2.教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用.例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度(或時間)；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間(或工作效率).這些都是運用列分式方程求解的典型問題.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學(xué)生加深對模式的主要特征的理解和識另?穡?讓學(xué)生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.學(xué)生完成課堂練習(xí)和作 業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路. 3.通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學(xué)，滲透了方程的思想方法，從中使學(xué)生