簡化行列式計算的幾種方法常素芹

1、 本科生畢業(yè)論文題目簡化行列式計算的幾種方法姓名常 素 芹 學號 201110520202 院 系數(shù) 學 系 專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學 指導教師薛 麗 紅 2015 年 6 月 教務處制本科生畢業(yè)設計（論文、創(chuàng)作）聲明本人鄭重聲明：所呈交的畢業(yè)論文，是本人在指導教師指導下，進行研究工作所取得的成果。除文中已經注明引用的內容外，本論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本設計創(chuàng)作聲明的法律責任由本人承擔。 作者簽名： 年 月 日 本人聲明：該畢業(yè)論文是本人指導學生完成的研究成果，已經審閱過畢業(yè)論

2、文的全部內容，保證題目、關鍵詞、摘要部分中英文內容的一致性和準確性，并通過一定檢測手段保證畢業(yè)設計未發(fā)現(xiàn)違背學術道德誠信的不端行為。 指導教師簽名： 年 月 日目錄摘要2關鍵詞2Abstract.2Keywords2引言3一、常用行列式計算方法引言3 1.1化三角形法3 1.2加邊法3二、行列式的幾種特殊計算技巧和方法42.1 拆行（列）法42.2構造法62.3“爪”字型行列式72.4“兩線”型行列式72.5“三對角”型行列式82.6 范德蒙行列式9三、行列式的計算方法的綜合運用93.1降階法和遞推法93.2行列式與多項式的綜合計算103.3行列式與矩陣的綜合計算113.4 行列式在解線性方程

3、組中應用12參考文獻14摘要:行列式起源于解二、三元線性方程組，它是高等代數(shù)中一個基本概念，而行列式的應用早已超過了代數(shù)的范圍，成為研究數(shù)學領域各分支的基本工具，本文主要對行列式的計算方法進行總結歸納，得出與每種計算方法相適應的行列式的特征，并對行列式的應用做一定范圍的探討。關鍵詞:行列式 技巧 計算方法Abstract:The determinant originated in the solution of two or three binary linear equations, it is a basic concept in higher algebra, it has alread

4、y exceeded the column of the application type algebra range, become the basic tools for the study of mathematics branch, the calculation method of the determinant are summarized, the characteristics of the determinant and adapt to each kind of calculation method the study and application of determin

5、ant, a certain range.Keywords: Determinant；skill；Calculation method；引言:行列式是高等代數(shù)課程中很重要的一章，在解線性方程組、矩陣及三重坐標變換時都有很重要的作用，鑒于此，我對高代課本上行列式的一些基本解題技巧進行歸納，并且在此基礎上有所創(chuàng)新。 作為行列式本身而言，通過它的定義和性質我們可以找到一些基本解題方法，然而通過觀察我們發(fā)現(xiàn)有很多特殊行列式，對多種形式行列式我們通過加邊法、降階法、拆行法等可以轉換為一些常見行列式，這樣計算起來簡單方便。另外，行列式應用廣泛，與數(shù)學分析、解析幾何等學科有許多交叉點，所以，行列式的運算顯得

6、尤為重要。一、常用行列式計算方法 高等代數(shù)課本上根據行列式的定義和性質給出一些基本計算方法，如定義法、化三角形法、連加法、降階法、遞推法、加邊法、數(shù)學歸納法、拉普拉斯展開等，我們下面詳細介紹一下化三角形法和加邊法，其余方法不再一一贅述。1.1化三角法化三角形法：即把已知行列式通過行列式的性質化為上三角形或下三角形.該方法適用于低階行列式上三角形行列式的形式如下：，下三角形行列式同上三角行行列式注：能夠利用化為三角形法則進行計算的行列式的共同特征是每行(列)有盡可能多的相同的元素.我們利用行列式的性質把某行(列)的倍數(shù)加到其它行(列),出現(xiàn)更多的零,進而化為三角形。1.2加邊法就是把n階行列式增

7、加一行一列變成n+1階行列式，再通過性質化簡算出結果，這種計算行列式的方法叫做升階法或加邊法。當然，有的行列式需要升階兩次。升階法的最大特點就是要找每行或每列相同的因子,那么升階之后，就可以利用行列式的性質把絕大多數(shù)元素化為0，這樣就達到簡化計算的效果，其中，添加行與列的方式一般有五種：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置例1 解行列式D=.解：使行列式D變成階行列式，即=. .二、行列式的幾種特殊計算技巧和方法2.1 拆行（列）法拆行（列）法（或稱分裂行列式法），就是將所給的行列式拆成兩個或若干個行列式之和，然后再求行列式的值，拆行（列）法有兩種情況，一是行列式中有某行（

8、列）是兩項之和，可直接利用性質拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項之和，這時需保持行列式之值不變，使其化為兩項和.例 2 計算行列式.解：把第一列的元素看成兩項的和進行拆列，得 上面第一個行列式的值為1，所以.這個式子在對于任何都成立，因此有.2.2構造法有些行列式通過直接求解比較麻煩，這時可同時構造一個容易求解的行列式，從而求出原行列式的值。例3 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構造階的范德蒙德行列式來間接求出的值構造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開，得，其中，的系數(shù)為.又根據范德蒙德行列式的結果知.由上式可求得的系數(shù)為.故有.2.3“爪”字型行列式形如，這樣的行列式，

9、形狀像個“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺嚼脤蔷€消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式。例4 計算行列式，其中解: .2.4“兩線”型行列式形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式對于這樣的行列式，可通過直接展開法求解例6 求行列式.解：按第一列展開，得 .2.5“三對角”型行列式形如 這樣的行列式，叫做“三對角型”行列式對于這樣的行列式，可直接展開得到兩項遞推關系式，然后變形進行兩次遞推或利用數(shù)學歸納法證明例7求行列式.解：按第一列展開，得 .變形，得.由于，從而利用上述遞推公式得.故.2.6范德蒙行列式形如這樣的行列式，成為級的范德蒙德行列式，通過數(shù)學歸納法證

10、明，可得.例8 求行列式.=三、行列式的計算方法的綜合運用有些行列式如果只使用一種計算方法不易計算，這時就需要結合多種計算方法，且行列式和多項式、行列式與線性方程組、以及行列式與矩陣的綜合運用，并行列式在三重積分的計算中都有運用。3.1降階法和遞推法例9 計算行列式.解：將行列式按第一行展開，得.即.3.2行列式與多項式的綜合計算 給定一個多項式，求行列式的值，需要多項式與行列式的綜合知識且用到行列式計算方法的綜合運用例10設計算解：因為所以所以3.3行列式與矩陣的綜合計算設，若A可逆，則 若D可逆，則例11 求解:令 3.4 行列式在解線性方程組中應用 在解線性方程組時，我們可根據克萊姆法則，從而求解。克萊姆法則：設A是矩陣，線性方程組，若則方程組有唯一解，且有： 其中為中第列換為B，其它各列與相同的n階行列式例11用行列式求方程組中的z值解：因為 所以由克萊姆法則知 本文主要介紹了行列式計算的一些技巧和方法，還有一些特殊行列式的計算技巧及其應用。通過歸納和總結這些技巧和方法，方便人們計算，在這么多方法面前，需要我們多觀察、多思考，然后根據行列式自身的特點選擇待定的方法進行計算，這樣也讓我們更加靈活的運用這些方法和技巧來解決實際問題。參考文獻：1北京大學數(shù)