高二數(shù)學(xué)平面與空間直線通用版知識精講

1、高二數(shù)學(xué)平面與空間直線通用版【本講主要內(nèi)容】 平面與空間直線 平面的基本性質(zhì)、立體幾何中的三種語言、空間兩條直線的位置關(guān)系【知識掌握】【知識點精析】 1. 平面是無限延展的，正如直線是無限延伸的。 2. 平面的表示： 通常我們畫平行四邊形來表示平面，當(dāng)平面水平放置時，通常把平行四邊形的銳角畫成45，橫邊畫成鄰邊的2倍長。當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應(yīng)把被遮的部分的線段畫成虛線或不畫。有時也用三角形等平面圖形來表示平面。 我們通常用一個希臘字母、等來表示平面，如平面、平面、平面等；也可以用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如平面AC。 3. 三個性質(zhì)公理及推論 公理1：如果一條

2、直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)。 公理1的內(nèi)容有關(guān)直線和平面的集合關(guān)系，從集合的角度看，這個公理就是說，如果一條直線（點集）中有兩個點（元素）屬于一個平面（點集），那么這條直線就是這個平面的真子集。用它既可判定直線是否在平面內(nèi)，又可檢驗平面。 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。 公理2的內(nèi)容有關(guān)兩個平面的集合關(guān)系。公理中的兩個平面是指不重合的兩個平面，只要它們有公共點，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線。 公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直

3、線外的一點，有且只有一個平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。 公理3及其推論的內(nèi)容關(guān)系到確定平面的條件。需要透徹理解“有且只有一個”的含義，這里“有”是強調(diào)圖形存在，“只有一個”是強調(diào)圖形唯一。這里強調(diào)的是存在和唯一兩個方面，因此，“有且只有一個”必須完整地使用。 4. 文字語言、符號語言和圖形語言的互相轉(zhuǎn)化 例如：（如下圖） 文字語言：點A在直線l上，符號語言； 文字語言：點B在直線m外，符號語言； 文字語言：點B在平面內(nèi)，符號語言； 文字語言：點A在平面外，符號語言； 文字語言：直線l在平面內(nèi)，符號語言： 文字語言：直線m在平面

4、外，符號語言：； 文字語言：直線m與直線n平行，符號語言：mn； 文字語言：直線m與直線l相交于A，符號語言：； 文字語言：直線l與平面相交于B，符號語言： 文字語言：直線n平行于平面，符號語言：n； 文字語言：平面平行于平面，符號語言：； 文字語言：直線l與直線n垂直，符號語言：ln； 文字語言：直線l垂直于平面，符號語言：l； 文字語言：平面與平面垂直，符號語言： 文字語言：平面與平面交于直線n，符號語言： 5. 空間兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交、異面三種。垂直是相交或異面的特殊情形，判斷兩條直線是異面直線的方法有： 不同在任何一個平面內(nèi)； 既不平行，又不相交； 過平面外一點和平面內(nèi)一

5、點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。【解題方法指導(dǎo)】 例1. 已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且，求證：EF、GH、AC三直線交于一點。 思路：可先證EF與GH交于一點，然后證明該交點在AC上。 證明： 且FGBD 四邊形EFGH為梯形，從而兩腰EF、GH必相交于一點P 直線EF，EF面ABC P面ABC 同理P面ADC P在平面ABC和平面ADC的交線AC上故EF、GH、AC三直線交于一點。 點評：平面幾何中證多線共點的思維仍適用，只是在思考中應(yīng)考慮空間圖形的新特點。 例2. 空間四邊形ABCD中，EF分別是線段AD、BC上的點

6、，滿足，ABCD3，EF，求AB、CD所成角的大小。思路：先設(shè)法找到一個點G，然后過G分別解AB、CD的平行線，再構(gòu)造一個以G為頂點的三角形，解三角形即可。四步：（1）找點；（2）作出平行線；（3）構(gòu)成三角形；（4）求值。 解：如圖所示： 設(shè)G是BD上的點，且有，分別連結(jié)EG、FG FGCD，GEAB EGF或其補角為所求 ABCD3，EF 由余弦定理得： 異面直線所成的角為銳角或直角 AB、CD所成角為60。 點評：要注意異面直線所成的角為（這個范圍?！究键c突破】【考點指要】 本專題中平面的基本性質(zhì)是立體幾何的入門知識，高考中不會單獨考查本部分內(nèi)容，但它是立體幾何的基礎(chǔ)，在考查其他知識時會結(jié)

7、合考查對平面的基本性質(zhì)的概念的理解和掌握情況。另外對空間直線這部分內(nèi)容，高考可以就這部分內(nèi)容直接命題，多為選擇題或填空題，當(dāng)然也可以是解答題中的一問，其中兩條直線的平行、垂直關(guān)系以及兩條異面直線所成的角是考查重點，在后面專題中重點研究?！镜湫屠}分析】 例1. 正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1B的中點，那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是（ ） A. 三角形B. 四邊形C. 五邊形D. 六邊形 思路：利用平面的性質(zhì)，證明直線共面。 解：如圖，連結(jié)PQ、PR， 取B1C1中點M，連結(jié)MR、MQ 可證明PRB1AMQ PR與MQ共面于 取C1D1中點N，連結(jié)MN

8、可以證明MNB1D1BDPQ MN與PQ共面， 取DD1中點K，連結(jié)NK，QK 可以證明PRNK PR與NK共面， P、R、M、N、K、Q共面于 故過P、Q、R的截面圖形是六邊形。 點評：證明多點（或多線）共面，可以先由一些要素確定一個平面，然后證明其它要素都在這個平面內(nèi)，則所有要素都在這個平面內(nèi)。 例2. 如圖，表示一個正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF、GH在原正方體中相互異面的有_對。 思路：先將展開圖折成正方體，再證明。 解：將展開圖折成正方體如右圖 可以證明AB與CD異面 AB與EF相交 AB與GH異面 CD與EF平行 CD與GH相交 EF與GH異面 故異面直線共

9、有3對。 點評：本題考查空間想象能力及異面直線的判定定理。 例3. 三個平面兩兩相交，求證三條交線或交于一點，或互相平行。 證明：設(shè)三個平面分別為 且 a和c或互相平行，或相交 當(dāng)時 而 當(dāng)a/c時 若，由可知則 則與a/c矛盾 a/b a/b/ca、b、c或交于一點，或互相平行【綜合測試】（一）選擇題 1. 設(shè)P是直線l外的一定點，過P與l成30角的異面直線有（ ） A. 無數(shù)條B. 兩條C. 至少有兩條D. 一條 2. 已知m、n為異面直線，平面，平面，則l（ ） A. 與m、n都相交B. 與m、n中至少一條相交 C. 與m、n都不相交D. 至多與m、n中一條相交 3. 異面直線a、b成6

10、0角，直線ca，則直線b與c所成角的范圍是（ ） A. 30，90B. 60，90 C. 60，120D. 30，120 4. 空間四邊形ABCD中，已知AB3，BC，CD4，AD，BD2，則AC與BD所成的角的大小是（ ） A. 30B. 60C. 45D. 90（二）填空題 5. 已知兩條異面直線a、b所成的角為60，直線l與a、b所成的角都等于，則的取值范圍是_。 6. 若E、F、G、H順次為空間四邊形四條邊AB、BC、CD、DA的中點，且EG3，F(xiàn)H4，則_。（三）解答題 7. 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1d，D是AB的中點，若，求異面直線AB和A1C1所成的角。【綜合測試答案】 1. A 提示：經(jīng)過定點P作與直線l平行的直線l，又過P作直線m與l成30角，如果將直線以l為軸旋轉(zhuǎn)會得到無數(shù)條直線與l都成30的角，說明過定點P與l成30角的直線有無數(shù)條。 2. B 提示：若l與m、n都不相交，則，這與m、n為異面直線矛盾。 3. A 提示：由異面直線所成角的范圍知C、D不對。當(dāng)c在平行于a、b的平面內(nèi)時，可證b與c成30角。 4. D 提示：因為，所以BDAD，同理BDDC 所以BD面ADC，即BDAC 5. 提示：在空間任取一點分別作直線，則所成的角就是l與a、b所成