高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)版)第五章復(fù)習(xí)

1、 第五章 定積分 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積：設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線、 軸以及兩條直線、所圍成,求其面積. 大化小(分割)：在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn) ， 用直線將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形，用表示第個(gè)曲邊梯形的面積; 常代變(近似代替)：在第個(gè)窄曲邊梯形的底上任取，有. 近似和(求和)： 取極限：令，則 2. 變速直線運(yùn)動的路程：設(shè)某物體作直線運(yùn)動,已知速度在時(shí)間間隔上連續(xù)，且，求在運(yùn)動時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 大化小(分割)：在區(qū)間內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)， 將它分成個(gè)小段，用表示物體第個(gè)小段上經(jīng)過的路程; 常代變(近似代替)：在第個(gè)小段上經(jīng)過的路程任取，有. 近

2、似和(求和)： 取極限：令，則 這兩個(gè)具體問題來自兩個(gè)不同的學(xué)科，但它們都可一歸結(jié)為具有相同結(jié)構(gòu)的確定和式的極限，抽去它們的具體意義，就得到數(shù)學(xué)上定積分的概念. 二、定積分的相關(guān)概念 1定積分 :設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，若在區(qū)間內(nèi)任意插入 ，任取，記，只要 和式極限總存在，則稱此極限為在上的定積分,記作，即 ， 此時(shí)也稱在區(qū)間上黎曼可積. 注： 1°.引例中，曲邊梯形的面積；路程 2°.定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量用什么字母表示無關(guān), 即 3°.在定積分定義中，要求積分上限大于積分下限，為了方便起見，規(guī)定： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 4°.定積分

3、定義中意味著區(qū)間的分割越來越細(xì).時(shí)必有小區(qū)間的個(gè)數(shù) 并不能保證(不等分的時(shí)候，當(dāng)?shù)确值臅r(shí)候 5°.若已知在上可積，則可以通過特殊的分法分割區(qū)間(例如等分) (例如取或)來計(jì)算定積分 2定積分的幾何意義：曲邊梯形的“面積”. 3. 函數(shù)可積的條件 (1). 必要條件： 定理1.若在上可積，則在上有界 反之未必，例如：狄利克雷函數(shù)在上有界，但不可積, 分和的極限不總存在. (2). 充分條件： 定理2. 若在上連續(xù)，則在上可積 反之未必，例如在上可積，但在上有一個(gè)間斷點(diǎn) 定理3. 若在上有界，并且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積. 定理4. 若在上單調(diào)且有界，則在上可積. 例1. 利用定義計(jì)

4、算定積分 解：將區(qū)間進(jìn)行等分, 分點(diǎn)為 則，于是 ， ，取， ， 所以 例2. 用定積分表示下列極限 1. 2. . 三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在) 1.線性 性質(zhì)1. ( k為常數(shù)) 性質(zhì)2. 2.積分區(qū)間的可加性 性質(zhì)3. 設(shè)，則有 3.保序性 性質(zhì)4. 若在，則 性質(zhì)5. 若在，則 4.絕對不等式性 性質(zhì)6. 5.介值性 性質(zhì)7.設(shè)和是在上的最大值和最小值，則. 性質(zhì)8. 6.中值性 性質(zhì)9.(積分中值定理) 若在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得 . 證明：設(shè)在上的最大值和最小值為和，則由介值性得 ， . 再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理, 至少存在一點(diǎn)，使 注： 1°.積分

5、中值定理對或的情形都成立. 2°.稱 為在上的平均值. 因?yàn)?， 故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣 3°.積分中值定理的幾何意義: 以為曲邊的曲邊梯形的面積等于同底的且以為的矩形的面積 第二節(jié) 微積分基本公式 一、引例:變速直線運(yùn)動中位臵函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 在變速直線運(yùn)動中, 已知位臵函數(shù)與速度函數(shù)之間滿足：，即 的原函數(shù) 又物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為，即速度函數(shù) 區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在上的增量 這種定積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性. 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 1.積分上限函數(shù)：若函數(shù)區(qū)間上可積，則稱函數(shù) 分上限函數(shù)，或變上限積分 注：積分上限函數(shù)在

6、上連續(xù) 推導(dǎo)：，有 ，當(dāng) ，即在上連續(xù) 2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 定理1.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在 并且 . 證明: ，則有 (積分中值定理)， 又在上連續(xù)，故有 . 若，取，可證；若，取，可證. 注：其它變限積分求導(dǎo): 1° ； 2° ； 3. . 3.原函數(shù)存在定理： 定理2.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限函數(shù) 在上的一個(gè)原函數(shù) 注：這個(gè)定理一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性，另一方面初步地揭示了在被積函數(shù)連續(xù)的前提下，定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系，為使用原函數(shù)計(jì)算定積分開辟了道路 例1. 例2.設(shè)在內(nèi)連續(xù)且，證明在內(nèi)單調(diào)增加 證明：由于 (積分中值定理 ，

7、所以在內(nèi)單調(diào)增加. 4.函數(shù)存在原函數(shù)與函數(shù)可積的關(guān)系： (1).函數(shù)存在原函數(shù)，但不一定可積 例如：對函數(shù)，由于，令 ，即函數(shù)在區(qū)間上具有原函數(shù)，但由于在無界，所以 在不可積， 事實(shí)上，取 ，有 ， 即在無界 (2).函數(shù)可積，但不一定存在原函數(shù) 例如：函數(shù)在除了一個(gè)間斷點(diǎn)外都連續(xù)，所以在 可積，但在上不存在原函數(shù) (3).存在既不存在原函數(shù)又不可積的函數(shù)，例如：狄利克雷函數(shù)： 三、微積分基本公式牛頓萊布尼茨公式 定理3. (微積分基本定理)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若函數(shù)是在上的任一原函數(shù)，則 證明：由于積分上限函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，故， 令，得，因此； 再令，得 注：微積分基本公式進(jìn)一步揭示了定

8、積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的關(guān)系.它表明：連續(xù)函數(shù)在上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在上的增量 微積分基本公式是對被積函數(shù)連續(xù)時(shí)給出的計(jì)算定積分的公式，若函數(shù)在上不連續(xù)，但滿足一定的條件，也有相同的公式： 定理3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，且有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，若存在連續(xù)函數(shù)， 的間斷點(diǎn)外，有，則 證明：假設(shè)在不連續(xù)，不滿足，有在區(qū)間上連續(xù)，且滿足，從而有，由 的連續(xù)，有 . 例3. . 例4.例5. . . 例6.計(jì)算正弦曲線在與軸所圍成的平面圖形的面積. 解： 例7.用微積分基本定理證明積分中值定理：若在 ，使得 證明：因?yàn)檫B續(xù)，故具有原函數(shù)，設(shè)為它的一個(gè)原函數(shù)，即，由牛頓萊布尼茨公式有 由在上滿

9、足拉格朗日中值定理的條件，故至少存一點(diǎn)，使得 ， 故 第三節(jié) 定積分的換元積分法和分部積分法 一、定積分的換元法： 定理1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足： (1). , ，并且當(dāng)從變到時(shí)，對應(yīng)的單調(diào)地從變到； (2). 函數(shù)在或上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 則有 證明：所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù)，因此積分都存在，且它們的原函數(shù)也存在. 設(shè) 的一個(gè)原函數(shù)，則是的原函數(shù)，于是由牛頓萊布尼茨公式，有 . 注：1°.換元必?fù)Q限, 原函數(shù)中的變量不必代回. 2°.換元公式也可以這樣使用, 即湊元法， 換.這相當(dāng)于不定積分的第一換元積分法. 例1. 計(jì)算 . 解：令，則，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，于是 . 例

10、. 例3. 例4.計(jì)算 . . 解：令，則 ，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 . 另解： + 例5. 設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)， (1). 若，則.(偶倍 (2). 若，則.(奇零 證明: 由于 ，對積分作變換，令，則有 ， 于是 例6.若在上連續(xù)，證明 (1). ； ，并由此計(jì)算 (2). 證明： (1).令 ，則，且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，于是 . (2). 令，則，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 整理得 由此 例7. 設(shè)是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為，證明： (1). (2). ,并由此計(jì)算 證明： (1).記 ，則，即與無關(guān)，因 ，于是(2).由于 ，又由(1)知 ，因此 由于是以為周期的周期函數(shù)，于是 (令 例8. 計(jì)算.

11、解：由于，令， ， ；時(shí)，則 ，.當(dāng) 于是 (偶倍奇零) . 例9.設(shè)函數(shù) ，計(jì)算 解：設(shè)，則，且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，于是 ) (由于 二、定積分的分部積分法 定理2. 設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，則有定積分的分部積分公式： 證明：由于，兩端在上積分得， ， 整理得 例10. 計(jì)算解： . 例11. 計(jì)算 解：令，則，于是 思考題：. 提示: 令，則 第四節(jié) 反常積分 一、無窮積分 1.引例：曲線 和直線及軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作，其 含義可理解為將 記作，因其積分區(qū)間時(shí)無窮區(qū)間，故稱其為無窮積分. 2.無窮積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，若極限為在無窮區(qū)間上無窮積分,記作 存在 此時(shí)也稱為無窮積分

12、可類似定義： ， 收斂；若上述極限不存在,則稱無窮積分 在無窮區(qū)間上的無窮積分： . 在無窮區(qū)間上的無窮積分： 注：上述定義中若出現(xiàn)，并非不定型,它表明該無窮積分發(fā)散. 無窮積分也稱為第一類反常積分 3.無窮積分的計(jì)算：設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，引入記號 ; 則有類似牛萊公式的計(jì)算表達(dá)式: 例1. 計(jì)算反常積分解： ； ； . 另解： . 注： 是否正確？ 因?yàn)?，故原積分發(fā)散，所以對反常積分, 使用“偶倍奇零”的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤 例2. 計(jì)算反常積分. 解： . 當(dāng)時(shí)收斂; 時(shí)發(fā)散. 證明：當(dāng)時(shí)，有， 例3. 證明積分 當(dāng)時(shí)，有 因此當(dāng)時(shí), 反常積分收斂, 其值為；當(dāng)時(shí), 反常積分發(fā)散 二

13、、瑕積分 1.引例：曲線 與軸及軸和直線所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作 ，其含義可理解為 將 記作，因其被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)無界，也稱為無界函數(shù)的反常積分 易知左端點(diǎn)是被積函數(shù)的無界間斷點(diǎn)，稱其為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，因此無界函數(shù)的反常積分也稱為瑕積分 2.瑕點(diǎn)：若函數(shù)在點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都無界，則稱為的無界間斷點(diǎn)，又稱為瑕點(diǎn). 3.瑕積分：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)為的瑕點(diǎn)，取，若存在 ，則稱此極限為在區(qū)間上的瑕積分 記作 ， 此時(shí)也稱瑕積分收斂；若上述極限不存在,就稱瑕積分發(fā)散， 可類似定義： 若在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，為的瑕點(diǎn)，則有： . 若在區(qū)間上除了點(diǎn)外連續(xù)，為的瑕點(diǎn)，則有： 注：若出現(xiàn)，并非不定型,它表

14、明該反常積分發(fā)散. 若也稱為第二類反常積分. 注： 1°.若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則本質(zhì)上是常義積分, . 常積分. 例如: 2°.有時(shí)通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化. 例如 (令 (令) 3°.當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分. 3.瑕積分的計(jì)算：設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)， 則有類似牛萊公式的計(jì)算表達(dá)式: 若為瑕點(diǎn), 則 若為瑕點(diǎn), 則 . 若和都為瑕點(diǎn), 則 思考題：若瑕點(diǎn)，則 提示：和不一定相等. 例 . 例5. 討論反常積分 的收斂性. 解：由于 ，所以反常積分 發(fā)散. 例6. 證明反常積分

15、 當(dāng)時(shí)收斂; 時(shí)發(fā)散. 證明：當(dāng)時(shí)，為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，有 ， 當(dāng)時(shí)，有 因此當(dāng)時(shí), 反常積分收斂, 其值為；當(dāng)時(shí), 反常積分發(fā)散 例7. 計(jì)算反常積分 解：注意到這是一個(gè)無窮限和瑕點(diǎn)都出現(xiàn)的反常積分 令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是 . 再令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng) ，于是 . 三.兩類反常積分之間的關(guān)系： 瑕積分積分可轉(zhuǎn)化為無窮積分，例如：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為的瑕點(diǎn)，由定義有 ，令，有 第五節(jié) 反常積分的審斂法 函數(shù) 一、無窮積分的審斂法 由于無窮積分的收斂性問題實(shí)質(zhì)上上是一個(gè)極限的存在性問題，于是根據(jù)函數(shù)極限的理論，不難得出無窮積分的收斂準(zhǔn)則： 1.柯西收斂準(zhǔn)則： 定理1. 收斂的充要條件是：對，當(dāng) 成立

16、 下面討論無窮積分2.有界審斂法： 的另外幾種收斂判別法，首先考慮非負(fù)函數(shù)的無窮積分 定理2. 設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，若函數(shù)在 收斂 證明：由于，則在上單調(diào)增加且有上界，根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知 存在 , 收斂 由此定理，可得下面的比較審斂法： 3比較審斂法： 定理3.設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，且，有， (1). 若(2). 收斂，則 收斂； 發(fā)散 證明：設(shè)，由于，有. (1). 收斂，則有 ，即 單調(diào)遞增且有上界, 由定理1知 收斂 (2).用反證法： 則由 知， 發(fā)散 注：大的收斂，保證小的收斂；小的發(fā)散，導(dǎo)致大的發(fā)散 由于反常積分當(dāng)時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故通常取 作為比較函數(shù)，即有下面的柯西審斂

17、法： 4柯西審斂法： 定理4.設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對常數(shù)，記， (1). 當(dāng)時(shí)，若，, 有，則收斂； (2). 當(dāng)時(shí)，若，, 有則發(fā)散 例1. 的斂散性 解：由于 收斂，故 收斂 在比較審斂法的基礎(chǔ)上，可以得到應(yīng)用更方便的極限審斂法： 5極限審斂法： 定理5.設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對常數(shù)，記， (1). 當(dāng)時(shí)，若，則(2). 當(dāng)時(shí)，若，則證明： 收斂； 發(fā)散 (1). 當(dāng)時(shí)，若，則由極限定義知：對任意給定的，當(dāng) 時(shí)，必有，即 收斂 (2). 當(dāng)時(shí), 若, 則由極限定義，可取，使，當(dāng)充分大時(shí)，必有，即 ，由比較審斂法知 發(fā)散 ，由 若，則對任意，當(dāng)充分大時(shí)，即 發(fā)散 例2. 的斂散性 收斂

18、，故 解法(一)：由于 ，而 收斂 解法(二)：由于 收斂 例3. 的斂散性. 解：由于 發(fā)散. 例4. 的斂散性. 發(fā)散. 解：由于 ，極限審斂法知 的概念以及絕對收斂定理. 6絕對審斂法： (1). 無窮積分的絕對收斂與條件收斂：設(shè)反常積分 若 收斂， 收斂，則稱發(fā)散，則稱 絕對收斂； 條件收斂； (2)絕對審斂法： 定理6.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且 收斂，則 收斂 證明：令，則，由于，故 斂，而，又例5. 判斷反常積分 故 收斂 為常數(shù)，的斂散性 解:由于 ，而再由絕對收斂定理知二、瑕積分的審斂法 收斂，根據(jù)比較審斂原理知 收斂 由于瑕積分可轉(zhuǎn)化為無窮積分，故無窮積分的審斂法完全可平移到瑕積分中來. 1.柯西收斂準(zhǔn)則： 定理7. (為的瑕點(diǎn))收斂的充要條件是：對， 成立 2比較審斂法： 定理8.設(shè)非負(fù)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，為、的瑕點(diǎn)，且，有， (1). 若(2). 收斂，則 收斂； 發(fā)散 利用反常積分 當(dāng)時(shí)收斂; 斂法和極限審斂法： 3柯西審斂法： 定理9.設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為的瑕點(diǎn)， (1). 若，當(dāng)時(shí)，, 有 ，則 收斂； (2).若，當(dāng)時(shí)，, 有4極限審斂法： 發(fā)散 定理10.設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為的瑕點(diǎn)