3求數(shù)列通項(xiàng)的一種簡(jiǎn)潔方法——構(gòu)造常數(shù)列

1、求數(shù)列通項(xiàng)的一種簡(jiǎn)潔方法一一構(gòu)造常數(shù)列題1 (2008年高考天津卷理科第 22題(部分)在數(shù)列江？中，ai =1，其前n項(xiàng)和Sn滿足n_(n 3)Sn =0，求數(shù)列:an /的通項(xiàng)公式解 把 nSn i = (n 3) Sn, (n 1) Sn 亠2 = (n 4)Sn 1 相減，得an 2n 3an H2_an *(n 2)( n 3)一( n 1)( n 2)a?二3得數(shù)列引 也是常數(shù)列,n(n 1)所以數(shù)列and1、是常數(shù)列，再由(n +1)( n + 2)J所以an= 01 =1n(n 1) 一 2 - 21an n(n 1)2題 2(1990 年日本千葉大學(xué)入學(xué)試題)在數(shù)列、an中a

2、1 =2,3(印 a2 -an) = (n 2)an,n N*，試求數(shù)列 a i 的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn.解由 3(a1a2an (n 2總，得3Sn =(n 2)(Sn O n_2)n &1 -(n 3)Sn =0(n N*)同題1的解法，可得an = n(n 1)(nn*)，再將此式代入題設(shè)，可得1 Snn(n 1)(n 2).3題3(2006年高福建卷文科第22題(部分)已知數(shù)列a/滿足a1 =1, a2 =3,an.2 =3an1 -2an，求數(shù)列aj 的通項(xiàng)公式.解由 an 2 =3an 1 _2an，得3n 1-2an=a2 - 2ai = 1a mia.丄 1 a.卅十 1

3、 a12* j 二 2n 2n 1, 2* 1 - = -2n-所以數(shù)列JaLn：i是常數(shù)列，得 2n :an 12na1 - 121 1, an二 2n -1注 下面給出求二階遞歸數(shù)列：an 滿足an .2二pan d qan （q = 0,a1,a2已知）通項(xiàng)的方法：/ 、得a*七xan* = （p x） a*十一a* .由q式0知，可選復(fù)數(shù)x（x式p、）滿足kX p 丿X二一q，所以X 一 Pan 2 - xan 1 =(P - x)(an 1 - xan)an 2 - xan 1an 1 _ xan(p-x)n1(p-x)n所以數(shù)列ja*+ xan 是常數(shù)列，得(p-x)n :an 1

4、 xana? _ xaa? _，an 1 _ xa*P _ Xp -xa.n一(P -x) x(P - x)n可設(shè)為nan 1 = xan uv右V =1，讀者容易求解；若 v = 1，得 a* 1 yvn 1 二 xa*(u yv)vn，選 y 二 u yv即y，得1 -Vn十丄nan 1 yv=xan yv所以數(shù)列*an yvn匚是常數(shù)列，得nxan yv xa yv,nxa + yv _ yvanx題4(2013年高考湖南卷文科第19題)設(shè)Sn為數(shù)列an ：的前n項(xiàng)和，已知 印=0,2an p 卡 Sn, n N*.(1) 求ai, a2，并求數(shù)列 gn泊勺通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列tna

5、n泊勺前n項(xiàng)和.解 a! = 1, a2 = 2,an = 2“ .設(shè)數(shù)列ban九勺前n項(xiàng)和為嘰，由待定系數(shù)法，可得Tn1 -n 2n1 =Tn-(n1) 2n即數(shù)列Tn-(n -1)2n堤常數(shù)列，可得數(shù)列nan1的前n項(xiàng)和是Tn= (n -1)2n1.題5 (2013年高考山東卷理科第20題)設(shè)等差數(shù)列 n 的前n項(xiàng)和為Sn,且S - 4S2 , a2 2an 1 .(1)求數(shù)列n九勺通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列b 的前n 項(xiàng)和為Tn ,且+旦異=人仏為常數(shù))，令Cn=b2n(門己N *), 求cn啲前n項(xiàng)和Rn.解(1)an =2n-1.n 2n 1_可得bn市(n2)，所以Cnnr(nN*).24由

6、待定系數(shù)法，可得Rn 1即數(shù)列Rn +p(n -1)13nJ是常數(shù)列，可得29題6(2013年高考江西卷理科第17題)正項(xiàng)數(shù)列a/1的前n項(xiàng)和Sn滿足2 2 2Sn -(n2 n -1)Sn -(n2 n)=0.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式an ；Tn令bn二51SnSn 3k 92 2 2 3k 4 W 2可證7:=r(r=01,2)，所以氣二 Sn 3k 4 r = Sn n 4Tn 6I (n +6+2(n +6122n 2n 412=Tnn 4所以 Sn 6 _Tn 6 - Sn _Tn(N)又 So = To = 0 , S| =1 = 0 , S2=T2=1 , 3=T3=1 ,=丁4=2 ,S5 二 丁5=3 ,所以數(shù)列-Tn“nN）是常數(shù)列 O，得欲證成立.題11（2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽賽區(qū)初賽試題第12題）設(shè)數(shù)列3n 滿足2a =1,a2 =2,anan)(n_3).an _2（i）求數(shù)列a啲通項(xiàng)公式;求證：對(duì)任意正整數(shù) k,. a2和： 2a2k都是整數(shù).解 由數(shù)學(xué)歸納法知 an0（ nN *）.可得22an n丄二an - 2an - 1,anan -anj2anj 1(n3)相減后，可得an十+4+2 = an +a2 +2（n啟3），即數(shù)列丿ann 2an d是常數(shù)列.可得 a3 =9，所以也乳二=6,an2=6an1-an-2.a