利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法

1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法楊玉新(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 浙江 紹興 312000)摘 要: 通過舉例闡述了用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種方法,由此說明了導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的重要作用.關(guān)鍵詞: 導(dǎo)數(shù); 單調(diào)性; 中值定理; 泰勒公式; Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法.但是當(dāng)不等式比較復(fù)雜時，用初等的方法證明會比較困難,有時還證不出來.如果用函數(shù)的觀點去認(rèn)識不等式,利用導(dǎo)數(shù)為工具,那么不等式的證明就會化難為易.本文通過舉例闡述利用泰勒公式, 中值定理,函數(shù)的性質(zhì), Jensen不等式等四種方法證明不等式,說明了導(dǎo)數(shù)在證

2、明不等式中的重要作用.一、利用泰勒公式證明不等式若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導(dǎo)數(shù),又在點處有階的導(dǎo)數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或例1 證明: 證明 設(shè)則在處有帶有拉格朗日余項三階泰勒公式由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當(dāng)?shù)狞c在處展開,然后判斷余項的正負(fù),從而證明不等式.二、利用中值定理證明不等式微分中值定理: 若滿足以下條件:(1) 在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)(2) 在開區(qū)間上可導(dǎo)則 例2 若分析 因為則原不等式等價于 .令,則我們?nèi)菀茁?lián)想到中值定理.證明 設(shè),顯然滿足中值定理的條件則 即例3 設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo),且則證明 設(shè)則由中值公式,當(dāng)時,有其中由

3、此可得所以即所以 積分第二中值定理 若在區(qū)間上為非負(fù)的單調(diào)遞減函數(shù),而是可積函數(shù),則存在,使得 例4 設(shè),則時特別地:當(dāng)時機(jī)為年浙江省高等數(shù)學(xué)競賽試題(工科、經(jīng)管類)證明 令,則由積分第二中值定理又因為于是,時由上可見利用中值定理證明不等式,通常是首先構(gòu)造輔助函數(shù)和考慮區(qū)間,輔助函數(shù)和定義區(qū)間的選擇要與題設(shè)和結(jié)論相聯(lián)系,然后由中值定理寫出不等式,從而進(jìn)行證明.三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式定理1 如果函數(shù)滿足以下條件:(1) 在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)(2) 在開區(qū)間可導(dǎo),且有(或)(3) 則 在內(nèi)有(或令由于所以證明證明則相應(yīng)地有推論1 若在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且(或)則在內(nèi)有(或).例5 證明:當(dāng)時,有

4、分析 只要把要證的不等式變形為,然后把相對固定看作常數(shù),并選取輔助函數(shù).則只要證明在是單調(diào)減函數(shù)即可.證明 作輔助函數(shù) 于是有因為 故所以 因而在內(nèi)恒有,所以在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格遞減.又因為,可知即 所以 例6 證明不等式,其中.分析 因為例6中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差,則發(fā)現(xiàn)作差以后不容易化簡.如果對求導(dǎo)得,這樣就能對它進(jìn)行比較.證明 先證 設(shè) 則 即 ,即在上單調(diào)遞增再證 令 則 定理1將可導(dǎo)函數(shù)的不等式的證明轉(zhuǎn)化為的證明，但當(dāng)與的大小不容易判定時，則有推論2 設(shè)，在上階可導(dǎo)，（1） （2） （或）則在（）內(nèi)有 （或）例7 證明: ，.分析 兩邊函數(shù)類型不同,右邊多項式次數(shù)較高,不易

5、比較,對它求一階導(dǎo)數(shù)得仍然不易比較,則我們自然就能想到推論2.證明 設(shè) 則 （1）（2）（3）（4）顯然有 由推論2得， （）.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式我們都是先構(gòu)造函數(shù).然后通過對函數(shù)求導(dǎo),來判定函數(shù)的增減性,從而達(dá)到證明不等式的目的. 四、利用Jensen(琴森)不等式證明不等式定義 如果內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)則(1) 若對則函數(shù)在內(nèi)為凸函數(shù). (2) 若對則函數(shù)在內(nèi)為凹函數(shù).若函數(shù)內(nèi)是凸(或凹)函數(shù)時,對及,有Jensen(琴森)不等式等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.例8 證明下列不等式.分析 上式只要能證明,如果此題用前面所述的幾種方法來證明顯然不合適,因為對它求導(dǎo)后不等式會更復(fù)雜.而這里的可以看作是同

6、一函數(shù)的多個不同函數(shù)值,設(shè)那么就可以用Jensen不等式來證明它.然后只要令,同理可得.證明 令因為 ,所以是凹函數(shù)則對有即 又因為 所以 令 , 則同理可得所以例9 設(shè)二次可微,且對一切,有,而在上連續(xù),則分析 上述不等式在形式上很像Jensen不等式,且當(dāng)取不同的值時,就是同一函數(shù)的不同函數(shù)值,則可以用琴森不等式進(jìn)行證明.證明 由及的連續(xù)性,保證了可積性.并且因,故為凸函數(shù),在Jensen不等式中,取即得 由的連續(xù)性,在上式取即得所要證的結(jié)論.由以上證明可知應(yīng)用Jensen不等式證明不等式,首先是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)并判斷它的凹凸性,然后用Jensen不等式證明之.本文所述四種用導(dǎo)數(shù)證明不等式的

7、四種方法充分說明了導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的獨到之處.在證明不等式時,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)等知識往往能使復(fù)雜問題簡單化,從而達(dá)到事半功倍的效果.需要指出的是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,除上述四種方法外還有不少方法.如用極值、最值等來證明不等式.由于受篇幅之限,這里不再詳述.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析M第三版,北京:高等教育出版社,2001.2 裘單明等,研究生入學(xué)考試指導(dǎo),數(shù)學(xué)分析M,濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,1985.3 胡雁軍,李育生,鄧聚成,數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解M,開封:河南大學(xué)出版社,1987.Four Usual Methods to Prove Tthe Inequality by Using DerivativeYang Yuxin(Department of Mathematics Shaoxing College of Arts and Sciences, Shaoxing Zhejiang,312000)Abstract:Examplisies four methods to prove the Inequality by using Derivative to show the imporpance of usin