高考四川理科數學試題及答案word解析版

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）數學（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2016年四川，理1，5分】設集合，Z為整數集，則集合中元素的個數是（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】C【解析】由題可知，則中元素的個數為5，故選C【點評】集合的概念及運算一直是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬于容易題一般是結合不等式，函數的定義域值域考查，解題的關鍵是結合韋恩圖或數軸解答（2）【2016年四川，理2，5分】設為虛數單位，則的展開式中含的項為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由題可

2、知，含的項為，故選A【點評】本題考查二項式定理及復數的運算，復數的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考內容，屬于容易題一般來說，掌握復數的基本概念及四則運算即可二項式的展開式可以改為，則其通項為，即含的項為（3）【2016年四川，理3，5分】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點（）（A）向左平行移動個單位長度（B）向右平行移動個單位長度（C）向左平行移動個單位長度（D）向右平行移動個單位長度【答案】D【解析】由題可知，則只需把的圖象向右平移個單位，故選D【點評】本題考查三角函數的圖象平移，在函數的圖象平移變換中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得，再把橫

3、坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，向左平移個單位得的圖象（4）【2016年四川，理4，5分】用數字1，2，3，4，5構成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為（）（A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由題可知，五位數要為奇數，則個位數只能是1，3，5；分為兩步：先從1，3，5三個數中選一個作為個位數有，再將剩下的4個數字排列得到，則滿足條件的五位數有，故選D【點評】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，

4、第二步再安排其他四個位置（5）【2016年四川，理5，5分】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數據：，）（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】設年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元，由題可知，解得，因資金需超過200萬，則取4，即2019年，故選B【點評】本題考查等比數列的實際應用在實際問題中平均增長率問題可以看作是等比數列的應用，解題時要注意把哪個作為數列的首項，然后根據等比數列

5、的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可解得結論（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例。若輸入n，x的值分別為3，2則輸出v的值為（）（A）9（B）18（C）20（D）35【答案】B【解析】初始值，程序運行過程如下表所示，跳出循環(huán)，輸出，故選B【點評】程序框圖是高考的熱點之一，幾乎是每年必考內容，多半是考循環(huán)結構，基本方法是將每次循環(huán)的結果一一列舉出來，與判斷條件比較即可（7）【2016年四川，理7，5分】設

6、：實數，滿足，：實數，滿足則是的（）（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，表示圓心為，半徑為的圓內區(qū)域所有點（包括邊界）；表示內部區(qū)域所有點（包括邊界）實數滿足則必然滿足，反之不成立則是的必要不充分條件，故選A【點評】本題考查充分性與必要性的判斷問題，首先是分清條件和結論，然后考察條件推結論，結論推條件是否成立這類問題往往與函數、三角、不等式等數學知識結合起來考，本題條件與結論可以轉化為平面區(qū)域的關系，利用充分性、必要性和集合的包含關系得結論（8）【2016年四川，理8，5分】設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上

7、的點，且，則直線斜率的最大值為（）（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】如圖，由題可知，設點坐標為，顯然，當時，；時，要求最大值，不妨設則，當且僅當等號成立，故選C【點評】本題考查拋物線的性質，結合題意要求，利用拋物線的參數方程表示出拋物線上點的坐標，利用向量法求出點的坐標，是我們求點坐標的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數表示出后，可根據表達式形式選用函數，或不等式的知識求出最值，本題采用基本不等式求出最值（9）【2016年四川，理9，5分】設直線，分別是函數圖象上點，處的切線，與垂直相交于點，且，分別與軸相交于點，則的面積的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A

8、【解析】解法1：設，易知，則直線：，與軸的交點為，設，則交點橫坐標為，與軸的交點為，則，故解法2：特殊值法，若，可算出，故，排除BC；令，算出，故選A【點評】本題首先考查導數的幾何意義，其次考查最值問題，解題時可設出切點坐標，利用切線垂直求出這兩點的關系，同時得出切線方程，從而得點坐標，由兩直線相交得出點坐標，從而求得面積，題中把面積用表示后，可得它的取值范圍解決本題可以是根據題意按部就班一步一步解得結論這也是我們解決問題的一種基本方法，樸實而基礎，簡單而實用（10）【2016年四川，理10，5分】在平面內，定點A，B，C，D滿足，動點，滿足，則的最大值是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B

9、【解析】由題意，所以到三點的距離相等，是的外心；，所以，同理可得，從而是的垂心；的外心與垂心重合，因此是正三角形，且是的中心；所以正三角形的邊長為；我們以為原點建立直角坐標系，三點坐標分別為。由，設點的坐標為，其中，而，即是的中點，可以寫出的坐標為則， 當時，取得最大值，故選B【點評】本題考查平面向量的數量積與向量的模，由于結論是要求向量模的平方的最大值，因此我們要把它用一個參數表示出來，解題時首先對條件進行化簡變形，本題中得出，且，因此我們采用解析法，即建立直角坐標系，寫出坐標，同時動點的軌跡是圓，因此可用圓的性質得出最值第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【

10、2016年四川，理11，5分】【答案】【解析】由題可知，（二倍角公式）【點評】這是一個來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本有許多三角函數的求值問題一般都是通過三角函數的公式把函數化為特殊角的三角函數值而求解（12）【2016年四川，理12，5分】同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數X的均值是【答案】【解析】由題可知，在一次試驗中，試驗成功（即至少有一枚硬幣正面向上）的概率為， 2次獨立試驗成功次數滿足二項分布，則【點評】本題考查隨機變量的均值（期望），根據期望公式，首先求出隨機變量的所有可能取值，再求得對應

11、的概率，則均值為（13）【2016年四川，理13，5分】已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_【答案】【解析】由題可知，三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由正視圖可得如下俯視圖，且三棱錐高為，則面積【點評】本題考查三視圖，考查幾何體體積，考查學生的識圖能力解題時要求我們根據三視圖想象出幾何體的形狀，由三視圖得出幾何體的尺寸，為此我們必須掌握基本幾何體（柱、錐、臺、球）的三視圖以及各種組合體的三視圖（14）【2016年四川，理14，5分】已知函數是定義在R上的周期為2的奇函數，當時，則【答案】【解析】首先，是周期為2的函數，所以；而是奇函數，

12、所以，所以：，即，又，時，故，從而【點評】本題考查函數的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數值即可（15）在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為；當是原點時，定義的“伴隨點”為它自身，平面曲線上所有點的“伴隨點”所構成的曲線定義為曲線的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A；單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線關于軸對稱，則其“伴隨曲線”關于軸對稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線其中的真命題是_（寫出所有真命題的序號）【答案】【解析】設的坐標，伴隨點，伴隨點橫坐標為，同理可得縱坐標為，故錯誤；設單位圓上

13、點坐標為，則伴隨點坐標為所以也在單位圓上，即：點是點延順時針方向旋轉正確；設曲線上點的坐標，其關于軸對稱的點也在曲線上，所以點的伴隨點，點的伴隨點，與關于軸對稱。正確；反例：例如這條直線，則，而這三個點的伴隨點分別是，而這三個點不在同一直線上下面給出嚴格證明：設點在直線，點的伴隨點為，則，解得帶入直線方程可知：，化簡得：，當時，是一個常數，的軌跡是一條直線；當時，不是一個常數，的軌跡不是一條直線所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線錯誤【點評】本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質上只是一個

14、載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉化為我們已經熟悉的知識即可本題新概念“伴隨”實質是一個變換，一個坐標變換，只要根據這個變換得出新的點的坐標，然后判斷，問題就得以解決三、解答題：本大題共6題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或步驟（16）【2016年四川，理16，12分】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照，分成9組，制成了如圖所示的頻率

15、分布直方圖（1）求直方圖中的值；（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，并說明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由解：（1）由概率統(tǒng)計相關知識，各組頻率之和的值為1，頻率=(頻率/組距)*組距，得（2）由圖，不低于3噸人數所占百分比為，全市月均用水量不低于3噸的人數為：(萬)（3）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數所占百分比為：即的居民月均用水量小于2.5噸，同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故，假設月均用水量平均分布，則（噸）注：本次估計默認組間是平均分布，與實際可能會產生一定誤差【點評】本題主要考

16、查頻率分布直方圖、頻率、頻數的計算公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關鍵，也是識圖的基礎（17）【2016年四川，理17，12分】在中，角所對的邊分別是，且（1）證明：；（2）若，求解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解為，和為三角形內角，則兩邊同時乘以，可得，由和角公式可知，原式得證（2）由題，根據余弦定理可知，為為三角形內角，則，即，由（1）可知，【點評】本題考查正弦定理、余弦定理、商數關系等基礎知識，考查學生的分析問題的能力和計算能力在解三角形的應用中，凡是遇到等式中有邊又有角時，可用

17、正弦定理進行邊角互化，一種是化為三角函數問題，一般是化為代數式變形問題在角的變化過程中注意三角形的內角和為這個結論，否則難以得出結論（18）【2016年四川，理18，12分】如圖，在四棱錐中，為棱的中點，異面直線與所成的角為（1）在平面內找一點，使得直線平面，并說明理由；（2）若二面角的大小為，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值解：（1）延長，交直線于點，為中點，即，四邊形為平行四邊形，面，面，面，面故在面上可找到一點使得面（2）解法1：過作交于點，連結，過作交于點，與所成角為，面，且，面，面，且，面，為所求與面所成的角，面，即為二面角所成的平面角，由題意可得，而，四邊形是平行四邊形，四邊形

18、是正方形，解法2：由已知，所以平面于是從而是二面角的平面角所以由，可得平面設，則在中，作，以為原點，以，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，由，得設，解得設直線與平面所成角為，則所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為【點評】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力證明線面平行時，可根據判定定理的條件在平面內找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個平面與此平面相交而得，證明時注意定理的另外兩個條件（線在面內，線在面外）要寫全，否則會被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據定義作出

19、這個角（注意還要證明），然后通過解三角形求出這個角另一種方法建立空間直角坐標系，用向量法求角，這種方法主要是計算，不需要“作角、證明”，關鍵是記住相應公式即可（19）【2016年四川，理19，12分】已知數列的首項為1，為數列的前項和，其中，（1）若成等差數列，求的通項公式；（2）設雙曲線的離心率為，且，證明：解：（1），當時，故，又，則，故當時也滿足，故，（2）由雙曲線的性質可知，由（1）可得，為首項為1，公比為的等比數列，, 故，即，為首項為1，公比為的等比數列，通項公式為，原式得證【點評】本題考查數列的通項公式、雙曲線的離心率、等比數列的求和公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力在第（1）問中，已知的是的遞推式，在與的關系式中，經常用代換（），然后兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時要注意；在第（2）問中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數列的和另外放縮時要注意放縮的“度”不能太大，否則得不到結果（20）【2016年四川，理20，13分】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點（1）求橢圓的方程及點的坐標；（2）設是坐標原點，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點、，且與直